Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика АВАКЯН / posobie1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

b		b
2) Cf x dx C f x dx					(7.4)
a		a
b		a
3) f x dx f			x dx		(7.5)
a		b
b		c		b
4) f x dx		f x dx f x dx			(7.6)
a		a		c
5) Если f x		0	x a;b и a b , то
	b
	f x dx 0				(7.7)
	a			x a;b и a b
6) Если g x f x				x a;b и a b
	b			b
	g x dx f x dx				(7.8)
	a			a
7) Если	m min f x , M max f x и a b , то
		x a;b		x a;b
				b
	m b a f x dx M b a				(7.9)
				a
8) Если	f x непрерывна на a;b , то на этом отрезке существует хотя бы
одна точка x c ,			a c b , такая, что верно равенство
	b
	f x dx f c b a				(7.10)
	a
				x
9) Если f x		непрерывна и x f t dt , то имеет место равенство
				a
				x f x	(7.11)
10) Если F x -				какая-либо первообразная функции	f x , справедливо

равенство:

	b	f x dx F b F a F x	b
	b
				(7.12)
	a		a
	a
Формула (7.12) называется формулой Ньютона-Лейбница.
11) Если	f x - четная функция, то
	a	a
		f x dx 2 f x dx		(7.13)
	a	0
12) Если	f x - нечетная функция, то
	a
	f x dx 0			(7.14)

120

Геометрический смысл определенного интеграла

	f x 0 x a;b ,		b
Если	f x 0 x a;b ,	то	f x dx	численно	равен	площади
			a		функции f x ,
криволинейной трапеции, ограниченной сверху				графиком	функции f x ,
снизу - отрезком оси 0Х, справа и слева - прямыми x a и x b .
	f x 0 x a;b ,		b
			b
Если		то	f x dx	численно	равен	площади
			a

криволинейной трапеции, ограниченной сверху отрезком оси 0Х, снизу - графиком функции y f x , слева и справа - прямыми x a и x b .

Вычисление определенного интеграла

Определенный интеграл f x dx может быть вычислен по

определению как предел интегральных сумм. Однако, в большинстве случаев, целесообразно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница

(7.12).

Алгоритм применения формулы (7.12) при вычислении f x dx :

1)Находим неопределенный интеграл f x dx .

2)Вычисляем значение полученного выражения при x b и x a .

3)Вычисляем разность полученных значений.

Пример 7.1. Вычислить определенный интеграл: 1

1 ln x

Решение:

Найдем F x

ln x 1

1 ln x

F e3 21 lne3 4

F 1 21 ln1 2

Окончательно получаем:

e3		dx		e3
e3
			2 1 ln x		4 2 2

	x 1 ln x			1
1
1

Ответ: e3 dx 2

1 x 1 ln x

121

При вычислении определенного интеграла применяются те же приемы, что и при нахождении неопределенного интеграла, а именно, замена переменной и метод интегрирования по частям.

Замена переменной в определенном интеграл.

Если функция y f x

непрерывна на a;b , функция

x t

непрерывна вместе со своей производной и монотонна на ; , a ,b и сложная функция f t непрерывна на ; , то справедлива формула замены переменной для определенного интеграла:

																			b													t			t dt
																			f		x dx f											t			t dt					(7.15)
																			a
																				9
																				9					x
				Пример 7.2. Вычислить																					x			dx .


																				4			x 1
Решение: Сделаем замену x t 2 , тогда dx 2tdt .
Найдем пределы интегрирования для новой переменной t.

																								x 4 t												x 2

																								x 9 t												x 3
Таким образом получаем:
9								3							3		t 2							3 t		2 1 1									3		t 1 t 1 1
9			x					3		t					3		t 2							3 t		2 1 1									3		t 1 t 1 1
					dx						2tdt				2				dt		2												dt 2							dt
					dx						2tdt				2				dt		2												dt 2							dt
4	x 1							2	t 1						2		t 1							2		t 1									2			t 1

												3								3										2				3					3
–”‹‘€–’”(2.3) 2														t 1 dt 2							dt					2			t		t					2 ln		t 1
–”‹‘€–’”(2.3) 2														t 1 dt 2												2					t					2 ln		t 1
																						1
												2								2 t		1					2							2					2
		9				4																				7
		9				4																				7
2				3				2 ln					3 1			ln		2 1						2				ln 2 7 2 ln 2
2				3				2 ln					3 1			ln		2 1						2				ln 2 7 2 ln 2
		2		9		2																				2
		2				2																				2

								x
Ответ:								x		dx 7 2 ln 2



				4			x	1
			Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
				Если				функции							u u x и v v x																	непрерывны							вместе со своими

производными на a;b , то имеет место формула интегрирования по частям

122

udv uv

vdu

(7.16)

xdx

Пример 7.3. Вычислить

sin

Решение:

xdx

u x

du dx

x ctg x

ctg xdx

4 sin

v ctg x

sin

				ctg					ctg																										sin x
															3				cos xdx								1					1 3		d	sin x


				3		3			4				4				4			sin x					3		3			4			4		sin x
								ln			sin x			3										ln sin						ln sin


			4											4						4									3					4

					3	3																3	3
					3	3																3	3
																								3				4
								ln				3	ln					2													1		ln1,5
												3						2								3					1
			4									2					2														2
					3	3															12		3
					3	3															12		3
3	xdx													1
Ответ:	xdx							3		3 4				1		ln1,5

	sin	2	x											2
		2			12	3
					12	3
4
§ 7.2. Геометрические приложения определенного интеграла
а) Вычисление площади плоской фигуры.
Приложение							определенных														интегралов								к				вычислению площади

плоской фигуры основано на геометрическом смысле определенного интеграла.

Если данная фигура ограничена двумя кривыми y f1 x					и y f 2	x
и двумя		вертикальными линиями	x a и	x b , причем	f1 x f 2	x

x	a; b	(рис. 2), то ее площадь вычисляется по формуле:
		b
		S f 2	x f1 x dx		(7.17)

Y	a
Y
	y f2 x

		y f1 x
0	a	b	X

Рис. 7.2

123

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана

параметрическими уравнениями

x x ,

y t

, то

площадь

криволинейной трапеции

S t t dt

(7.18)

a и

b ,

0, t

где и определяются из условий

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , то

площадь криволинейного сектора 0M1 M2

(рис.3), ограниченного дугой

кривой и полярными радиусами, соответствующими углам 1

и 2 ,

вычисляется по формуле:

1 2

(7.19)

Рис. 7.3

Пример 7.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y 2 9x,

y 3x .

Решение: Изобразим заданную фигуру (рис.7.4)

y 3x

Рис. 7.4

124

Найдем абсциссы точек пересечения заданных кривых:

y 2 9x	3x	2	9x 9x x 1 0
	3x		9x 9x x 1 0
y 3x
x1 0,	x2 1,		y 9x 3 x

Тогда площадь заштрихованной фигуры, согласно (7.17), равна:

	1		3			3x	2	1
			3			3x
S 3 x 3x dx 2 x				2
S 3 x 3x dx 2 x						2
	0					2		0
	0							0
Ответ:		S	1		ед.2
Ответ:		S	2		ед.2
			2

2	3	1	ед.2
	2	2

Пример 7.5	Вычислить площадь фигуры, ограниченной первой
	аркой	циклоиды y a 1 cos t		x a t sin t
	и осью .
Решение:	Первая арка циклоиды определяется из условия
	y 0	a 1 cost 0	t1 0 t2	2
		x t a 1 cos t
Таким образом, площадь найдем по формуле (7.18)
2			2
S a 1 cos t a 1 cos t dt a 2			1 2 cos t cos2 t dt

a	2	2		2 cos t
a			1	2 cos t
		0
3a 2				ед.2

Ответ:

1 cos 2t

S 3 a 2

a	2	3	t 2 sin t


		2

ед.2

1		2
	sin 2t
	sin 2t
4		0

Пример 7.6. Вычислить площадь фигуры, заключенной между


первым и		вторым витками спирали Архимеда
a		a 0 .
Решение: Область между первым и вторым витками спирали
соответствует 1 2 ,	2 4 .

Площадь найдем по формуле (7.19):

125

1 a 2 d a

2 d a

2 2

a 2

28a 2 3

ед.

Ответ:

3 a 2

ед.2

б) Вычисление длины дуги кривой.

y f x ,

f x

Пусть кривая задана уравнением

где

- непрерывно

дифференцируемая

функция,

причем

абсциссы

точек А

и В равны

соответственно x a и x b . Тогда длина дуги

может быть найдена по

формуле:

1 f x 2 dx

(7.20)

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями x t и y t

, где t , t - непрерывно дифференцируемые функции, причем точке А

соответствует значение t ,
соответствует значение t ,	а точке В -		t . Тогда длина дуги AB
кривой вычисляется по формуле:

		t 2	t 2 dt
L		t 2	t 2 dt	(7.21)
AB				.
Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением				.

Причем, точке А соответствует значение 1 полярного угла, точке В - значение 2 .


Тогда длина дуги	AB может быть найдена по формуле:

	L		2		2				2 d			(7.22)
		AB	1
Пример 7.7. Вычислить длину дуги параболы y 2
Пример 7.7. Вычислить длину дуги параболы y 2											x между
	точками с абсциссами x1 0 и x2									1.
Решение: Кривая задана явным уравнением, поэтому для вычисления
длины дуги воспользуемся формулой (7.20). Вычисляем y x :												y x	1		.
												y x			.

														x
Таким образом:
			1
			1				1
			L			1	1	dx
			L			1		dx
			0				x
				126

Сделаем замену t 2 1	1	x			1	dx	2tdt				.
Сделаем замену t 2 1		x				dx					.
	x		t	2	1					2
							t	2	1
								2

x 0 t x 1 t 2

Таким образом

																		2			2tdt									b	2t 2 dt
														L t											lim
														L t						t		2	1	2	lim						t	2		1	2
																				t			1			b				2	t			1


				Найдем								2t 2 dt					,			разложив								подынтегральную											функцию на
				Найдем								t 2	1		2		,			разложив								подынтегральную											функцию на
												t 2	1
простейшие дроби:
		2t 2 dt							2t 2								A						A					B						B
																			1					2					1					2
								t 1			t	1											t 1										t 1
					2			t 1		2	t	1		2		t 1							t 1		2		t 1						t 1			2
		t	2	1
			2
					1										2											1												2
	2t 2 A					t	3	t 2	t 1				A					t	2	2t 1					B				t 3	t 2 t							1	B	t 2 2t 1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему из 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

x 3 x 2 x1 x 0

A1 B1 0
A1 A2 B1 B2 2
A1 A2 B1 B2 2

A1 2 A2 B1 2B2 0
A1 A2 B1 B2 0
A1 A2 B1 B2 0

Решая полученную систему, получаем:

127

Таким образом

2t 2 dt						1			1			1			1			1
																						dt
					2	2						t 1	2		t 1		t 1			2		dt

t	2		1					t 1
	2
1							1						1					1			t 1				t
1							1						1					1			t 1				t
		ln		t	1					ln	t 1					C			ln							C
2		ln		t	1			t	1	ln	t 1			t		C		2	ln		t 1		t	2	1	C
2								t	1					t	1			2			t 1		t		1

Воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница (7.12), получаем:

			1				b 1

L lim					ln
			2				b 1
b
lim	1					2

		ln		1
	2					b 1
b

Переходя к пределу при


b	1			2 1		2
b	1			2 1		2
			ln
b2 1		2			1		2 1
				2
				2		2

								1 2
	b		1				2
lim		2		ln			2

	2
	2				2	1 2 1
b b	1		2		2	1 2 1

b , окончательно получаем:


	L				1		ln	3 2 2		ед.
			2

		2						1
	L			1		ln 3 2
Ответ:		2							2	ед.
				2
Пример 7.8. Вычислить длину астроиды
	x a cos3 t,							y a sin3 t

Решение: Кривая задана параметрическими уравнениями, поэтому для вычисления ее длины воспользуемся формулой (7.21)

Вычислим предварительно xt и yt :

xt 3a cos2 t sin t yt 3a sin2 t cost

Тогда, согласно (7.21), получаем, учитывая симметрию кривой:

L 4 2 3a cos2 t sin t 2 3a sin2 t cost 2 dt

	0

4 2						dt 12a 2cost sin tdt
4 2		9a 2 cos2 t sin2 t cos2	t sin2		t	dt 12a 2cost sin tdt
0					0
	2				ед.
6a sin 2tdt 3a cos2t			2	6a	ед.
0			0

Ответ: L 6a ед.

128

Пример 7.9. Вычислить длину кардиоиды a 1 cos .

Решение: Кривая задана уравнением в полярных координатах, поэтому для вычисления ее длины воспользуемся формулой (7.22).

								a sin .
Найдем				a 1 cos				a sin .
Найдем
			2	a 2 1 cos 2
2			2	a 2 1 cos 2					a 2 sin2			a 2 1			2 cos cos2 sin2
a 2 2 2 cos 2a 2 1 cos											4a 2 sin			2
														2
Подставив найденное выражение для																2 в (7.22), получаем:
Подставив найденное выражение для													2			2 в (7.22), получаем:
		2				2				2								2

																			8a ед.

	L				2		d 2a				sin	2	d 4a cos				2	0
			0		L 8a ед.					0		2					2	0
Ответ:					L 8a ед.

в) Вычисление объемов тел вращения.

Пусть в пространстве задано тело, образованное вращением вокруг оси 0X криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y f x , прямыми x a и x b и осью 0X (рис. 7.5).

0 a	b
	Х
Z
Рис. 7.5
Объем этого тела можно найти по формуле:
	b
	V f x 2 dx	(7.23)
	a
Аналогично, объем тела, полученный вращением криволинейной
трапеции вокруг оси 0Y , равен
	d
	V x y 2 dy	(7.24)

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН

#
15.04.20154.92 Mб40posobie1.pdf
#
15.04.2015342.22 Кб52predely_11.docx