Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_06

Определение:

Бесконечная сумма членов последовательности называется

Определение:

P

1

.

Sn =

k=1 ak называются частичными

рядом. Обозначение:

k=1 ak

P

суммами ряда.

Конечные суммы

n

Определение:

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится после-

довательность его частичных сумм

lim Sn = S

n!1

S

Pk1=1 ak =

S.

Предел последовательности

называется суммой ряда. Обозначение:

äëÿ

q -

действительного). Этот ряд сходится, если

jqj < 1

и расходится, если

его сумма равна 1

jqj ¸ 1. Ïðè jqj < 1

1¡q

.

9.2. Свойства сходящихся рядов.

числа. Тогда ряд

P

1

P

1

Теорема 9.1

Пусть ряды

k=1 ak

k=1 bk

ca

cb

1

(caak + cbbk)

1

1

1

X

X

X

(caak + cbbk) = ca

ak + cb

cbbk

k=1

k=1

k=1

n

n

n

X

X

X

lim Ak;

lim Bk

k!1

k!1

lim Sk = ca lim Ak + cb lim Bk

k!1

k!1

k!1

1

3 ¢ 2k + 2 ¢ 3k

=

3

1

2k + 2

1

3k

= 3

1

1

+ 2

1

1

=

X

X

X

X

X

k=0

6k

¢ k=0

6k

¢ k=0

6k

¢ k=0

3k

¢ k=0

2k

=

3

+

2

=

17

1 ¡ 1=3

1 ¡ 1=2

2

Доказательство: Рассмотрим последовательность частичных сумм Sn ðÿäà

P

Sn сходится тогда и

1

и применим к ней критерий Коши сходимости последовательности

k=1 ak

an+1 + an + : : : + a2n =

1

+

1

+ : : : +

1

>

n + 1

n + 2

2n

>

1

+

1

+ : : : +

1

=

n

=

1

2n

2n

2n

2n

2

9.3. Абсолютно сходящиеся ряды и условно сходящиеся ряды.

дится ряд из

P

j

j

Определение:

Ðÿä

1

k=1 ak

называется абсолютно сходящимся, если схо-

Теорема 9.4 Если ряд сходитсяP

абсолютно, то он сходится в обычном смыс-

модулей

1

ak .

k=1

ëå.

8" > 0 9NP(

8

8

Доказательство:

Если ряд из модулей

k1=1 jakj сходится, то для него вы-

полняется критерий Коши:

"), такой, что

n > N è

m > 0

выполняется соотношение jan+1j + jan+2j + : : : + jan+mj < ". Íî

jan+1 + an+2 + : : : + an+mj · jan+1j + jan+2j + : : : + jan+mj < "

критерия Коши и он сходится ч.т.д.

P

1 ak также выполняется условие

Следовательно, для ряда без модулей

k=1

Замечание: Обратное, вообще говоря, неверно.

k1=1 jakj расходится, тоP

Определение: Если ряд

1

k=1 ak сходится, а ряд, составленный из модулей

P

говорят, что этот ряд сходится условно.

Пример:

1 1

P

k

1

1

1

1

Рассмотрим ряд

1

1

. Покажем, что этот ряд сходится.

k=1

2

Sn = 1 +

+

+ : : : +

< 1 +

+

+ : : : +

=

22

32

n2

1 ¢ 2

2 ¢ 3

(n ¡ 1)n

= 1 +

µ1 ¡ 2¶ + µ2

¡ 3¶

+ : : : + µn ¡ 1

¡ n¶

= 2 ¡ n · 2

1

1

1

1

1

1

такой номер n0, ÷òî an ¸ bn 8n > n0. Тогда

P

1

P1

расходится, то расходится и

(i) åñëè ðÿä

1

сходится, то сходится и ряд

1

;

n=1 an

n=1 bn

(ii) åñëè ðÿä

Pn=1 bn

ðÿä

Pn=1 an

;

Доказательство:

(i) Очевидно, что ряды

1

1

X

X0

an è

an

n=1

n=n

сходятся или расходятся одновременно. Пусть An - последовательность ча-

ðÿäà

n1=n0 bn. Ïî

P

1

An ¸ Bn

n > n0. Если сходится ряд

стичных сумм ряда

n=n0 an

Bn - последовательность частичных сумм

P

условию,

ïðè

Bn и по Теореме 10.1

1

a

n

, то ограничена последовательность его частичных сумм A

n

. Ñëå-

n=nP0

довательно, также ограничена последовательность

ðÿä

P

1

сходится. Следовательно,

P

1

также сходится.

n=n0 bn

P

n=1 bn

n1=1 bn, ÷òî

P

(ii) Пусть ряд

1

an

сходится. Тогда по пункту (i) сходится и ряд

n=1

противоречит условию. Теорема доказана.

an > 0

Теорема 10.3 (Второй или предельный признак сравнения) Пусть

,

bn > 0 è

an

Pn1=1 an è

Pn1=1 bn эквивалентны т.е. существует предел

ðÿäû

nlim

= k;

0 < k < 1

b

!1

n

P n!1 bn

8

9

8

P

Тогда ряды

1

è

1

сходятся или расходятся одновременно.

n=1 an

n=1 bn

Доказательство: Åñëè lim

an

= k òî " > 0

N("), такое, что

n >

N(") выполняется соотношение

¯bn

¡ k¯

< "

¯

an

¯

Ýòî ¯

неравенство¯

означает, что

8n > N(")

выполняется неравенство

k ¡ " <

an

¯

¯

bn

< k + " что в свою очередь означает, что (k ¡ ")bn < an < (k + ")bn. Òàê

êàê " может быть выбрано произвольно малым, выберем его таким, чтобы

ðÿä

n1=1(k + ")bn è ïîP

1

k ¡ " > 0

. Пусть ряд

n=1 bn сходится. Тогда по Теореме 9.1 сходится и

an <P(k + ")bn влечет за собой сходимость ряда

n1=1 an. Напротив, если

первому признаку сравнения (Теорема 10.2) оценка

ðÿä

n1=1 bn расходится, то применяя первый

P

(k ¡P n

n

P

n=1 an

признак сравнения и оценку

доказана.

1

")b

< a , заключаем, что ряд

также расходится. Теорема

Чтобы выяснить, сходится данный ряд или расходится, стоит попробо-

вать подобрать другой ряд, сходимость/расходимость которого известна, и

использовать теоремы сравнения.

1. Ðÿä

1

sin2 n®

. Справедлива оценка

n=1

2n

sin2 n®

1

0 ·

P

·

2n

2n

à ðÿä

1

1

сходится (это бесконечная геометрическая прогрессия). То-

n=1 2n

первому признаку сравнения исходный ряд тоже сходится.

ãäà ïîP

1

Ðÿä

1

n = 2 справедливо равенство

n=1

. Начиная со

2.

1

P

11+pn

1 + p

>

n

n

Ðÿä

1

1

расходится (гармонический ряд), следовательно по первому

n=1 n

признаку сравнения расходится и исходный ряд.

P

1

3. Ðÿä

¼

. Â ñèëó òîãî, ÷òî

¼

, äëÿ

n=1

1 ¡ sin n

limn!1(1 ¡ sin n ) = 1

не выполнено необходимое условие (предел

-го члена должен

этого ряда P

¡

¢

n

быть равен нулю!) Поэтому ряд расходится.

Ðÿä

1

1

cos ¼

. Это ряд, все члены которого положительны.

4.

P

n=1

¡ ¡

n ¢

1

Покажем, что этот ряд сходится или расходится одновременно с рядом

Pn1=1 n2 .

¼

¼2

1

Действительно

¡

³

¡

¡

¢

´ = ¼2

nlim

1 ¡

1

n

= nlim

1

cos

1

1

n2 + o

n2

!1

!1

n2

n2

P

1

Ðÿä

1

сходится, следовательно, по предельному признаку сравнения,

n=1 n2

сходится и исходный ряд.

5. Ðÿä

1 + tg n¼

1

X

¡

tg n¼ ¶

n=3 ln µ1

положительными членами (так как при

¼

> 0 è,

Ýòî - ðÿä ñ

¼

¼

n ¸ 3 имеем tg n

следовательно, 1+tg n

> 1¡tg n т.е. под логарифмом стоит число, большее

1). Ïðè n ! 1

tg n

= n + o µn¶

¼

¼

1

Поэтому при n ! 1

³1 + tg n´ ¡ ln

³1 ¡ tg n´ =

ln µ

1 ¡ tg n¼

¶

= ln

1 + tg

¼

¼

¼

n

= 2 tg n

+ o

µn¶ =

n

+ o µn¶

¼

1

2¼

1

ln

³

1+tg ¼

´

1¡tg n¼

n

nlim

= 2¼

1

!1

n