Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_07

Лекция 7

10.3. Признак Даламбера1 и радикальный признак Коши2 и для рядов с неотрицательными членами.

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.

P1

Теорема 10.4 (Признак Даламбера) Пусть n=1 an - ряд с положительными членами, an > 0, и существует предел

lim an+1 = l

n!1 an

(iii)ïðè l = 1 ничего сказать нельзя т.е. требуется дополнительное исследование;

Обозначим q ´ 1 ¡ ", q < 1. Имеем:

aN+1 · aN q

aN+2 · aN+1q · aN q2

aN+3 · aN+2q · aN+1q2 · aN q3

: : :

aN+p · aN+p¡1q · : : : · aN qp

Ðÿä

aN + aN q + aN q2 + : : : + aN qp + : : :

сходится, так как это - бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 0 < q < 1. Следовательно, по признаку сравнения (Теорема

10.2) сходится и исходный ряд.

1Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) - французский математик 2Огюстен Луи Коши (1789-1857) - французский математик. Именно он ввел в матема-

тику столь нелюбимый студентами " ¡ ± формализм, дав тем самым впервые со времен Ньютона и Лейбница строгое обоснование основ математического анализа.

1

(ii) Òàê êàê l > 1, то найдется такое ", ÷òî l > 1+2", òî åñòü l ¡" > 1+". Аналогично случаю (i), найдется такой номер N("), ÷òî ïðè n > N имеем

1 < l ¡ " < an+1 < l + " an

Но это означает, что

aN+1 > aN

aN+2 > aN+1 > aN

: : :

aN+p > aN+p¡1 > : : : > aN

То есть все члены ряда, начиная с N-го ограничены снизу положительной

константой aN > 0 и не стремятся к нулю. По необходимому условию (Теорема 9.3) ряд расходится.

(iii) Рассуждения не применимы 3 при Теорема доказана.

P1

Теорема 10.5 (Радикальный признак Коши) Пусть n=1 an - ряд с неотри- цательными членами, an ¸ 0, и существует предел

p

lim n an = l

n!1

3В случае, когда l = 1 можно воспользоваться обобщением признака Даламбера, а

именно признаком Гаусса (выходит за рамки нашей программы), который формулируется следующим образом:

сходятся. Тогда

(i) исходный ряд сходится, если l > 1 и расходится, если l < 1;

(ii) åñëè l = 1, òî åñëè ¹ > 1 исходный ряд сходится и если ¹ · 1 он расходится.

2

(iii)ïðè l = 1 ничего сказать нельзя т.е. требуется дополнительное исследование;

Доказательство: p

(i) Рассмотрим последовательность f n ang. Òàê êàê l < 1, существует " > 0, такое, что l < 1 ¡ 2" è l + " < 1 ¡ ". Обозначим q = 1 ¡ ". Ïî

условию теоремы l есть ее наибольшая предельная точка; это означает, что

(ii) Òàê êàê l - предельная точка последовательности, то для любого " >

p

0 для бесконечного числа членов последовательности f n ang выполняется соотношение p

l ¡ " < n an < l + "

Выберем " так, чтобы l ¡ " > 1 (это можно сделать, в силу того, что l >

1). Тогда получаем, для бесконечного числа членов ряда an выполняется

соотношение an > 1 и, следовательно limn!1 an =6 0. Следовательно ряд расходится.

(iii) Рассуждения не применимы при l = 1. Теорема доказана.

Замечание. Радикальный признак Коши можно использоватьP также для

1

исследования сходимости рядp îâ с комплексными членами n=1 un. Åñëè существует предел limn!1 n an = l, òî

3

то о сходимости действительно ничего сказать нельзя. Например, ряды

удовлетворяют обоим условиям, но при этом первый расходится, а второй сходится.

Замечание. Для применения радикального признака Коши очень полезна формула

Замечание. Также для применения радикального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу (так называемая формула Стирлинга4)

которая приводится без доказательства.

Примеры.

1. Рассмотрим ряд

X1 2n

n=1 n!

Применим признак Даламбера

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд сходится.

2. Рассмотрим ряд

X1 µ2 + n¶n

Применим признак Коши

4Джеймс Стирлинг, 1692-1770, шотландский математик. Строго говоря, в его работах эта формула не встречается, хотя следует непосредственно из других его результатов.

4

поэтому этот ряд сходится.

3. Рассмотрим ряд

X1 µ1 + n¶n2

n

n=1

Применим признак Коши

поэтому этот ряд расходится.

10.4. Интегральный признак Коши.

Теорема 10.6 (Интегральный признак Коши) Пусть функция f(x) ¸ 0, f(x) непрерывна и монотонно убывает на [1; 1). Тогда ряд

X1

f(n)

n=1

и несобственный интеграл

Z 1

f(x) dx

1

сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: Ïðè k · x < k + 1, в силу убывания f(x), имеем

Рис. 1: К доказательству интегрального признака Коши.

f(k) ¸ f(x) ¸ f(k + 1)

5

Проинтегрируем это неравенство по отрезку [k; k + 1]:

Z k+1

f(k) ¸ f(x) dx ¸ f(k + 1)

k

(это соответствует тому, что площадь под кривой y = f(x) на промежутке [k; k + 1] (см. Рис. 1) заключена между площадями большего и меньшего прямоугольников, т.е. f(k) è f(k + 1)). Суммируя эти неравенства от k = 1 äî k = n, получим

Далее:

² если несобственный интеграл сходится, то при любом n

Z n+1 Z 1

f(x) dx · f(x) dx

1 1

следовательно

Z 1

Sn+1 · f(x) dx + f(1)

1

То есть, последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами ограничена сверху, следовательно, ряд сходится.

² Если ряд с неотрицательными членами сходится к некоторой сумме S, òî 8n Sn < S. Значит

1x®

6

Íî

Ïðè » ! 1 это выражение стремится к бесконечности, значит интеграл

Z 1 dx

1(x + 1) ln(x + 1)

расходится. Значит и исходный ряд расходится.

7