Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_05

Лекция 5

7. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши. 7.1. Интегральная формула Коши.

Теорема 7.1 ( Интегральная формула Коши) Пусть G - область, с кусочно-

- аналитическая в замкнутой области ¯ гладкой границей @G. Пусть f(z) G

è z0 2 G - любая точка области G. Тогда справедлива формула

(знаком + отмечено положительное направление обхода)

Формула (1) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши.

Доказательство: Рассмотрим круг D с центром в точке z0 и радиусом ½, целиком принадлежащий области G. Вырежем этот круг из области G. Ïî-

лучившаяся многосвязная область GnD снаружи ограничена границей об-

1

при этом последнее неравенство справедливо при любом ½ (!). В силу непре-

рывности f(z) во всей области G заключаем, что max»2°½ jf(») ¡ f(z0)j ! 0

ïðè ½ ! 0. Поэтому

Z

I = °½+ » ¡ z0 ¡ f(z0) ¢ 2¼i = 0

Используя равенство (2), получаем утверждение теоремы.

Замечание 1: Формула Коши верна как для односвязной, так и многосвязной области, только в последнем случае @G+ - полная граница области,

проходимая в положительном направлении.

Замечание 2: Интеграл Коши имеет смысл для любого взаимного расположения точки z0 и замкнутого контура (не проходящего через z0) в области

аналитичности f(z). Ïðè ýòîì

Теорема 7.2 (Формула среднего значения) Пусть f(z) - функция аналити-

ческая в области G è z0 - внутренняя точка G. Пусть DR - круг радиуса R с центром в точке z0, полностью содержащийся в G. Тогда

(Грубо говоря: значение аналитической функции в точке равно среднему значению этой функции по окружности с центром в этой точке).

Доказательство: Возьмем в качестве контура интегрирования в формуле Коши (1) границу круга @D (окружность радиуса R с центром в z0). Вводя

на этой окружности параметризацию » = z0 +Rei', d» = iRei' d' получаем

2

÷.ò.ä.

Замечание: Иногда вводят элемент длины окружности ds = R d' и записывают формулу среднего значения в виде

Тут важно не запутаться. Если перепутать ds è d» интеграл окажется равным нулю!

7.2. Принцип максимума.

Теорема 7.3 Пусть в некоторой области G (a) постоянна действительная

часть аналитической функции f(z) èëè (b) постоянен ее модуль jf(z)j. Тогда эта функция сама постоянна.

Доказательство: (a) Пусть f(z) = u + iv. Утверждение следует непосредственно из условий Коши-Римана:

ux = uy = 0 â G =) vx = vy = 0 â G =) f(z) = const

(b) Åñëè jf(z)j = 0, то утверждение очевидно. Если это не так, рассмотрим функцию ln f(z) = ln jf(z)j + i arg z (логарифм в левой части

понимается как главная ветвь комплексной функции Ln z, в правой части

- действительный, ( школьный ) логарифм). Это - аналитическая функция, определенная в G, ее действительная часть постоянна, далее см. п. (a). Тео-

рема доказана.

Теорема 7.4 (принцип максимума) Пусть функция f(z) - аналитическая в

замкнутой области ¯

G, которая не равна тождественно постоянной. Тогда ее модуль jf(z)j достигает своего наибольшего значения на границе @G.

Доказательство: Предположим противное: пусть jf(z)j достигает своего

наибольшего значения во внутренней точке z0 и это значение равно при ýòîì M. Дальнейшее рассуждение разобьем на три этапа

1 ýòàï Возьмем окружность °R с радиусом R и центром в точке z0, (соответствующий круг полностью лежит в G). Запишем формулу средних

Z 2¼

2¼f(z0) = f(z0 + R ei') d'

0

3

G

z*

C1 ϕ* z0

C2

Рис. 1: К доказательству Теоремы о принципе максимума.

2 ýòàï Докажем1, что тогда jf(z)j = M íà °R. Действительно, если бы хотя бы в одной точке z¤ 2 °R выполнилось бы неравенство jf(z¤)j < M, то имелась бы дуга окружности C1, содержащая точку z¤, äëÿ âñåõ точек которой также выполнялось бы соотношение jf(z)j < M. Пусть '¤

- центральный угол (в радианах), соответствующий этой дуге. Получаем строгое неравенство

Z

jf(z0 + R ei')j d' < '¤M

C1

Обозначим оставшуюся часть окружности C2. Центральный угол, соответ- ствующий этой части окружности равен (2¼ ¡ '¤). Значит

<'¤M + (2¼ ¡ '¤)M = 2¼M

Следовательно, jf(z)j = M íà °R.

3 ýòàï Точно такие же рассуждения справедливы для любой окружности, с центром в точке z0 и радиусом меньшим R. Следовательно, jf(z)j = M

в круге радиуса R с центром в точке z0. Но по Теореме 7.3 это означает, ÷òî f(z) = C = const в круге радиуса R с центром в точке z0.

1Идея этого рассуждения та же, что и при решении задачи: Cредний вес 10 человек 100 кг. Доказать, что либо они все весят 100 кг, либо найдется хотя бы один, который весит больше 100 кг.

4

Покажем теперь, что jf(z)j = M не только в этом круге, но и в любой области G, à f(z) = C постоянна во всей области G. Соединим и z¤ кривой ¸ (это можно сделать, так как G - область). Кривая

¸ пересекает °R в некоторой точке; пусть это точка z1. В точке z1 имеем jf(z1)j = M. Возьмем круг, целиком принадлежащий G, с центром в точке z1 и радиусом R1. Те же рассуждения показывают, что в этом круге функция jf(z)j = M è f(z) постоянна. Повторяя ту же процедуру, возьмем точку

пересечения этого последнего круга с кривой ¸ (пусть это будет точка z2)

и построим еще один круг с центром в z2 и некоторым радиусом R2 è ò.ä. Действуя таким образом, можно за конечное число шагов2 дойти до точки z¤ и установить, что f(z0) = f(z¤) = C è jf(z0)j = jf(z¤)j = M. Теорема доказана.

8. Формула Коши для производных.

8.1. Дифференцирование интегралов по параметру.

Необходимые сведения из материала 1-го курса

Теорема 8.1(a) Пусть действительная функция f(x; ¸) и ее частная производная

Доказательство: см курс действительного анализа.

Теорема 8.1(b) Пусть действительные функции f(x; y; ¸) è g(x; y; ¸) и их частные

производные @¸@ f(x; y; ¸) @¸@ g(x; y; ¸) определены и непрерывны по совокупности аргументов на множестве f(x; y) 2 ; ¸1 · ¸ · ¸2g, где - кусочно-гладкая кривая

в плоскости (x; y). Тогда функция, представленная интегралом второго рода

Z

F (¸) = f(x; y; ¸) dx + g(x; y; ¸) dy

дифференцируема на отрезке [¸1; ¸2] и ее производная равна

Доказательство: Немедленно следует из Теоремы 8.1(а), достаточно расписать интегралы второго рода по определению.

2То, что число шагов будет конечным, примем без доказательства

5

Теорема 8.1(с) Пусть комплексная функция f(z; ³), z = x + iy, ³ = » + i´

обладает следующими свойствами

(i) f(z; ³) - аналитическая функция своего аргумента z в некоторой об-

ласти G (ò.å. ïðè z 2 G, про аналитичность по второму аргументу ³ ничего

не говорится!).

(ii) f(z; ³) определена на кусочно-гладкой кривой по своему второму аргументу ³.

(iii) f(z; ³) è @z@ (z; ³) непрерывны по совокупности аргументов z è ³ на множестве G £ (следует понимать как такое множество пар (z; ³), ÷òî

z 2 G, ³ 2 ).

Доказательство: Пусть

f(z; ³) = u(x; y; »; ´) + iu(x; y; »; ´)

Распишем F (z) в явном виде

Z

F (z) = f(z; ³) d³ = U(x; y) + iV (x; y)

причем (см параграф 6)

Z

U(x; y) = u(x; y; »; ´) d» ¡ v(x; y; »; ´) d´

Z

V (x; y) = u(x; y; »; ´) d´ + v(x; y; »; ´) d»

По теореме 8.1 (b) эти интегралы можно дифференцировать по параметрам x è y так как из условия (ii) следует, что производные ux; vx; uy; vy

рывны. Используя условия Коши-Римана ux = vy, uy = ¡vx получаем

ZZ

Ux(x; y) = ux d» ¡ vx d´ = vy d» + uy d´ = Vy(x; y)

Z Z

Uy(x; y) = uy d» ¡ vy d´ = ¡vx d» ¡ uy d´ = ¡Vx(x; y)

Кроме того, Ux; Uy; Vx; Vy - непрерывны в G (òàê êàê ux; uy; vx; vy непрерыв- íû â G, а это, в свою очередь, следствие пункта (i)). Следовательно, F (z) -

аналитическая функция в G. Ïðè ýòîì

F 0(z) = Ux + iVx = Z ux d» ¡ vx d´ + i Z ux d´ + vx d» = Z @f (z; ³) d³

@z

6

÷.ò.ä.

8.2. Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.

Соответственно, все производные также являются аналитическими функциями.

Доказательство: Значения функции f(z) во внутренних точках области G можно выразить при помощи формулы Коши

ласти G è » определено на границе области @G, соответственно сама функция определена на множестве G £ @G. Убедимся, что функцию под знаком интеграла можно дифференцировать по параметру z. Для этого проверим

условия теоремы 8.1(с):

(i),(ii): f(») » в области G (»¡z) - аналитическая функция своего аргумента

(это могло быть не так, если бы где-нибудь » равнялось бы z и знаменатель обратился бы в нуль. Но » определено на границе @G в то время как z определено внутри G). Ïðè ýòîì

(iii) Проверим, что f(»)

(»¡z) , непрерывна по совокупности переменных на множестве G £ @G. Это означает, что для любой точки z0 2 G и для любой

точки контура »0 2 @G выполняется равенство

причем этот предел не зависит от способа приближения пары (z; ») ê (z0; »0).

íóëþ òàê êàê z0 не лежит на границе!) и выражение в левой части неравенства также стремится к нулю. Следовательно, функция 1

»¡z непрерывна

7

по совокупности аргументов. Далее, функция f(z) аналитическая и, следовательно, непрерывна в G. Кроме того, она не зависит от » и поэтому она

Указанную процедуру можно повторить. Производная порядка n подын-

тегральной функции по параметру z равна n!f(»)

(»¡z)n+1 . Аналогичные рассуждения показывают, что при любом n она непрерывна на G £@G по совокуп-

ности аргументов z è ». Следовательно, интеграл Коши можно дифференцировать произвольное количество раз. Теорема доказана.

Замечание: В случае функций действительной переменной из дифференцируемости не следует существования высших производных. Например, функция f(x) = xjxj непрерывна на всей числовой прямой и имеет на всей

числовой прямой непрерывную производную f0(x) = 2jxj. Однако f00(x) íå

существует. Это - очень большое отличие свойства аналитичности (в смысле функций комплексной переменной) и дифференцируемости (в смысле функций действительной переменной)

8.3. Теоремы Мореры и Лиувилля.

Теорема 8.3 (Теорема Мореры 3) Пусть f(z) непрерывна в односвязной об-

ласти G, и для любого замкнутого контура ° 2 G выполнено равенство

I

f(z) dz = 0

°

Тогда f(z) аналитическая в G.

Доказательство: Пусть z0 è z лежат в G. При условиях теоремы существу-

R z

åò F (z) = z0 f(») d», где интеграл берется по любому пути, соединяющему точки z0 è z и целиком лежащему в G (см Теорему 6.5). При этом функ-

öèÿ F (z) является аналитической, также по Теореме 6.5. Но производная

аналитической функции также является аналитической функцией (Теорема 8.2). Следовательно, существует F 00(z) = f0(z) и она также аналитична,

и, следовательно, непрерывна. Теорема доказана.

Теорема 8.4 (Теорема Лиувилля 4). Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и ограниченная на всей комплексной плоскости является константой.

ãîäó3Джачинто Морера, итальянский математик, 1856-1909, эту теорему доказал в 1886 4Жозеф Лиувилль (1809-1882) - французский математик

8

Доказательство: Пусть f(z) - аналитическая на всей комплексной плоскости и 9M, такое, что jf(z)j < M для любых z. Выразим значение f0(z) â

произвольной точке z через значения f(z) на окружности CR радиуса R с центром в точке z

На окружности CR имеем: j» ¡ zj = R. Оценим jf0(z)j:

Это соотношение справедливо для любого R. Устремляя R к бесконечности, получаем, что jf0(z)j = 0 ò.å. f(z) = const для любого z. Теорема доказана.

9