Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика АВАКЯН / posobie1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

где		определена по формуле (4.10).
	yx

Для вычисления второй производной функции, параметрически, можно также использовать формулу


		xt		ytt xtt		yt

yxx				xt 3
				xt 3
Пример 4.6
Найти производную второго порядка						, если
Найти производную второго порядка					yxx	, если
	x a cost
			bsin t
	y		bsin t

		Решение:
Найдем xt , yt :
						bcost
xt a cost	asin t, yt bsin t					bcost
Воспользовавшись формулой (4.10), получаем							:
Воспользовавшись формулой (4.10), получаем					yx		:
		bcost	b	ctgt


yx		asin t	a
		asin t	a

заданной

(4.15)

Найдем y t :

ctgt

sin 2 t

asin 2 t

yxx найдем по формуле (4.14):

a sin

yxx

a sin t

a2 sin 3 t

Ответ: yxx

a2 sin 3 t

§ 4.7. Дифференциал функции

4.7.1. Вычисление дифференциала

Приращение ∆ функции = ( ) может быть представлено в виде

∆ = ′

∆ + ∆,

lim∆ →0 = 0

(4.16)

Произведение ′ ∆, представляющее собой , так называемую

главную

часть приращения,

линейную относительно ∆,

называют

дифференциалом

функции и обозначается следующим образом:

= ′

(4.17)

Правила вычисления дифференциала имеют вид:

		= ∙ ( )
±		= ±
	= +
		−
	=	2

Пример 4.7

Найти дифференциал функции

= 1 + 2 .

Решение:

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (4.17), найдем производную заданной функции:

′ =

′ +

′

1 + 2

Тогда,согласно (4.17) получаем:

= ′ = + 1

Ответ: = +1

1 + 2

1+ 2

Пример 4.8

Найти дифференциал функции, заданной неявно:

ln 2 + 2 = .

Решение:

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (4.17), найдем

′ .

Воспользуемся правилом вычисления производной, приведенным в 3.

а) вычисляем производные от обеих частей заданного уравнения, считая

при этом y функцией от

x :

2 + 2 ′

′

+ 2

′

2 + 2′

+ ′

ln 2 + 2

2 2 + 2

2 + 2

′

′ −

1 +

2 + 2

+ 2

б) приравниваем полученные производные:

+ ′

′

−

2 + 2

+ 2

+ ′

= ′ −

в) решаем полученное уравнение относительно

+ = ′

( − )

′

−

Тогда,согласно (4.17) получаем:

= ′ = +−

Ответ: = +− .

4.7.2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Согласно формуле (4.16) в случае, когда ∆ → 0, приращение функции

∆ в точке 0 можно считать приближенно равным ее дифференциалу

( = ∆)

∆ ≈ = ′ ( )∆

(4.22)

Учитывая, что

∆ = 0 + ∆ − 0 ,

Получаем формулу, для приближенного вычисления значения функции

в точке , близкой к точке 0:		+ ′
	≈	+ ′	∆.	(4.23)
	0		0
Пример 4.9

Насколько приблизительно изменилась сторона квадрата, если его площадь увеличилась от 9 м2 до 9,1м2?

Решение:

Обозначим через площадь квадрата, а через - его сторону. Тогда

= .

По условию 0 = 9 ; ∆ = 9,1 − 9 = 0,1.

Приращение ∆ стороны квадрата найдем согласно (4.23).

′ =		′ =			1
					1
				2
				2
′ 9	=		1	=		1

						6
		2	9			6

Тогда

∆ ≈ 16 0,1 ≈ 0,016 .

Ответ: Сторона квадрата увеличилась приблизительно на 0,016 м.

Пример 4.10

Найти приближенное значение 3													.
Найти приближенное значение 3										67			.
								Решение:
Воспользуемся формулой (4.23). В данном случае																							= 3
Воспользуемся формулой (4.23). В данном случае																							= 3	. В
								Тогда ∆ = 67 − 64 = 3, 64 = 3																		=
качестве выберем = 64.								Тогда ∆ = 67 − 64 = 3, 64 = 3																	64	=
0			0
4 .
Найдем ′ 0			:															1
					′			= 3							′ =

																	3
																3	3			2
																3				2
					′	64			=					1		=			1		.
					′	64			=			3				=					.
											3	3		642				48
Тогда, согласно (4.23) получаем:
			3		≈ 4 +			1								1
			3	67				1	∙ 3 = 4 +							1			= 4,0625
				67					∙ 3 = 4 +							16			= 4,0625
Ответ:3						48										16
Ответ:3	67	≈ 4,0625.
			§ 4.8. Правило Лопиталя – Бернулли
																						0
	4.8.1. Раскрытие неопределенностей типа																						и
	4.8.1. Раскрытие неопределенностей типа																						и
																						0
Пусть f (x) и g(x) -дифференцируемые функции.
Если f (x)			и g(x) являются						бесконечно											малыми			или	бесконечно
большими при x a , тогда
									f (x)
						lim			f (x)					lim		f (x)								(4.24)
						lim			g(x)					lim		g (x)								(4.24)
							x a		g(x)						x a	g (x)
							x a								x a

при условии, что предел отношения производных существует. При необходимости формула (4.24) может быть применена к полученным отношениям несколько раз.

Пример 4.11
Вычислить предел lim	ln x	.
Вычислить предел lim		.
x 0	ctgx
			Решение:
В данном случае		f (x) ln x, g(x) ctgx . При		x 0 имеем
			. Применяя правило Лопиталя - Бернулли,
неопределенность типа			. Применяя правило Лопиталя - Бернулли,

получаем:

ln x

(ln x)

sin

lim

ctgx

(ctgx)

x 0

sin 2 x

Ответ: lim

ln x

ctgx

x 0

4.8.2. Раскрытие неопределенности типа 0

Для раскрытия неопределенности типа 0 преобразуем произведение

f1 (x) f2

(x) , где lim f1 (x) 0 ,

lim f2 (x) , в частное:

x a

f1 (x)

f2 (x)

lim

или lim

(4.25)

x a

f2 (x)

f1 (x)

и далее воспользуемся правилом Лопиталя – Бернулли (4.24).

Пример 4.12

Вычислить предел lim xe x .

		Решение:
В данном случае	f	(x) e x , f		2	(x) x . При		x имеем
	1			2
неопределенность типа 0 . Преобразуем произведение xe x в частное
		xe x	x			x
		xe x				ex
		1				ex

e x

В результате получили неопределенность типа .

Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:


lim xe x lim		x	lim	(x)	lim	1	0 .


x	x ex		x (ex )		x ex

Ответ: lim xe x 0

4.8.3. Раскрытие неопределенности типа

Для раскрытия неопределенности типа разность	f1 (x) f2 (x)
преобразуем в произведение:
54

f1 (x) f2 (x)			f2	(x)	(4.26)
	f1	(x) 1
			f1
				(x)

Если lim f2 (x) 1, то произведение (4.26) может быть преобразовано в

x a f1 (x)

частное:

(x)

f1 (x) f2 (x)

(x)

(4.27)

(x) 1

(x)

f1 (x)

Предел (4.27) представляет собой неопределенность типа и может

быть вычислен с помощью правила Лопиталя – Бернулли (4.24).

Пример 4.13

		1	1
Вычислить предел lim				.
Вычислить предел lim				.
x 0	sin 2 x		x2

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, согласно изложенной схеме:

sin

lim

sin

x 0

sin

x 0

Для упрощения вычислений воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых при x 0 :

sin x ~ x; x2 sin 2 x ~ x4

Тогда

sin

lim

sin

)

x 0

sin

x 0

lim

2x 2sin x cos x

2x sin 2x

(2x sin 2x)

lim

4x3

(x3 )

x 0

4 x 0

lim

2 2cos2x

lim

2(1 cos2x)

lim

4sin 2 x

lim

sin 2

3x2

4 x 0

3 x 0

Ответ:

lim

x 0

sin 2 x

4.8.4. Раскрытие неопределенностей типа 00 , 1 , 0

Неопределенности указанного типа раскрываются с помощью предварительного логарифмирования:

ln(lim f

(x) f2 ( x) ) lim ln f

(x) f2 ( x)

lim

(x)ln f

(x)

(4.28)

x a

В результате получаем неопределенность типа

0 (см. пункт 4.8.2).

Пример 4.14

Вычислить предел lim sin x tg 2 x .

x 0

Решение:

В данном случае

f1 (x) sin x ,

lim sin x 0

x 0

f2 (x) tg2x ,

lim tg2x 0

x 0

т.е. имеем неопределенность типа 00 .

Прологарифмируем

функцию,

стоящую

под

знаком

предела и

преобразуем полученное выражение в частное:

ln sin x tg 2 x tg2x ln sin x

ln sin x

ctgx

tg2x

Получили неопределенность типа

. Вычислим полученный предел,

используя правило Лопиталя – Бернулли (4.24):

′

lim

= lim

= −

lim

2 ′

→0

−

2 →0

= 0.

Таким образом, получаем

ln(lim sin x tg 2 x ) 0 .

x 0

Следовательно,

lim sin x tg 2 x e0 1

x 0

Ответ: lim sin x tg 2 x 1

x 0

a;b

§ 4.9. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функция f (x) не возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих a;b ее производная была неположительна .

	(4.29)
f (x) 0	(4.29)
Для того, чтобы дифференцируемая на a;b функция	f (x) не убывала,

необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих a;b ее производная была неотрицательна.

	(4.30)
f (x) 0

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции f (x) .

Пример 4.15

Найти промежутки монотонности функции y x3 3x2 9x 14 .

Решение:

Найдем производную функции y x3 3x2 9x 14 . y (x3 3x2 9x 14) 3x2 6x 9

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) .

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

знак	+		+
y		-

y	-1	3	x

Таким образом, получаем согласно (4.29), (4.30),что заданная функция возрастает на ; 1 3; и убывает на 1;3 .

Ответ: Заданная функция y x3 3x2 9x 14 возрастает на; 1 3; и убывает на 1;3 .

Определение Функция	f (x) имеет	в точке x0 локальный максимум
(минимум), если существует такая окрестность точки x0 x0			x, x0 x
, что для всех x x0	x, x0 x	выполняется условие	f (x) f (x0 ) (

f (x) f (x0 ) ).

Локальный минимум или максимум функции f (x) называется

локальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 . Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремумом, то производная f (x) в точке x0 либо равна нулю, либо не существует.

Точка	x0	называется			критической		точкой функции		f (x) ,	если
						либо равна нулю, либо не существует.
производная f			(x) в точке x0
Достаточные условия наличия экстремума в критической точке x0 .
Пусть точка x0			является критической.
Первое достаточное условие экстремума:
Пусть	функция			f (x)	непрерывна		в некоторой		окрестности
x0 x, x0		x	точки		x0	и дифференцируема		в каждой		точке
x x0 x, x0 ) (x0 , x0 x .
Точка x0		является		локальным максимумом, если при переходе через
x0
производная функции меняет знак с плюса на минус.
Точка x0		является локальным минимумом, если при переходе через x0
производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример 4.16

Найти экстремумы функции y 23 x2 3 6x 7 .

Решение: Найдем производную заданной функции

	2			2			1		2

y		x2 3	6x 7		2x3	6x 7 x2		6x 7	3	6

3				3			3

2			2x2	4 x 6x 7 x2			28 x x 1
2			2x2	4 x 6x 7 x2			28 x x 1
	2x3 6x 7

			6x 7	3		6x 7	3		6x 7
3			6x 7	3		6x 7	3		6x 7
		3	2		3	2		3	2

Приравнивая полученную производную нулю числитель и знаменатель полученной дроби, найдем критические точки:

x(x 1) 0 x 0; x 1

		6x 7 0 x			7
		6x 7 0 x			6
					6
Исследуем знак производной, используя метод интервалов.
знак		-		+	+
y	+	-		+	+
y	+
y		0	1	7		x

				6
				6

Из рисунка видно, что при переходе через точку x 0 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке x 0 - локальный максимум.

При переходе через точку x 1 производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке x 1- локальный минимум.

При переходе через точку x

производная не меняет знак.

Следовательно, критическая точка x

не является экстремумом

заданной функции.

Ответ: 0 = 0 - локальный максимум,

y(1)

- локальный

минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые 2n 1 производные функции f (x) в точке x0

равны нулю, а

2n -ная производная функции f (x)

в точке x0 отлична от нуля, то точка

x0 является экстремумом функции f (x) , причем,

если

(2n 1)

(x) 0, f

(2n)

(x) 0,

(4.31)

f (x) f (x) f (x) f

то x0 -локальный минимум

если

(2n 1)

(x) 0, f

(2n)

(x) 0 ,

(4.32)

f (x) f

(x) f

то x0 -локальный максимум.

Пример 4.17

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной y x 1 x .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН

#
15.04.20154.92 Mб40posobie1.pdf
#
15.04.2015342.22 Кб52predely_11.docx