Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_08

Лекция 8

11. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Назовем ряд с действительными членами знакопеременным, если не все члены знака имеют один и тот же знак. Среди знакопеременных рядов выделяются знакочередующиеся:

Определение: Знакочередующимся называется ряд, каждые два соседних члена которого имеют различные знаки.

Пример: Åñëè 8n an > 0, òî ðÿä P1n=1(¡1)n+1

Теорема 11.1 (Признак Лейбница1) Если последовательность fang убывает, причем 8n an > 0 è limn!1 an = 0, òî

(a)знакочередующийся ряд P1n=1(¡1)n+1an сходится;

(b)при любом n для сумма ряда S и частичная сумма ряда Sn связаны соотношением

jS ¡ Snj · an+1

Доказательство: Рассмотрим частичные суммы ряда четного порядка

X2k

S2k = (¡1)n+1an

n=1

Их можно записать в виде

S2k = (a1 ¡ a2) + (a3 ¡ a4) + : : : + (a2k¡1 ¡ a2k)

S2k · S2k+2, то есть после-

довательность частичных сумм четного порядка не убывает. Но S2k можно также записать в виде

S2k = a1 ¡ (a2 ¡ a3) ¡ (a4 ¡ a5) ¡ : : : ¡ (a2k¡2 ¡ a2k¡1) ¡ a2k

Таким образом, S2k < a1. Это значит, что неубывающая последовательность fS2kg, k = 0; 1; : : : ограничена сверху. Следовательно, существует предел

lim S2k = S

k!1

Рассмотрим теперь последовательность нечетных частичных сумм

S2k = a1 ¡ (a2 ¡ a3) ¡ (a4 ¡ a5) ¡ : : : ¡ (a2k¡2 ¡ a2k¡1)

1Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) - немецкий физик, математик и философ, один из создателей (вместе с Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления.

1

S2k¡1 · S2k+1, то есть последовательность частичных сумм нечетного порядка не возрастает. Кроме того, fS2k+1g стремится к тому же пределу, что и fS2kg. Действительно, в

ñèëó òîãî, ÷òî limn!1 an = 0

lim S2k+1 = lim (S2k + a2k+1) = S + 0 = S

k!1 k!1

Сказанное означает, что последовательность четных частичных сумм приближается к пределу S снизу, в то время как последовательность нечетных

частичных сумм приближается к тому же пределу сверху. Это, в свою оче- редь означает, что

S ¡ S2k · S2k+1 ¡ S2k = a2k+1 S2k¡1 ¡ S · S2k¡1 ¡ S2k = a2k

Следовательно, jS ¡ Snj · an+1, что и требовалось доказать.

Пример: Ряд Лейбница2

X1 (¡1)n

n=1 2n + 1

сходится по признаку Лейбница, так как последовательность 1=(2n + 1) ìî-

X1 1 n=1 2n + 1

расходится (для доказательства этого факта можно использовать признак предельный сравнения, сравнив этот ряд с гармоническим рядом). Таким образом, ряд Лейбница представляет собой пример условно сходящегося ряда.

12. Об изменении порядка суммирования членов ряда. 12.1. Пример.

Рассмотрим ряд

X1 (¡1)n+1

Он сходится в силу признака Лейбница, кроме того его сумма S, â ñèëó

2Ряд, с суммой ¼=4, открытый Лейбницем в 1673 году (в принципе, позволяющий вычислять число ¼ с произвольной точностью)

2

Сложив первый и второй ряды получим ряд

= 1 + 13 ¡ 12 + 15 + 17 ¡ 14 + 19 + 111 ¡ 16 + : : :

в котором члены совпадают с членами исходного ряда. Таким образом полу- чаем, что S = 32 S, следовательно S = 0. Тем самым получаем противоречие.

Разгадка здесь заключается в том, что если в сумме бесконечное количество слагаемых, результат может зависеть от порядка суммирования. Таким образом в бесконечных суммах от перемены мест слагаемых сумма меняется.

òî åñòü

3

Выберем теперь такой номер M", чтобы частичная сумма

XM"

SM¤ " = u¤k

k=1

включала в себя все слагаемые, которые входят в сумму

XN"

SN" = uk

k=1

Помимо слагаемых из SN" , â SM¤ " входят еще слагаемые, номера которых больше N". Более того, при любом m > M" сумму Sm¤

â âèäå

+u¤M"+1 + u¤M"+2 + : : : + u¤m = SN" + Σ0m

Модуль jΣ0mj не превышает суммы модулей своих слагаемых. Так как номера этих слагаемых больше

X1

junj

n=N"+1

Следовательно

Таким образом, для любого m > M"

jS ¡ Sm¤ j = jS ¡ (SN" + Σ0m)j · jS ¡ SN" j + jΣ0mj < "

Значит,

lim S¤ = S

m!1 m

4

что и требовалось доказать.

Теорема 12.2 (Теорема Римана3) Если ряд с действительными членами P1 an

n=1

сходится условно, то можно так переставить члены ряда, чтобы его сумма равнялась любому действительному числу A.

Доказательство:

Во-первых, заметим, что в последовательности fang есть и положитель-

Докажем, что оба этих ряда расходятся. Рассмотрим частичные суммы

sM = s+k ¡ s¡l ; s˜M = s+k + s¡l

Òàê êàê fs˜M g ! 1, то хотя бы одна из последовательностей fs+M g, fs¡M g

обязательно случится, так как fsM g ! 1. В этот момент остановимся. Разность между полученной частичной суммой и A не будет превышать

последнего слагаемого. Далее будем брать слагаемые из fa¡n g до тех пор, пока частичная сумма нашего ряда на станет меньше чем A. Это опять же

3Георг Риман (1826-1866) - немецкий математик

5

рано или поздно произойдет, т.к. fs¡M g ! 1. Остановимся в тот самый момент когда сумма нашего ряда станет меньше, чем A. Разность между A è

получившейся частичной суммой при этом опять же не превышает последнего слагаемого. Продолжая действовать таким же образом, мы получим ряд, составленный из членов исходного ряда, взятых в другом порядке. Но разность между A и частичными суммами ряда стремится к нулю, так как

каждый раз оценивается некоторым членом ряда, со все большим номером. Таким образом наш ряд сходится к A, что и требовалось доказать.

Таким образом, переставлять местами слагаемые в бесконечной сумме можно если эта сумма сходится абсолютно. В случае, если рассматриваемый ряд сходится условно, разумеется, допустимы перестановки членов ряда, затрагивающие лишь конечное число слагаемых. В то же время, перестановки затрагивающие бесконечное число членов ряда, вообще говоря, приводят к изменению его суммы.

13. Признаки Дирихле4 и Абеля5. Лемма 13.1 (преобразование Абеля)

Подставим (2) в (1)

Sn = a1B1 + a2(B2 ¡ B1) + : : : + an(Bn ¡ Bn¡1) =

= (a1 ¡ a2)B1 + (a2 ¡ a3)B2 + : : : + (an¡1 ¡ an)Bn¡1 + anBn =

nX¡1

= anBn ¡ (ak+1 ¡ ak)Bk

k=1

что и требовалось доказать.

Замечание. Преобразование Абеля является аналогом формулы интегрирования по частям для сумм. Оно работает и для действительных и для комплексных чисел a1; : : : an, b1; : : : bn.

4Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859) немецкий математик 5Нильс Хенрик Абель (1802-1829) - норвежский математик. За свою короткую жизнь

успел очень многое: после него в математику вошли понятия абелевой группы и абелевых интегралов. В частности, доказал неразрешимость в радикалах произвольного уравнения степени выше четвертой. Жил в нужде, при жизни не был признан.

6

Лемма 13.2 (Неравенство Абеля) Пусть fakg монотонна, и существует такое

=B(a1 ¡ an + janj) · B(ja1j + 2janj)

2.ak · ak+1 ïðè k = 1; 2; : : : n ¡ 1. В этом случае jak+1 ¡ akj = ak+1 ¡ ak

=B(an ¡ a1 + janj) · B(ja1j + 2janj)

Âобоих случаях неравенство справедливо, что и требовалось доказать.

P1

Теорема 13.1 (признак Дирихле) Пусть дан ряд n=1 anbn, причем ² последовательность fang монотонно стремится к нулю;

ничена, то имеется такое B, ÷òî 8n > 0 jBnj · B. Для произвольного целого p > 0 справедлива оценка

7

P1

Согласно критерию Коши ряд n=1 anbn сходится, что и требовалось до- казать.

Для решения задач с использования признака Дирихле полезно иметь в виду следующее утверждение

Утверждение: Частичные суммы

ограничены при любом n è ® =6 2¼l, l - целом (при ® = 2¼l первая сумма равна нулю, а вторая неограничена)

Доказательство: Заметим что

Воспользуемся формулой суммы n членов конечной геометрической прогрессии

b1 + b1q + b1q2 + : : : + b1qn¡1 = b1(qn ¡ 1) q ¡ 1

куда подставим b1 = ei®, q = ei®

8

что и требовалось доказать. Пример: Рассмотрим ряд

P

Тогда ряд n=1 anbn

Доказательство: Òàê êàê fang ограничена, то 9M, такое, что janj < M, n = 1; 2; : : :. Возьмем произвольное ". Òàê êàê ðÿä P1 bn сходится, то по

n=1

критерию Коши найдется такой номер N("), ÷òî ïðè n > N(") и при любом

p > 0

"

jbn + bn+1 + : : : + bn+pj < 3M

Тогда по неравенству Абеля при n > N(") и при любом p > 0

"

janbn + an+1bn+1 + : : : an+pbn+pj < 3M (janj + 2jan+pj) · "

6Упражнение: Докажите, что этот ряд сходится условно (то есть ряд из модулей расходится)

9