Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика АВАКЯН / posobie1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

		dy1			f (x, y , y , , y ),
dx
				1 1 2		n


	dy2				f2 (x, y1, y2	, , yn ),	(9.61)

dx

dy			n		fn (x, y1, y2 , , yn ).


dx

Система называется нормальной, если в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а справа функции, не содержащие производных.

Проинтегрировать систему означает найти ( y1, y2 , , yn ) обращающие все

уравнения системы в тождества одновременно. Продифференцируем первое из уравнений системы по x :

d 2 y

f dy

y dx

dy2

f (x, y , y , , y ),

(9.62)

dyn

(x, y , y

, , y

Подставим в

первое

уравнение

dy2

dy3

, ,

dyn

, используя остальные

уравнения системы (9.60).

d 2 y

dx2

(x, y , y

, , y

(9.63)

dyn

(x, y , y

, , y

Введем обозначения: f1

F (x, y , y

, , y

) .

1 2

Дифференцируем

вновь

полученное

уравнение

по

x и подставим

dy2

dy3

, ,

dyn

, используя уравнения исходной системы:

d 3 y

2 f

dx3

Произведя этот процесс n – раз, получим

170

		dy1		f (x, y , y , , y ),
		dx
			1		1 2	n

d 2 y
		1		F2 (x, y1, y2 , , yn ),				(9.64)
	dx2

d n y				F (x, y , y		, , y
		1					).

dxn				n	1 2	n

Из первых n 1 уравнений выразим y2 , , yn через поставим в последнее уравнение. Получим:

y				(x, y , y , y , y(n 1) ),
	2	2		1	1	1	1
	y			(x, y , y , y , y(n 1) ),
	3	3		1	1	1	1

	y			(x, y , y , y , y(n 1) ),
	n		n	1	1	1	1
d n y
		1	(x, y , y , y , y(n 1) ).

dxn				1	1	1	1

	dy	, ,	d n 1 y	и
x, y ,	1		1
x, y ,			dxn 1
1	dx		dxn 1

(9.65)

Последнее из уравнений системы зависит только

производных. Решая его, находим:								y1 Y1(x,C1,C2 , ,Cn ) .
Подставим			(n 1)	в	выражение				для y2 , y3 , , yn .
Подставим	y1, y1	, y1, , y1		в	выражение				для y2 , y3 , , yn .
получаем решение:
				y1 Y1 (x,C1,C2 , ,Cn ),
							Y2 (x,C1,C2 , ,Cn ),
				y2			Y2 (x,C1,C2 , ,Cn ),



				y		n	Y (x,C ,C		, ,C	).
						n	n	1 2	n

от y1 и его

Окончательно

(9.66)

Пример 9.15. Решить систему дифференциальных уравнений:

y x y z,z 2x 4 y 3z.

Решение: Продифференцируем						первое из уравнений системы по x :
			.
y 1 y		z	.
Подставим y и z из системы:
		y x y z,		или		y x y z,
	x y z 2x 4 y 3z.			или
y 1	x y z 2x 4 y 3z.				y 1 3x 3y 2z.

Выразим z из первого уравнения z y x y и подставим во второе.
y	1 3x 3y 2( y x y) или	y		y 1 5x . Решаем полученное
			2y

уравнение относительно y .

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение представляется в виде (9.56): y yo Y , где yo - общее решение однородного уравнения, а Y - частное решение

171

неоднородного уравнения. Найдем общее решение однородного

дифференциального	уравнения yo .	Выпишем и решим
характеристическое уравнение: k 2 2k 1 0 .

D 0 , тогда k 1.

Итак, получаем общее решение однородного дифференциального уравнения

y (C C x)e x .

Частное

решение

неоднородного

дифференциального

уравнения

будем искать в виде:

Y Ax B,

Y A,

Y 0 .

Подставим Y ,Y

и Y в исходное уравнение.

2A Ax B 1 5x , тогда

A 5,

или

A 5,

5x 9 .

2A B 1.

B 9.

Т.е. y (C1 C2 x)e x 5x 9 .

Остается

найти z . Для этого

найдем y

подставим y

и y

в выражение z y x y .

(C1 C2 x)e

C2e

5 e

(C2 C1

C2 x) 5.

z e x (C C C x) 5 (C C x)e x 5x 9 x (C 2C 2C x)e x 6x 14 .

Окончательно получаем:

y (C C x)e x 5x 9,

2C2 x)e x

z (C2 2C1

6x 14.

y (C C x)e x

5x 9,

Ответ:

z (C2

2C1

2C2 x)e x 6x 14.

§9.11. Системы дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами.

Метод Эйлера

Рассмотрим систему:

	dx1		a x a x a x ,

	dt		11 1	12 2	1n n

dx
	2		a21x1	a22x2	a2n xn	,	(9.67)

dt

dx		n	an1x1	an2 x2	ann xn .

где aij - постоянные.

Система называется системой дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами. Будем искать решение системы в виде.

172


x ekt ,		x		ekt		, , x	ekt .		(9.68)
	1 1	2			2	n	n
dx1	k ekt ,		dx2		k ekt , ,		dxn	k ekt .
dx1	k ekt ,		dx2		k ekt , ,			k ekt .
dt	1		dt		2		dt	n
dt			dt				dt

Тогда, вместо системы дифференциальных уравнений (9.67) получим

систему алгебраических уравнений:

k ekt a ekt					a ekt		a ekt	,
	1		11 1		12 2		1n n
		kt	a21 1e	kt	a22 2e	kt	kt		,
k 2e			a21 1e		a22 2e		a2n ne		,



k ekt a ekt a ekt a ekt .
	n		n1 1		n2 2		nn n
Сокращая на ekt 0 , имеем:
(a11 k) 1 a12 2 a1n n 0,
			(a22 k) 2 a2n n 0,
a21 1			(a22 k) 2 a2n n 0,



a a (a						k) 0.
	n1 1		n2 2		nn		n

(9.69)

(9.70)

Однородная система имеет		отличное	от	нуля		решение, если ее
определитель равен нулю:
	(a11 k)	a12....	a1n
	(a11 k)	a12....	a1n
	a21	(a22 k)...	a2n		0	(9.71)
	an1	an2	(ann k)

Получили уравнение n порядка относительно k . Это уравнение называется характеристическим уравнением системы.

1. Корни характеристического уравнения действительны и различны k1, k2 , , kn .

Для каждого ki получаем свои значения (ji ) и xj (ji)eki t . Тогда общее решение системы имеет вид:

173

x		C (1)ek1t			C (2)ek2t			C (n)ekn t	,
	1	1 1			2 1			n 1
		(1)	k	t	(2)	k	t	(n) k t	,
x2		C1 2	e 1		C2 2	e 2		Cn 2 e n	,	(9.72)
										(9.72)

x C (1)ek1t C (2)ek2t C (n)ekn t .
	n	1 n			2 n			n n

Пример 9.16. Решить систему дифференциальных уравнений:

	2x1		2x2 ,
x1	2x1		2x2 ,
x		x	3x .
	2	1	2

Решение: Будем искать решение системы в виде x ekt ,

ekt .

Составляем систему:

(2 k) 1 2 2 0,

1 (3 k) 2 0.

Получаем характеристическое уравнение:

2 k

0 (2

k)(3 k) 2 0

или

k 2 5k 4 0 .

Решая

3 k

характеристическое уравнение, получаем: k1 1, k2 4 .

Найдем (1) ,

(2) , (1)

(2) .

а.

k1 1, тогда

(2 1) 1

2 2 0 1 2 2 ,

пусть 2

1, тогда 1

2 .

x(1)

2et ,

x(1)

et .

б.

4 , тогда (2 4) 1 2 2 0 1

2 ,

пусть 2

1, тогда 1 1 .

x(2)

e4t ,

x(2)

e4t .

x1 2C1e

C2e

Таким образом:

C et C e4t .

x1 2C1e

C2e

Ответ:

C et

C e4t .

2.Корни характеристического уравнения различны, и среди них есть комплексные.

		k1 i	k2 i .
Находим	(1,2)	, подставив корни	характеристического уравнения в
	1,2

систему.

Воспользовавшись формулой Эйлера, решение можно выписать в виде:

xi e t (C1 1i cos t C2 2i sin ) .

174

Пример 9.17. Решить систему дифференциальных уравнений:

	7x1 x2 ,
x1	7x1 x2 ,
x	2x 5x .
2	1	2

Решение: Будем искать решение системы в виде x ekt																	,	x	ekt .
															1	1		2		2
Составляем систему:
( 7 k) 1 2 0,

	2 ( 5 k) 0.
		1					2
Получаем характеристическое уравнение:
	7 k		1			0 ( 7 k)( 5 k) 2 0							или		k 2 12k 37 0 .					Решая
	7 k		1
		2	5 k
		2	5 k
характеристическое уравнение, получаем:															D 144 148 4 ,					k1,2 6 2i .
Таким образом 6, 2 .
Найдем 1				и 2 .
а.		Подставим k1 6 2i в систему
( 7 6 2i) 1							2	0,	( 1	2i) 1 2 0 .
									( 1	2i) 1 2 0 .
	2 ( 5 6 2i) 0.
		1						2
Получаем:							(1 2i)		при	(1)	1, (1) 1 2i .
					2			1		1	2
б.		Подставим k2 6 2i в систему
( 7 6 2i) 1							2	0,	( 1	2i) 1 2 0 .
									( 1	2i) 1 2 0 .
	2 ( 5 6 2i) 0.
		1						2
Получаем:							(1 2i)		при	(2)	1, (2)		1 2i .
					2			1		1	2
Тогда
			x C e( 6 2i)t					C e( 6 2i)t ,
			1	1				2
							6 2i)t	C2 (1 2i)e( 6 2i)t .
x2 C1(1 2i)e(							6 2i)t	C2 (1 2i)e( 6 2i)t .
Воспользовавшись формулой Эйлера (9.52), получим
	x e 6t (C (cos 2t i sin 2t) C (cos 2t i sin 2t)) e 6t ((C C )cos 2t i(C C )sin 2t) ,
1			1						2					1	2			1	2
	x	e 6t (C (1 2i)(cos 2t i sin 2t) C									(1 2i)(cos 2t i sin 2t))
2			1							2
e 6t ((C C				2	2i(C C ))cos 2t (i(C C ) 2(C C ))sin 2t).
			1	2			1	2			1	2	1	2

Введя новые обозначения:

C1 C2 A1,i(C1 C2 ) A2 ,

окончательно получаем:

	x e 6t ( A cos 2t A sin 2t),
	1	1	2
	e 6t ((A1	2A2 )cos 2t ( A2 2A1)sin 2t).
x2

175

	x e 6t ( A cos 2t A sin 2t),
Ответ:	1	1	2

x2	e 6t ((A1	2A2 )cos 2t ( A2 2A1)sin 2t).

3.Случай кратного корня.

Пусть среди решений характеристического уравнения имеется корень k кратности p .

Соответствующее ему решение будем искать в виде:

((1)

(2)t ( p)t p 1)ekt .

(9.73)

Все

константы p найдем,

подставив

в систему

приравняв

коэффициенты при одинаковых степенях t .

Пример 9.18. Решить систему дифференциальных уравнений:

x1 x2 ,

x 3x .

Решение: Будем искать решение системы в виде x ekt ,

x ekt .

Составляем систему:

(1 k) 1 2 0,

(3 k) 0.

Получаем характеристическое уравнение:

1 k

0 (1 k)(3 k) 1 0

или

k 2 4k 4 0 .

Решая

3 k

характеристическое уравнение,

получаем:

D 16 16 0 .

Уравнение

имеет корень k 2 кратности			p 2 .	Решение системы будем искать в
виде (9.73):
x	e2t ( (1)	(2)t),	x		e2t (2 (1)	(2)	2 (2)t),
1	1	1		1	1	1	1
x	e2t ( (1)	(2)t).	x		e2t (2 (1)	(2)	2 (2)t).
2	2	2		2	2	2	2

Подставим x1 , x2 и их производные в заданную систему. Сокращая на e2t 0 , получаем:

	2 (1)	(2)	2 (2)t (1)		(2)t (1)		(2)t,
	1	1	1	1	1	2	2
				1(1) 1(2)t 3 (21)			3 (22)t.
2 (21) (22) 2 (22)t

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , получаем:

176

	(1)	(2)		(1)		,
	1	(2)	1	(2)	2
	1		2		,

(21) (22) 1(1) ,
	2		1 .
	2		1 .
		(2)		(2)

Положив (1)	1, (1)	1, получаем:
1	2
		(1)		1,
			1	2,
		1		2,
			(2)
			(21)	1,
			(21)	1,
			2	2.
			(2)

Таким образом, решение системы имеет вид:

x1 e2t (C1 2C2t),x2 e2t (C1 2C2t).

x e2t (C 2C t),

Ответ: 1 1 2

x2 e2t (C1 2C2t).

Задания для cамостоятельного решения

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

y ln y

9.1. y

;

9.2. y

2xy xy

;

9.3. x t sin t ;

x ln x

9.4. x2 z z 0 ;

9.5. y 2x cos(x2 ) cos2 y ; 9.6. y (8x 2 y 1)2 ;

9.7. e

(1 x

)dy 2x(1

)dx 0 ;

9.8. x xtg t 0;

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

9.9. xydx (x 1)dy 0,

y(0) 1;

9.10. y sin x y ln y,

y( 2 ) 1;

9.11. ′

9.12. x4dy y2dx 0,

y(0) 1;

= 2 ,

= 1;

9.13. ( y 2)dx ctg x dy 0,

y(0) 1;

9.14. y tg x y 1, y( 2 ) 1;

Найти общие решения (интегралы) дифференциальных уравнений:

9.15.

( y x)dx ( y x)dy 0 ; 9.16. (x y)dx xdy 0 ;

9.17.

(

x2 y2 y)dx xdy 0 ; 9.18. (x3

y3 )dx xy2dy 0 ;

( y2 2xy)dx x2dy ;

9.19.

9.20. (2

xy x)dy ydx 0;

177

9.21.

x ;

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

2 y

9.22.

x ;

9.23.

x ;

9.24.

y tgx

cos x

;

′

9.25.

x ;

9.26.

+ = ;

9.27.

x x ln x ;

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

9.28.

dx 0 ;

9.29.

xdy ydx

0 ;

x2 y2

9.30.(1 e y )dx e y (1 xy )dy 0 ; 9.31. (2x y 1)dx (2y x 1)dy 0;

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

9.32 y 3y 2y 3e2x 2x2	9.33. y y x2 x 1;
9.34. y 4y 12x2 6x 4;	9.35. y 5y 6y 3;
9.36. y y 2sin x 4 cos x ;	9.37. y y y 13sin 2x ;
9.38. y y ex cos x ;

	Проинтегрировать системы последовательным
или методом исключения
	y z 1,		y z cos x,
9.39.		9.40.
	z y 2.		z 3y 4z 4 cos x sin
	y y x,		y 2 y,
9.41.		9.42.
	z 2 y z.		z z.

интегрированием

Проинтегрировать системы методом Эйлера

y y 2z,

z y z.

y z,

z y.

y y z,

z z 4 y.

X.РЯДЫ

§10.1. Числовые ряды с положительными членами

Определение 10.1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность an .Числовым рядом называется сумма всех ее членов:

178


	a1 a2 an an	(10.1)
	n 1
Определение 10.2	Сумма первых n членов числового ряда называется n
-й частичной суммой.
	s1 a1
	s2 a1 a2
	s3 a1 a2 a3
		(10.2)
	sn a1 a2 an
Определение 10.3	Суммой ряда называется предел последовательности
n -х частичных сумм.
	S limsn	(10.3)
	n

Числовой ряд (10.1) называется сходящимся, если предел (10.3) существует и конечен.

В противном случае ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся числовых рядов:

1.Если числовой ряд сходится, то сходится и ряд, полученный отбрасыванием из него k первых членов.

2.	Если ряд a1 a2	an сходится, то	сходится и ряд,
	полученный умножением каждого члена		на постоянную
	ca1 ca2 can .

3.	Если ряды an и	bn сходятся, то сходится и ряд, полученный
	n 1	n 1

почленным сложением или вычитанием их членов (an bn ) .

n 1

Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Необходимый признак сходимости :

Если числовой ряд сходится, то предел его n -го члена равен нулю.

liman 0 (10.4)

Обратное утверждение неверно.

Пример 10.1

2n 3

Исследовать на сходимость числовой ряд n 1 3n 2

179

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН

#
15.04.20154.92 Mб40posobie1.pdf
#
15.04.2015342.22 Кб52predely_11.docx