Вопросы к экзамену по спец. разделам математического анализа для МП 20-25, ИМЭ-25 (осень 2006).
1.Комплексное число, действия с комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа.
2.Предел последовательности комплексных чисел. Критерий Коши.
3.Функция комплексного переменного. Однозначные и многозначные функции.
4.Определение показательной, логарифмической, степенной, тригонометрических, гиперболических функций комплексного переменного.
5.Определение обратных тригонометрических функций комплексного переменного.
6.Производная функции комплексного переменного. Необходимое условие дифференцируемости.
7.Достаточное условие существования производной функции комплексного переменного.
8.Понятие аналитичности. Необходимое и достаточ- ное условие аналитичности.
9.Свойства аналитических функций (доказать гармоничность действительной и мнимой частей).
10.Аналитичность показательной, степенной, тригонометрических и гиперболических функций.
11.Интеграл по кривой в комплексной плоскости (определение и связь с интегралами 2-ãî ðîäà).
12.Свойства интеграла по кривой в комплексной плоскости.
13.Теорема Коши для односвязной области.
14.Теорема Коши для многосвязной области.
15.Первообразная функции комплексного переменного (определение и условие существования).
16.Интегральная формула Коши.
17.Теорема о среднем значении.
18.Принцип максимума модуля (без доказатель-
ñòâà).
19.Формула Коши для производных аналитической функции (формулировка и идея доказательства).
20.Теорема Мореры.
21.Теорема Лиувилля.
22.Сходимость числового ряда. Критерий Коши.
23.Необходимое условие сходимости числового ряда.
24.Первый признак сравнения рядов. Пример.
25.Предельный признак сравнения рядов. Пример.
26.Признак Даламбера. Пример.
27.Радикальный признак Коши. Пример.
28.Интегральный признак Коши. Пример.
29.Признак Лейбница. Пример.
30. |
Неравенство Абеля (без доказательства) и при- |
||
знак Дирихле. |
|
|
|
31. |
Неравенство Абеля (без доказательства) и при- |
||
знак Абеля. |
Pn=1 sin n® è |
Pn=1 cos n®. |
|
32. |
Ограниченность сумм |
||
|
|
N |
N |
33.Абсолютная и условная сходимость. Связь между сходимостью и абсолютной сходимостью.
34.Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (без доказательства).
35.Теорема Римана об условно сходящихся рядах (без доказательства).
36.Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость (на примере геометрической прогрессии).
37.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
38.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
39.Теорема о возможности почленного интегрирования функционального ряда.
40.Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций (доказать аналитичность суммы)
41.Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций (показать возможность почленного дифференцирования)
42.Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций (доказать равномерную сходимость ряда из производных).
43.Степенные ряды. Теорема Абеля.
44.Свойства степенных рядов, следующие из теоремы Абеля.
45.Формула Коши-Адамара. Пример.
46.Теорема Тейлора.
47.Ряды Тейлора для функций ez, sin z, cos z, ln(1 +
z), arctg z, (1 + z)®.
48.Нули аналитической функции. Порядок нуля. Примеры.
49.Теорема о нулях аналитической функции.
50.Теорема о единственности определения аналити- ческой функции.
51.Аналитическое продолжение функций с действительной оси.
52.Теорема о существовании особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (без доказательства)