Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика АВАКЯН / posobie1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

ln x

dx ln xd (ln x)

ln2 x

C0 ,т.е.

C(x)

ln2 x

C0 .

Тогда

окончательно

имеем

ln x

y x

Ответ:

y x

ln x

§ 9.5. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет следующий вид:

P(x) y

(9.29)

Q(x) y .

Разделим обе части уравнения (9.29) на y .

P(x) y1

Q(x) .

(9.30)

Введем новую переменную

z y1 ,

(9.31)

тогда z

(1 ) y

. Подставив

в (9.30) приходим к

линейному относительно z уравнению

z (1 )P(x)z (1 )Q(x) .

(9.32)

Пример 9.6. Решить дифференциальное уравнение

xy x3 y3 .

Решение: Разделим обе части уравнения на y3 :

x3 , введем

новую переменную, z y 2 тогда

z 2y 3 y или

z y 3 y .

z zx x3 ,

умножая

обе

части

уравнения

на 2 , приходим к

линейному (относительно z ) уравнению:

z 2zx 2x3 .

Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной.

z 2zx 0 , тогда

z 2zx

2xdx ,

интегрируя обе части уравнения,

получим.

ln z x2

ln C или z Cex 2 . Заменим константу функцией ( ) .

160

z C(x)e

, z

x 2

2xC(x)e

. Подставим и ′ в уравнение.

C (x)e

2xC(x)e

C (x)e

или C (x)

2x e .

u t,

du dt,

C(x) 2 x3e x

x2e x

d (x2 )

x2 t tet dt

v et .

dv et ,

tet

et dt et (1 t) C (1 x2 )e x 2

Тогда z Cex2

1, но так как z y 2 , то окончательно получаем:

Cex2

x2 1 .

Ответ: y

Cex2

x2 1

Уравнение Бернулли можно так же решать, применяя замену y uv .

§ 9.6. Уравнение в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

M (x, y)dx N(x, y)dy 0 ,

(9.33)

если выполняется условие

(9.34)

Пусть задана функция двух переменных u(x, y) , тогда ее полный

дифференциал имеет следующий вид:

u dx

u dy ,

(9.35)

причем если функция

u(x, y)

непрерывна в некоторой области, то ее

смешанные производные второго порядка всегда равны.

(9.36)

y x

x y

Условие (9.36) равносильно условию (9.34), если

M (x, y)

, N (x, y)

(9.37)

т.е. M (x, y)dx N(x, y)dy du . Тогда, так как du 0 , то u(x, y) C .

Решаем любое (например, первое) из двух дифференциальных уравнений (9.37), находим:

161

	u(x, y) M (x, y)dx ( y) C .			(9.38)
Из (9.37) находим:
u
			( M (x, y)dx) ( y) N (x, y) .	(9.39)
y		y	( M (x, y)dx) ( y) N (x, y) .	(9.39)
y		y

Равенство (9.39) дает возможность определить Подставив ( y) в (9.38), получим решение.

Пример 1.7. Решить дифференциальное уравнение

Решение: M (x, y)

y2 3x2

N (x, y)

, т. е.

( y) .

функцию ( y) .

2x	dx	y2 3x2	dy 0 .
y3		y4

3x2

( y) =

( y)

, ( y)

, тогда u

, но так

как u C , то окончательно получаем:

C .

Ответ:

C .

§ 9.7. Интегрирующий множитель

Если в уравнении (9.33) M (x, y)dx N(x, y)dy 0

M N

(9.40)

то уравнение уже не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти множитель , такой что

				M 1 =	N1 ,
				y	x
где M1 (x, y)M , N1		(x, y)N ,
			M (x, y)dx N(x, y)dy 0 .
( M (x, y))	M (x, y)		M (x, y) ,	( N (x, y))			N (x, y)	N (x, y) .
y	y		y	x		x		x
Тогда согласно (9.41)
M (x, y)	M (x, y)		N (x, y)	N (x, y)	,
y	y	x		x

(9.41)

(9.42)

162

M (x, y)

N (x, y)

M (x, y)

(ln ) M (x, y) (ln )

N (x, y)

N (x, y) M (x, y) .

Пусть (x) , тогда

(ln )

0 .

d (ln )

N (x, y) N (x, y) M (x, y)

или

d (ln )

1 N (x, y)

N (x, y) x

	M (x, y)		,

	y

т.е.

Если ( y) ,

d (ln ) M (x, y)

d (ln )

M (x, y)

N (x, y)

тогда (ln ) 0 .

N (x, y) M (x, y)

или

d (ln )

M (x, y)

d (ln )

N (x, y)

M (x, y)

F1 (x) .

N (x, y)	M (x, y)	, т.е.
		, т.е.
x	y
x	y

F2 ( y) .

Таким образом, если

1	M (x, y)	N (x, y)	F (x) ,


	y	x	1
N (x, y)

то можно найти (x) .

1	N (x, y)	M (x, y)
			F ( y) ,
			F ( y) ,
	x	y	2
M (x, y)	x	y

то можно найти ( y) .

(9.43)

(9.44)

Пример 9.8. Решить дифференциальное уравнение: y xy2 dx xdy 0 .

Решение:

M (x, y) y xy2 ,

тогда

1 2xy .

N(x, y) x ,

тогда

N 1 .

Отсюда видно, что M N .

N (x, y)

M (x, y)

1 1

2xy 2

1 xy

F ( y) .

y xy

y(1 xy)

M (x, y)

d (ln )

d (ln ) 2

или

ln 2ln y ( y)

Итак,

интегрирующий множитель найден.

Умножим исходное уравнение на

y 2

x dx

dy 0

163

M1	1	x , тогда		M 1
	y			y

N		x	, тогда	N
		y2		x
1

y 2

Таким образом

M 1

N1 .

или u(x, y)

(x) .

y 2

Определим неизвестную функцию (x) .

x .

(x, y)

(x) M1

Отсюда

(x) x

или

(x)

. Тогда

u(x, y)

. Окончательно

получаем

xx2 C .

Ответ: x x2 C .

y 2

§ 9.8. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

В общем виде линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядят следующим образом.

0 ,

(9.45)

py qy

где p, q - постоянные.

Будем искать частные решения в виде:

y ekx .

(9.46)

. Подставим y, y

и y

в уравнение (9.45).

Тогда y

, а y

k 2ekx pkekx qekx 0

или

ekx (k 2 pk q) 0 ,

сокращая на

ekx 0 , получим

характеристическое уравнение.

k 2 pk q 0 .

(9.47)

Характеристическое уравнение является обычным квадратным

уравнением. Найдем его дискриминант D p2		4q .
Возможны три случая:
	D p2 4q 0 . Характеристическое	уравнение имеет два
	различных действительных корня кратности один.
	164

p2 4q

(9.48)

1,2

Тогда двумя частными решениями будут y1 ek1 x

и y2 ek2 x .

ek1 x

e(k1 k2 ) x const решения

y1 , y2 - линейно независимы.

Тогда

e 2

общее решение

уравнения (9.45) yo примет вид:

yo C1ek1 x C2ek2 x

(9.49)

Пример 9.9. Решить дифференциальное уравнение: y y 2y 0 .

Решение: Получим и решим характеристическое уравнение: k 2 k 2 0 . D 1 8 9 0 , тогда

k	1 3	или k 2, k	2	1.
1,2	2	1	2
	2

Окончательно получаем решение дифференциального уравнения

yo C1e 2 x C2ex .

Ответ: yo C1e 2 x C2ex .

	D p2 4q 0 . Характеристическое уравнение имеет два
	различных комплексных корня кратности один.

	k		p i	p2 4q
	k
	1,2			2
				2

	p				4q p2
Введем обозначения		и				.
Введем обозначения		и				.
	2			2

Тогда k1,2 являются комплексно сопряженными числами

y e( i ) x e( i ) x .

y u iv, y iv , y u iv . (u pu qu) i(v pv qv) 0 .

(9.50)

k1,2 i .

(9.51)

u и v - являются решениями того же уравнения. Воспользуемся формулой Эйлера:

				ei cos i sin			(9.52)
		± = ± =			±	+ ±	=
			= ± .
				= ,	= .
			1		2
Тогда
1	=		= ≠ .
1						.
2						.


				165

Т.е. y1 и y2 - линейно независимы.
Тогда общее решение уравнения (9.45)		yo примет вид:
	= + .		(9.53)
0	1	2

Пример 9.10. Решить дифференциальное уравнение: y 2y 5y 0 .

Решение: Получим и решим характеристическое уравнение: k 2 2k 5 0 .

D 4 20 16 0 .

k	2 4i	или 1, 2 .
1,2	2
	2

Окончательно, согласно (9.53), получаем решение дифференциального уравнения

yo e x (C1 cos 2x C2 sin 2x) . Ответ: yo e x (C1 cos 2x C2 sin 2x) .

D p2 4q 0 . Характеристическое уравнение имеет только один

действительный корень кратности два k 2p .

Тогда двумя частными решениями будут y ekx и

y xekx .

ekx

решения y

, y

- линейно независимы.

Тогда общее

const

решение

уравнения (9.45)

yo примет вид:

y ekx (C C x) .

(9.54)

1 2

Пример 9.11. Решить дифференциальное уравнение: y 4y 4y 0 .

Решение: Получим и решим характеристическое уравнение: k 2 4k 4 0 .

D 16 16 0 . k 2 .

Окончательно, согласно (9.54), получаем решение дифференциального уравнения

yo e2 x (C1 C2 x) .

Ответ: yo e2 x (C1 C2 x) .

§9.9. Неоднородные линейные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Вобщем виде линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядят следующим образом.

y	py qy f (x) ,	(9.55)

где p, q - постоянные, f (x) - некоторая функция.

166

Решение уравнения (9.55) представляется в виде

= + , (9.56)

где yo - общее решение однородного уравнения (9.45), а Y - частное

решение неоднородного уравнения (9.55). Рассмотрим два случая:

1. f (x) Pn (x)eax , где Pn (x) - многочлен степени n .

a) a не является корнем характеристического уравнения k 2 pk q 0 . Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:

									Y Q (x)eax ,	(9.57)
									n
где Qn (x)		многочлен n -го порядка, записанный в общем виде:
Q (x) A xn A xn 1			A				x2	A	x A .
n	0	1			n 2			n 1	n
Из (9.57) найдем Y ,						Y и, подставив в уравнение (9.55), определим
константы A0 , A1, A2 , , An 1, An .
Пример 9.12. Решить дифференциальное уравнение:
				2 x	.
y	4y 3y (x 1)e				.

Решение: Решение данного уравнения представляется в виде y yo Y . Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения yo .

Выпишем и решим характеристическое уравнение: k 2 4k 3 0 .

D 16 12 4 0 , тогда

k		4 2	или k 3, k		1.
				2
1,2	2		1

Итак, получаем общее решение однородного дифференциального уравнения

yo C1e3x C2ex .

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения Y .

Y (Ax B)e2 x ,

тогда Y Ae2 x	2(Ax B)e2x e2x (2Ax A 2B) ,
а Y 2e2x (2Ax A 2B) 2Ae2x e2x (4Ax 4A 4B) . Подставим			Y ,Y	и Y в
исходное уравнение.
e2 x (4Ax 4A 4B) 4e2 x (2Ax A 2B) 3(Ax B)e2 x (x 1)e2 x ,
4Ax 4A 4B 8Ax 4A 8B 3Ax 3B x 1,
Ax B x 1, отсюда A 1, B 1. Т.е. Y (x 1)e2 x .
Окончательно получаем: y C e3x		C ex (x 1)e2 x .
	1	2
Ответ: y C e3x C ex (x 1)e2 x .
1	2

167

y 3y 2y 3ex .

б) a является корнем характеристического уравнения k 2 pk q 0 . Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:

Y xrQ (x)eax ,	(9.58)
n

где Qn (x) многочлен n - го порядка, записанный в общем виде, r кратность корня a характеристического уравнения.

Пример 9.13. Решить дифференциальное уравнение:

Выпишем и решим характеристическое уравнение: k 2 3k 2 0 . D 9 8 1 0 , тогда

k	3 1	или k	2, k		1.
				2
1,2	2	1

Итак, получаем общее решение однородного дифференциального уравнения

yo C1e2 x C2ex .

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения Y .

Y xAe x , тогда	Y Aex Axex Aex (x 1) , а	Y Aex (x 1) Aex ex (Ax 2A) .
Подставим Y ,Y	и Y в исходное уравнение.
ex ( Ax 2A) 3Aex (x 1) 2xAex 3ex ,

Ax 2A 3Ax 3A 2Ax 3 ,

A 3. Т.е. Y 3xex . Окончательно получаем: y C1e2 x C2ex 3xex .

Ответ: y C1e2 x C2ex 3xex .

2. f (x) eax (Pn (x)cos bx Qm (x)sin bx) .

a) a ib не является корнем характеристического уравнения k 2 pk q 0 . Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:

			Y eax (R	(x)cos bx T (x)sin bx) ,	(9.59)
			N	N
где RN (x)		и TN (x) многочлены N - го порядка, записанные в общем виде.
Причем N max{n, m}.
Пример 9.14. Решить дифференциальное уравнение:
		3x	sin x .
y	4y 8y 2e		sin x .

Решение: Решение данного уравнения представляется в виде y yo Y . Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения yo . Выпишем и решим характеристическое уравнение: k 2 4k 8 0 .

D 16 32 16 0 .

168

k		4 4i	или 2, 2 .

1,2	2

Итак, согласно (9.53), получаем общее решение однородного

дифференциального уравнения: y	e2 x (C cos 2x C sin 2x) .
o	1	2

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения Y . Согласно (9.59), получаем

Y e3x (Acos x Bsin x) , тогда

Y e3x (3Acos x 3Bsin x Asin x Bcos x) e3x ((3A B)cos x (3B A)sin x) , Y e3x ((9A 3B)cos x (9B 3A)sin x (3A B)sin x (3B A)cos x)

e3x ((8A 6B)cos x (8B 6A)sin x) .

Подставим Y ,Y и Y в исходное уравнение.

e3x ((8A 6B)cos x (8B 6A)sin x) 4e3x ((3A B)cos x (3B A)sin x)8e3x ( Acos x Bsin x) 2e3x sin x ,

(8A 6B 12A 4B 8A)cos x (8B 6A 12B 4A 8B)sin x 2sin x ,

(4A 2B)cos x (4B 2A)sin x 2sin x .

Итак, получаем систему уравнений:

4A 2B 0,					2A B 0,
				или
4B 2A 2.					4B 2A 2.
Решая данную систему, находим A и B :
A	1	,	B	2	. Т.е.	Y e3x (	1	cos x	2	sin x) . Окончательно получаем:
A		,	B		. Т.е.	Y e3x (		cos x		sin x) . Окончательно получаем:
5				5		5			5
					y e2 x (C cos 2x C sin 2x) e3x (										2	sin x	1	cos x) .
					y e2 x (C cos 2x C sin 2x) e3x (											sin x		cos x) .
						1			2				5				5
													5				5
Ответ: y e2 x (C cos 2x C sin 2x) e3x (											2	sin x	1	cos x) .
Ответ: y e2 x (C cos 2x C sin 2x) e3x (												sin x		cos x) .
				1		2			5				5
									5				5
б) a ib			является корнем характеристического уравнения																k 2 pk q 0 .

Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:

Y xeax (R	(x)cos bx T (x)sin bx) ,	(9.60)
N	N

где RN (x) и TN (x) многочлены N - го порядка, записанные в общем виде.

Причем N max{n, m}.

§ 9.10. Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений.

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН

#
15.04.20154.92 Mб40posobie1.pdf
#
15.04.2015342.22 Кб52predely_11.docx