Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_01

Лекция 1

1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел

1.1 Понятие комплексного числа.

Определение: Комплексным числом называется выражение вида x + iy, ãäå x è y - действительные числа, а i - символ, который называется мнимой единицей. Символ i отождествляется с корнем из ¡1:

Числа x è y называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа x + iy. При этом записывают:

x = Re(x + iy); y = Im(x + iy)

Действительные числа включаются в множество комплексных чисел. При этом полагается, что мнимая часть равна нулю. Те комплексные числа, у которых равна нулю действительная часть, называются чисто мнимыми1.

Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2 считаются равными, z1 = z2, åñëè x1 = x2 è y1 = y2. Вместе с тем нельзя сказать, какое из двух

комплексных чисел z1 è z2 больше другого. Запись z1 > z2, åñëè ðå÷ü èäåò о комплексных числах - грубейшая ошибка(!)

Действия с комплексными числами: (введем формально)

Пусть z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2.

(A)Сложение: z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

(B)Вычитание: z1 ¡ z2 = (x1 ¡ x2) + i(y1 ¡ y2)

(C)Умножение: z1 ¢ z2 = (x1x2 ¡ y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

Важно(!): комплексные числа можно умножать как многочлены, используя соотношение (1).

(D)Комплексное сопряжение: (обозначается z¯).

x + iy = x ¡ iy

1Историческая справка: Комплексные числа - сравнительно позднее изобретение че- ловечества. Формально, они появились в 16 веке в трудах Кардано (того самого, чьим именем называют формулу корней уравнения третьей степени), но он считал их бесполезными. Ньютон не считал комплексные числа "полноценными"числами, а Лейбниц считал их "убежищем божественного духа". В 18 веке комплексные числа стали чаще привлекать внимание исследователей. Символ i был предложен Леонардом Эйлером (1777). Систе-

матическое изложение теории комплексных чисел относится к концу 18-го - началу 19-го века.

1

Свойства:

(a) z1 § z2 = z¯1 § z¯2 (b) (¯z) = z

(c) z1 ¢ z2 = z¯1 ¢ z¯2

(d) z ¢ z¯ = (x + iy)(x ¡ iy) = x2 + y2 2 R

Полезные формулы:

(F) Возведение в целую степень: Определим целую степень n комплексного числа z как произведение

zn = z ¢ z ¢ : : : z

| {z }

n ðàç

Таким образом возведение в целую степень сводится к многократно повторенной операции умножения.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Удобно ввести так называемую комплексную плоскость и ставить в соответствие точке плоскости с координатами (x; y) комплексное число x+iy.

При этом действительным числам будет соответствовать точки оси абсцисс, а мнимым - точки оси ординат. Перейдя на комплексной плоскости к полярным координатам, x = ½ cos ', y = ½ sin ', получим тригонометрическую

форму записи комплексного числа.

z = ½(cos ' + i sin ')

Ïðè ýòîìp

½ = x2 + y2 ´ jzj - модуль комплексного числа;

' - аргумент комплексного числа. Аргумент обозначается Arg z и определяется с точностью до любого слагаемого, кратного 2¼. В отличие от Arg z (бесконечно много значений) вводится еще arg z (главное значение

2

y

z=x+iy

ρ

ϕ

x

Рис. 1: Комплексная плоскость.

аргумента), соответствующее тому значению Arg z, которое лежит между ¡¼ è ¼. Очевидно, Arg z = arg z + 2¼k, k 2 Z. Справедлива формула

Для комплексного числа 0 модуль равен нулю, а аргумент не определен.

Тригонометрическую и показательную форму записи комплексного числа связывает формула Эйлера

z = ½(cos ' + i sin ') = ½ei'

Эта формула является определением экспоненты в мнимой степени (ее не нужно доказывать).

Использование слова экспонента не случайно. Проверим для только что введенной экспоненты свойство, характерное для обычной экспоненты

ea+b = ea ¢ eb

Получим

ei'1 ¢ ei'2 = (cos '1 + i sin '1) ¢ (cos '2 + i sin '2) = [: : :] =

= (cos '1 cos '2 ¡ sin '1 sin '2) + i(sin '1 cos '2 + cos '1 sin '2) = ei('1+'2)

Примеры:

1. z = 1: j1j = 1, arg 1 = 0, 1 = 1 ¢ (cos 0 + i sin 0) = 1 ¢ ei¢0.

3

6. z = ¡ sin ¼8 ¡ i cos ¼8 : jzj = sin2 ¼8 + cos2 ¼8 = 1. Для нахождения аргумента отметим точку z на комплексной плоскости; она лежит на единичной

окружíости в третьей четверти.5ͼiетрудно сообразить, что ее аргумент равен ¡58¼ . Таким образом, z = e¡ 8 .

Геометрическая интерпретация действий с комплексными числами.

1. Сложение комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов на плоскости. Отсюда следует неравенство треугольника:

jz1 + z2j · jz1j + jz2j

y

z1

z2

z1+z 2

x

Рис. 2: Сложение комплексных чисел.

2. Умножение комплексных чисел. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

z1 ¢ z2 = ½1ei'1 ¢ ½2ei'2 = ½1(cos '1 + i sin '1) ¢ ½2(cos '2 + i sin '2) =

=½1½2f(cos '1 cos '2 ¡ sin '1 sin '2) + i(cos '1 sin '2 + sin '1 cos '2)g =

=½1½2fcos('1 + '2) + i sin('1 + '2)g = ½1½2ei('1+'2)

3.Деление комплексных чисел. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

4

4. Возведение в целую степень. Используем формулу Эйлера

zn = [½(cos ' + i sin ')]n = [исп. свойства умножения] = ½n(cos(n') + i sin(n'))

Тем самым мы вывели формулу Муавра

(cos ' + i sin ')n = cos(n') + i sin(n')

что эквивалентно

(ei')n = ein'

Примеры:

(A) Вычислить (1 + i)3

(1 + i)3 = ³p2ei¼=4´3 = 23=2 µcos 34¼ + i sin 34¼ ¶ = ¡2 + 2i

Íî â ñèëó òîãî, ÷òî e2¼i = 1 формула (2) дает не бесконечное, а конечное число различных значений, соответствующих k = 0; 1; 2; : : : ; n ¡ 1. Таким образом, корень n-ой степени имеет n различных значений.

Примеры:

5

p

(A) Вычислить 4 1

>

>

:

Простейшие множества точек на комплексной плоскости.

Выражение jz1 ¡ z2j представляет собой расстояние между точками на

комплексной плоскости, z1 è z2. Исходя из этого можно описать следующие множества:

(a) jz ¡ z0j = a, a > 0 - окружность с центром в точке z0 и радиусом a;

(b) jz ¡ z0j < a, a > 0 - открытый круг с центром в точке точке z0 è радиусом a;

(c) jz ¡ z0j ¸ a, a > 0 - внешность открытого круга с центром в точке точке z0 и радиусом a;

(d) a < jz ¡ z0j < b, 0 < a < b, - открытое кольцо с центром в точке z0;

Полезно также представлять себе следующие множества:

(e) arg(z ¡ z0) = ' - луч, с началом в точке z0, идущий под углом ' к положительному направлению действительной оси;

(f) ® < arg(z ¡ z0) < ¯, - внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке z0 и углом раствора ¯ ¡ ®;

(g) Re z = a - прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку (a; 0);

(h) Im z = b - прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку (0; b).

1.2. Последовательности комплексных чисел

Определение: Последовательностью комплексных чисел называется упорядоченное счетное множество комплексных чисел fzng.

Определение: Комплексное число z называется пределом последовательно-

ñòè fzng åñëè 8" > 0 9N(") ÷òî 8n > N jz ¡ znj < ".

6

Записывают:

n!1

ны последовательности циклически повторяются, период равен 360).

Задание комплексной последовательности zn = xn + iyn соответствует одновременному заданию двух действительных последовательностей, fxng è fyng.

Теорема 1.1: Необходимым и достаточным условием того, что fzng ! z = x + iy является требование того, что fxng ! x è fyng ! y.

Доказательство:

Необходимость: 8" > 0 9N(") ÷òî jz¡znj < " 8n > N =) jxn¡xj · jzn¡zj < " è jyn ¡ yj · jzn ¡ zj < " =) fxng ! x è fyng ! y.

Достаточность: 8" > 0 9N1(") ÷òî jxn ¡xj < 2" 8n > N1 а также 9N2(") ÷òî jyn ¡ yj < 2" 8n > N2. Выбирая N = maxfN1; N2g, получаем, что jzn ¡ zj ·

jxn ¡ xj + jyn ¡ yj < " 8n > N ÷.ò.ä.

Теорема 1.2: (критерий Коши сходимости последовательности). Необходимым и достаточным условием сходимости fzng ! z является требование,

чтобы 8" > 0 9N(") äëÿ 8n > N è 8m > 0.

Доказательство:

Необходимость: Пусть zn = xn+iyn. Òàê êàê fzng ! z = x+iy, òî fxng ! x

äëÿ 8n > N2("). Выбирая N(") = maxfN1; N2g имеем, что jzn+m ¡ zmj ·

jxn+m ¡ xnj + jyn+m ¡ ynj < " äëÿ 8n > N.

Достаточность: Из того, что jzn+m ¡ znj < " äëÿ 8n > N(") è 8m > 0

следует, что jxn+m ¡ xnj · jzn+m ¡ znj < " è jyn+m ¡ ynj · jzn+m ¡ znj < ".

Следовательно, последовательности fxng è fyng удовлетворяют условиям критерия Коши для действительных последовательностей и сходятся. По Теореме 1.1 последовательность fzng также сходится, ч.т.д.

Определение: Последовательность fzng называется ограниченной, если 9A 2 R ÷òî 8n jznj < A.

Определение: Если 8A > 0 9N(A) такой, что jznj > A äëÿ 8n > N(A), то такая последовательность называется неограниченно возрастающей.

7

Примеры:

(A) fzng = zn, jzj > 1 (модуль n-го члена равен jzjn - стремится к беско- нечности при n ! 1.)

(B) fzng = in

Задача: Привести пример последовательности, которая была бы неограни- ченной, но не являлась бы неограниченно возрастающей.

8