Математика АВАКЯН / posobie1

3

6

4

2

8

а)

12

, б)

, в)

7

5

1

.

9

5

3

2

6

2

3

4

2

1

0

а)

2

5

9

,

б)

4

2

8

.

0

3

7

0

1

1

а)

3171

2161

,

б)

1

2

3

.

5

6

4

3172

2162

3

1

5

A 1 ,

1.8. Найти матрицу

обратную

данной

матрице

А, если она

существует.

4

5

2 1

3

4

5

2

а)

; б)

5

0

4

;

в)

1

3 0

.

1

2

2 1

3

3

8 2

3x 4x

x 11

x 3x

2x 7

1

2

3

1

2

3

а) x1 5x2 x3 2 ;

б) 4x1 x2 x3 5 .

2x x

2

4x 1

3x 4x

2

3x 3

1

3

1

3

1.10.

Проверить

совместность

системы уравнений

и

в случае

совместности решить ее.

x

2x

4x

5

1

2

3

x1 5x2 4x3 2 0

а) 3x1 x2 x3 4 ;

б)

.

x 5x

2

7x 14

4x1 10x2 x3 7

0

1

3

7x 4x

2

x 0

x 2x

2

x 0

1

3

1

3

а) x1 5x2 2x3 0 ;

б) 4x1 3x2 5x3 0 .

2x x

2

x 0

3x 5x

2

6x 0

1

3

1

3

20

и отрезку на оси ординат

Уравнение

= +

(2.1)

задаѐт прямую на плоскости, где называется угловым

коэффициентом прямой.

x a

Y

y k1x b1, k1 0

c

y c

b1

b2

a

X

y k2 x b2 , k2 0

Рис. 2.1

Угловой коэффициент равен тангенсу угла между прямой и

положительным направлением оси OX (см. рис. 2.1). Отрезок

b

откладывается на оси OY в положительном направлении при b 0 и в

отрицательном при

b 0 . Если k 0 , то

получаем

уравнение

y b ,

которое задаѐт прямую, параллельную оси

OX . Уравнение x a

задаѐт прямую, параллельную оси OY .

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент

k

и

проходящей через точку M (x1; y1) , имеет вид:

y y1 k(x x1)

(2.2)

§ 2.2. Уравнение прямой по двум данным точкам.

Уравнение

прямой,

проходящей

через

две

точки

M1(x1; y1) и M2 (x2; y2 )имеет вид:

x x1

y y1

.

(2.3)

x

x

2

y

2

y

1

1

21

k

y2

y1

.

(2.4)

x

x

2

1

a

A

Вектор a называется направляющим

вектором

прямой

d ,

если

a || d .

M

B

Разумеется, вектор

( a )

также

будет

d

направляющим вектором прямой d . Пусть

Рис. 2.2

заданы

прямая

d , вектор

a(l;m) ,

x x1

y y1

.

(2.5)

l

m

Уравнение прямой по двум

точкам можно

рассматривать как

даны точки A(x1; y1 ), B(x2 ; y2 ) .

y1) будет

Тогда

AB

(x2 x1; y2

направляющим вектором прямой

AB и оба уравнения в таком случае

совпадают.

§ 2.4. Общее уравнение прямой.

Общим уравнением прямой называют

n( A; B)

уравнение Ax By C 0, где A и B не

равны нулю одновременно. Вектор n( A; B)

перпендикулярен прямой Ax By C 0 и

называется нормалью к этой прямой (рис.

Рис. 2.3

2.3).

§ 2.5. Параметрические уравнения прямой.

Если переписать уравнение (4.4) в виде

x x1

y y1

t , где t

x

2

x

y

2

y

1

1

x x1 (x2 x1)t;

y y1 ( y2 y1)t , где t .

(2.6)

22

tg

A1B2 A2B1

.

(2.10)

A A B B

1

2

1

2

Так как n1(A1, B1), n2 ( A2 , B2 ) – нормальные векторы этих двух

прямых, то угол между ними можно также вычислить по формуле:

A1A2 B1B2

cos cos(n1, n2 )

.

(2.11)

A 2

B 2

A 2

B 2

1

1

2

2

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых

выражается равенством:

A1

B1

(2.12)

A2

B2

A1A2 B1B2 0

(2.13)

k1 k2

1.

(2.15)

§ 2.8. Уравнение прямой в нормальном виде.

Расстояние от точки до прямой

Предположим,

что в уравнении прямой A0 x B0 y C0

0

cправедливо: A2

B2

1. Тогда длина вектора n

{A , B } равна

1. В

0

0

0

0

0

этом случае

вышеприведенное

уравнение

прямой называется

уравнением прямой в нормальном виде.

24

множитель 1/ | n |. Величина N 1/

A2 B2 называется нормирующим

множителем. Уравнение принимает вид:

Ax

By

C

0 .

(2.16)

A2 B2

A2 B2

A2 B2

Введем

обозначения:

A

A0

,

B

B0 ,

A2 B2

A2 B2

C

C0

. Получим теперь уравнение прямой в нормальном виде:

A2 B2

A x B y C

0 , т.к. здесь имеет место равенство:

( A )2 (B )2

1.

0

0

0

0

0

Расстояние от точки M (x0 ; y0 ) до прямой

Ax By C 0

вычисляется по формуле:

d

Ax0 By0 C

(2.17)

A2 B2

Пример 2.1.

Найти угол между прямыми, заданными

уравнениями 5x 3y 15 0 , x 4y 7 0.

Решение.

Так

как

A1 5,

B1

3, A2

1, B2 4,

то, применяя

формулу (4.10), имеем

tg

5 4 1 3

1, 45o .

5 1 3 4

Замечание.

При

другой

нумерации

прямых

( A1 1, B1 4,

уравнение прямой

по

точке и направляющему вектору), получим:

x 2

y 5

.

Легко

заметить,

что это

уравнение

эквивалентно

4

1

полученному выше.

Пример

2.4.

Вершины

треугольника находятся в

точках

A(3,4), B( 2,1),C( 3,5) .

Написать уравнение

высоты, опущенной из

вершины C .

Решение.

Способ 1. Высота перпендикулярна прямой

AB .

Найдѐм

уравнение прямой

AB

по формуле (4.3):

x 3

y 4

,

x 3

y 4

2 3

1 4

5

3

x 3

y 4

или

. Теперь можно преобразовать это уравнение в общее

5

3

Можно поступить

и

так: вектор l (5;3) является направляющим

вектором прямой

AB

и одновременно нормалью искомой высоты.

принадлежит высоте, то еѐ

координаты удовлетворяют

уравнению

5( 3) 3 5 C 0. Отсюда

C 0 . Значит, 5x 3y 0 –

уравнение

высоты.

Способ 2. Найдѐм угловой коэффициент прямой

AB .

Выбрав

точку B первой, а точку A

второй, получим: k

4 1

3

. Так как

1

3

( 2)

5

искомая высота и прямая

AB перпендикулярны,

то

их

угловые

коэффициенты связаны соотношением (2.15). Таким образом, k

5

–

2

3

Пример

2.5.

Преобразовать

общее

уравнение

прямой

x 2y 2 0 в уравнение в отрезках по осям.

Решение.

x 2 y 2;

x

2 y

2 ;

x

y

1.

Соответствующая

2

2

2

2

1

прямая изображена на рис. 4.4.

Пример

2.6.

Даны

точки

A( 2;5)и B(3;1) . Написать все

изложенные виды уравнения прямой

AB .

Решение.

x ( 2)

y 5

;

x 2

y 5

– уравнение по двум

3 ( 2)

1 5

5

4

точкам. Так как

AB

(5; 4) –

направляющий вектор прямой

AB , то

Из последнего уравнения имеем:

4x

5y

17

;

x

y

1 – уравнение в

17

17

17

17

17

4

5

отрезках по осям.

Также

из

общего уравнения

прямой получим:

5y 4x 17 ;

y 0,8x 3,4 – уравнение

по

угловому коэффициенту и отрезку,

отсекаемому на оси OY. Здесь

k 0,8.

Зная

k и,

взяв одну из точек,

например, B, получим уравнение по

угловому коэффициенту и точке:

y 1 0,8(x 3) .

Записав уравнение прямой AB по двум точкам в виде

x 2

y 5

t ,

x 5t 2;

5

4

получим параметрические уравнения:

y 4t 5 .

27

Решение. По формуле (2.3) имеем

x 2

y 5

;

x 2

y 5

.

2 2

3 5

0

8

Пример 2.8. Даны

точки

A(0;7) и B(6;3) . Найти серединный

перпендикуляр к отрезку AB .

Решение. Уравнение прямой

AB

по двум точкам:

x 0

y 7

;

6 0

y 7

3 7

x

. Искомая прямая

проходит

через середину

отрезка AB

6

4

перпендикулярно прямой

AB . Пусть точка M (x; y) – середина отрезка

AB .

Тогда x

6 0

3,

y

7 3

5.

Направляющий вектор

прямой

2

2

AB

(он имеет

координаты

(6,-4)) является нормальным вектором

6x 4y c 0 . Подставив в него координаты точки

M , найдѐм c :

6 3 4 5 c 0;c 2. Таким образом, уравнение

серединного

перпендикуляра имеет вид: 6x 4y 2 0 .

а) y 4x 1;

б) y 2x 3;

в) y

3

x 2 ;

4

г) y 3x ;

д) y 3;

е) x 2

а) ;

б)

2

.

4

3

2.5. Составить уравнение отрезка AB, если:

а) A(–2; 1), B(2; 4)

б) A(3; –2), B(–1; 6)

2.6. Составить

уравнение

прямой, проходящей через точку

M(–1; 2)

а) перпендикулярно прямой 3x 2y 4 4

б) параллельно к прямой

x 2

y 1

.

3

2

2.7. Найти один из углов между прямыми:

а) x 2y 1 0 и y 3x 2

б) 2x y 3 0 и

x 3

y 4

1

2

x 2t 1

y 6t 2

в)

и

y t 2

y 3t 1