Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_11

Лекция 11

16. Единственность определения степенной функции.

16.1 Правильные и особые точки. Нули аналитической функции.

Определение: Точка z0 2 G называется правильной точкой функции f(z), заданной в G, если в некотором круге jz ¡ z0j < ½(z0) (½(z0) > 0 - радиус круга) существует разложение функции f(z)

n=0

Все точки, которые не являются правильными, называются особыми точ- ками функции f(z).

По теореме Тейлора (Теорема 15.2), если функция f(z) аналитическая в

области G, то все точки области G являются для нее правильными (в каждой точке области существование ряда гарантируется теоремой Тейлора).

Определение: Если функция f(z) - аналитическая в G è f(z0) = 0, z0 2 G, òî z0 называется нулем аналитической функции f(z).

Если функция f(z) аналитическая в G è z0 2 G - нуль функции f(z), òî

f(z0) = c0 + c1(z0 ¡ z0) + c2(z0 ¡ z0)2 + : : : = c0 = 0

Поэтому разложение f(z) в точке z0 в этом случае начинается не с нулевой степени, а как минимум с первой:

X1

f(z) = cn(z ¡ z0)n

n=1

Возможно, однако, что разложение (1) начнется и с более высокой, степени, чем первая. Введем понятие порядка нуля функции f(z):

f(z)

c0 = c1 = c2 = : : : = cn¡1 = 0; cn =6 0

то точка z0 называется нулем n-го порядка функции f(z). В этом случае

В этом случае имеем: f(z) = (z ¡ z0)n ¢ f1(z), ãäå f1(z) - некоторая аналити- ческая функция, причем f1(z0) =6 0.

1

заключаем, что в нуле n-го порядка справедливы соотношения

То есть, для нахождения порядка нуля функции f(z) необходимо находить

последовательно значения производных f(z) в точке z0 äî òåõ ïîð, ïîêà не будет найдено первое ненулевое значение. Порядок нуля будет равен порядку соответствующей производной.

Примеры:

1. Для функции f(z) = sin z точка z = 0 - нуль первого порядка. Действительно

sin z = z ¡ z3 + z5 + : : :

3! 5!

и, следовательно, c0 = 0, íî c1 = ¡3!1 =6 0. С другой стороны

sin zjz=0 = 0; (sin z)0jz=0 = cos 0 = 1 =6 0

2. Для функции f(z) = ez2 ¡ 1 точка z = 0 - нуль второго порядка. Действительно, имеем

ez2 ¡ 1 = z2 + z4 + z6 + : : :

2! 3!

и, следовательно, c0 = c1 = 0, c2 = 1 6= 0. С другой стороны

Теорема 16.1 (Теорема о нулях аналитической функции) Пусть f(z) - аналитическая функция в области G, и существует последовательность точек

fzng 2 G, n = 1; 2; : : :, таких, что f(zn) = 0, причем существует предел limn!1 zn = a, причем a 2 G. Тогда f(z) ´ 0 во всей области G.

Доказательство: Состоит из двух частей.

1. Докажем, что f(z) ´ 0 в круге C½ с центром в точке a и радиусом ½, соответствующим расстоянию от точки a до границы области G. Òàê êàê

f(zn) = 0, а функция f(z) аналитическая, и следовательно, непрерывная, то f(a) = 0. Ïðè ýòîì f(z) аналитическая во всей области G, и, следовательно,

è â C½. В этом круге справедлива теорема Тейлора и f(z) разложима в степенной ряд

f(z) = c0 + c1(z ¡ a) + c2(z ¡ a)2 + : : :

2

Рис. 1: (a) К доказательству п.1; (b) к доказательству п.2.

Òàê êàê a - нуль функции f(z), òî c0 = 0. Тогда можно записать

f(z) = (z ¡ a) ¢ (c1 + c2(z ¡ a) + c3(z ¡ a)2 + : : :) = (z ¡ a)f1(z)

ãäå f1(z) представлена степенным рядом

f1(z) = c1 + c2(z ¡ a) + c3(z ¡ a)2 + : : :

который имеет тот же радиус сходимости, что и ряд для f(z) (проверяется

мгновенно формулой Коши-Адамара). Таким образом, функция f1(z) аналитична в круге C½ и имеет, очевидно, те же нули, что и функция f(z). Ê f1(z) также применимы приведенные выше рассуждения, из которых следует, что c1 = 0 и существует аналитическая функция f2(z), такая, что f1(z) = (z ¡ a)f2(z) в том же круге C½. Продолжая ту же процедуру далее, получаем последовательно, что все cn = 0, n = 0; 1; 2; : : :. Это означает, что

âкруге C½ функция f(z) тождественно равна нулю.

2.Докажем теперь, что f(z) ´ 0 не только в круге C½, íî è âî âñåé области G. Пусть z¤ - любая внутренняя точка G. Соединим точки a è

z¤ кусочно-гладкой кривой °, целиком лежащей в области G. Пусть наименьшее расстояние от точек кривой ° до границы G больше некоторого значения d (такое d существует). Пусть кривая ° пересекает границу круга

C½ в точке z1. Точка z1 является пределом некоторой последовательности нулей функции f(z) (âåäü f(z) ´ 0 во всем круге C½), поэтому по только что доказанному п.1 f(z) ´ 0 в некотором круге с центром в точке z1 è радиусом большим или равным d. Граница этого круга также имеет точку

пересечения с кривой ° и описанную процедуру можно повторить. Покроем таким образом всю кривую ° кругами, в каждом из которых f(z) ´ 0. Точка z¤ попадет в последний круг, откуда заключаем, что f(z¤) = 0. Òàê êàê z¤ - произвольная точка области, то теорема доказана.

Следствие: Аналитическая функция, тождественно не равная нулю, имеет

3

конечное число нулей в любой замкнутой подобласти своей области аналитичности.

Пример: Функция f(z) = sin z1 - аналитическая во всей комплексной плоскости с выкинутой точкой z = 0. Эта функция имеет бесконечное число

нулей z = 1=¼n, n = 0; 1; 2; : : :. Это множество нулей имеет предельную точ- ку z = 0, что, однако, не противоречит теореме 16.1, так как в точке z = 0 аналитичность f(z) нарушается.

16.2 Об аналитическом продолжении.

Теорема 16.2 (Теорема о единственности определения аналитической функции). Пусть две функции f1(z) è f2(z) - аналитические в G и существует

последовательность точек zn 2 G, n = 1; 2; : : :, такая, что limn!1 zn = a, причем a 2 G è f1(zn) = f2(zn). Тогда f1(z) ´ f2(z) во всей области G.

Доказательство: Рассмотрим аналитическую функцию h(z) = f1(z)¡f2(z). Эта функция обращается в нуль на всех точках последовательности fzng, n = 1; 2; : : : и, следовательно, по Теореме 16.1, тождественно равна нулю. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Определение: Функция f(z) является аналитическим продолжением функции '(z), заданной на некоторой кусочно-гладкой кривой ° 2 G во всю область G, åñëè f(z) аналитическая в G è f(z) = '(z) íà °.

Теорема 16.3 (Теорема о единственности аналитического продолжения). В области G может существовать единственная аналитическая функция, при-

нимающая заданные значения на данной кусочно-гладкой кривой ° 2 G.

Доказательство: Выберем на кривой ° какую-нибудь бесконечную последо-

вательность точек fzng 2 °, n = 1; 2; : : :. По условию в этих точках заданы

значения функции f(z1), f(z2), : : :. По Теореме 16.2 существует не более одной функции, принимающие эти значения, ч.т.д.

Важным частным случаем аналитического продолжения с кривой является аналитическое продолжение с действительной оси. Соответствующая проблема формулируется таким образом:

На промежутке (a; b) действительной оси (возможно на всей действительной оси) задана функция '(x). Можно ли найти аналитическую функцию f(x), определенную в некоторой области G комплексной плоскости, содержащей промежуток (a; b) действитель-

ной оси, такую, чтобы значения f(z) è '(x) на промежутке (a; b) совпадали?

Достаточно очевидно, что не для любой функции '(x) аналитическое

продолжение можно построить. Возьмем, например, действительную функцию '(x) = jxj, заданную на интервале (¡1; 1). Правая и левая производные

4

'(x) ïðè x = 0 не равны друг другу

Значит, функция комплексного переменного, совпадающая с '(x) ïðè z - действительном и лежащем на промежутке (¡1; 1) не будет дифференциру-

åìà ïðè z = 0 (для дифференцируемости необходимо, чтобы производные

по всем направлениям в комплексной плоскости были равны между собой). Следовательно, она не будет аналитична ни в какой области, содержащей отрезок действительной оси (¡1; 1).

Следствие из Теоремы 16.3: Элементарные функции комплексной переменной ez, sin z, cos z, ln z (как главная ветвь комплексной функции Ln z) ÿâ-

ляются единственными аналитическими продолжениями действительных функций ex, sin x, cos x, ln x.

Действительно, эти по определению при z - действительном значения функций комплексной переменной ez, sin z, cos z, ln z совпадают со значе- ниями функций ex, sin x, cos x, ln x. Например

ex+i¢0 = ex(cos 0 + i sin 0) = ex

Далее, в нашем курсе было установлено, что ez, sin z, cos z, ln z - ôóíê-

ции аналитические. Значит, по теореме 16.3 эти функции представляют собой единственно возможные продолжения действительных элементарных функций ex, sin x, cos x, ln x в комплексную плоскость.

Нестрогое замечание: Продолжение функции '(x), заданной на некотором

интервале (a; b) действительной прямой, в комплексную область можно пред-

ставить себе следующим образом. Возьмем какую-нибудь точку интервала (a; b), x = x0, в которой наша функция '(x) определена. Пусть '(x) бесконечно дифференцируема. Запишем формальный ряд Тейлора

Можно ожидать, что ряд сходится в некотором круге C1 с центром в точке z = x0 и неким радиусом R. Тогда ряд (3) в круге C1 определяет аналитиче- скую функцию f(z). Эта функция может совпадать с '(x) на промежутке

действительной оси (x0 ¡ R; x0 + R) (не вдаваясь в детали, скажем, что, вообще говоря, может и не совпадать, даже в случае бесконечно дифференцируемой функции '(x)!). Åñëè æå f(z) è '(x) совпадают, мы можем снова

взять какую-нибудь комплексную точку z = z1 близко от границы круга C1 и снова записать разложение в ряд Тейлора

X1 f(n)(z1)(z ¡ z1) n!

n=0

5

Если и этот ряд сходится в некотором круге C2, причем C2 не целиком лежит внутри круга C1, аналитическое продолжение оказывается определенным в некоторых точках за пределами круга C1. Далее, можно взять

какую-нибудь точку z = z2 внутри круга C2, лежащую вне круга C1, ñíî- ва записать в этой точке формальный ряд Тейлора, снова найти его круг сходимости и т.д. Выполнив указанную процедуру для всех точек заданного интервала (a; b), в принципе, можно получить искомую аналитическую

функцию.1 Как мы уже видели, далеко не всегда это возможно. Вместе с тем, исследование таких аналитических продолжений оказывается очень важным, например, при изучении решений дифференциальных уравнений (этим занимается так называемая аналитическая теория дифференциальных уравнений.)

Рис. 2: Аналитическое продолжение с действительной оси.

16.3 Теорема об особой точке на границе круга сходимости степенного ряда.

Теорема 16.4 (Теорема об особой точке на границе области сходимости степенного ряда). Пусть f(z) разлагается в степенной ряд

n=0

с конечным радиусом сходимости R. Тогда на границе круга сходимости имеется хотя бы одна особая точка f(z).

1Разумеется, здесь все не так просто: нужно убедиться, что значение этой функции

âлюбой точке z¤, не лежащей на действительной оси не зависит от способа продолже-

ния, т.е. от начальной точки x0 и последовательности кругов C1,C2,: : :. Вполне может оказаться, что это не так. Тогда появляются многозначные функции.

6

Рис. 3: К доказательству Теоремы 16.4.

Доказательство: Предположим, что теорема не верна, и все точки на границе круга сходимости C0 являются правильными для f(z). Тогда в каждой

точке границы » имеется разложение функции f(z) в степенной ряд

X1

f(z) = an(»)(z ¡ »)n

n=0

справедливое в некотором круге C» радиуса ½(»). Рассмотрим теперь область [

G = C0 [ C»

»

равную объединению круга C0 и всех кругов C». Покажем, что функция f(z) однозначно продолжается аналитически во всю область G. Действи-

тельно, рассмотрим три пересекающихся круга, C0, C»1 è C»2 . Они имеют общую часть ¾. В этой общей части все три разложения

X1

f(z) = cn(z ¡ z0)n

n=0

X1

f(z) = an(»1)(z ¡ »1)n

n=0

X1

f(z) = an(»2)(z ¡ »2)n

n=0

описывают одну и ту же функцию f(z). Кроме того, общая часть кругов ¾

содержит сходящуюся последовательность точек, и, следовательно, функция f(z) может быть однозначно продолжена с пересечения ¾ на объедине-

ние этих трех кругов C0 [ C»1 [ C»2 . Применяя такие же рассуждения для

7

любых пересекающихся кругов C»1 è C»2 , получаем, что функция f(z) однозначно продолжается аналитически во всю область G. Но каждая точка

границы C0 является внутренней для области G. Таким образом, расстояние

îò z0 до границы области G будет больше, чем R, радиус C0. Следователь-

но, имеется круг с центром в точке z0 и радиусом R0, большим, чем R, в котором справедливо разложение (4), что противоречит условию теоремы. Значит наше предположение о том, что все точки границы круга C0

вильные, несправедливо и на границе круга C0 имеется хотя бы одна особая точка, ч.т.д.

Пример: Рассмотрим разложение в ряд функции f(z) = 1¡1 z

Функция f(z) аналитическая всюду, кроме точки z = 1. Поэтому радиус

сходимости указанного ряда равен расстоянию от точки z0 = 0 (где производится разложение) до точки z = 1, ò.å. R = 1 (нетрудно проверить по

формуле Коши-Адамара). Если разложить ту же функцию, но взяв z0 = 2i,

1X1 (z ¡ 2i)n

=1 ¡ 2i ¢ n=0 (1 ¡ 2i)n

получаем, что радиус сходиìости ряда равен расстоянию от точки z = 2i до точки z = 1, òî åñòü p5, что опять же легко проверяется формулой

Коши-Адамара.

8