Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_03

Лекция 3

3. Понятие предела функции комплексной переменной. Непрерывность функции комплексного переменного.

Определение: Пределом функции f(z) в точке z0, называется комплексное число w0, такое, что 8" > 0 9±("; z0) > 0 такое, что при 0 < jz ¡ z0j < ± выполняется соотношение jf(z) ¡ w0j < ". Записывают:

lim f(z) = w0

z!z0

Определение: Предел функции f(z) в точке z0 равен бесконечности, если 8A 2 R 9±(A) > 0, такое, что 0 < jz ¡ z0j < ± выполняется соотношение jf(z)j > A. Записывают:

lim f(z) = 1

z!z0

Определение: Предел функции f(z) ïðè z ! 1 равен комплексному числу

w0, åñëè 8" > 0 9R > 0, такое, что jzj > R выполняется соотношение jf(z) ¡ w0j < ". Записывают:

lim f(z) = w0

z!1

Теорема 3.1: Необходимым и достаточным условием того, что число w0 = u0 + iv0 - предел функции f(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) в точке z0 = x0 + iy0 является существование пределов

рассматриваемых по совокупности переменных. Доказательство:

Необходимость: 8" > 0 9±(") ÷òî jf(z) ¡ w0j < " ïðè jz ¡ z0j < ± =)

Замечание: Пределы в Теореме 3.1 должны браться именно по совокупности переменных. Это означает, что если предел limz!z0 f(z) = w0 ñóùå-

ствует, то он не зависит от способа приближения к точке z0

1

x

Рис. 1: Пределы не зависят от способа приближения к z0 = x0 + iy0!

плоскости. Например, пределы по всем кривым, показанным на Рис. 2 равны. Аналогичное замечание справедливо в случаях z0 = 1 è w0 = 1.

Задача: Доказать утверждение, аналогичное Теореме 3.1 в случаях

Примеры:

(A) limz!1 z1 = 0. Действительно, каким бы ни было ", можно взять R = 1=", такое,то j1=zj = 1=jzj < " ïðè jzj > R.

(B) limz!0 e¡1=z2 не существует (в отличие от действительного случая!). Рассмотрим два способа приближения к пределу: (i) по действительной оси, справа и (ii) по мнимой оси, сверху. В случае (i) предел равен нулю (действительный случай). В случае (ii) сделаем замену z = iy и задача сведется

к вычислению предела limz!0 e1=y2 , который равен бесконечности. Таким образом, пределы по разным направлениям получаются разными и единого предела не существует.

Определение: Функция комплексной переменной f(z) называется непрерыв-

ной в точке z0 если существует ограниченный предел limz!z0 f(z) = w0 è

w0 = f(z0).

Определение (в терминах " ¡ ±): Функция комплексной переменной f(z)

называется непрерывной в точке z0 åñëè 8 > 0 9±(") > 0 такое, что при jz ¡ z0j± выполняется неравенство f(z) ¡ f(z0)j < ".

Определение: Функция комплексной переменной f(z) называется непрерывной в области G если она непрерывна в каждой точке z 2 g. Записывают

f(z) 2 C(G).

2

Теорема 3.2: Необходимым и достаточным условием непрерывности f(z) â G является требование, чтобы действительная и мнимая части f(z), u(x; y)

è v(x; y) были непрерывны в G по совокупности переменных. Доказательство: Следует непосредственно из Теоремы 3.1.

4. Дифференцирование функции комплексной переменной. Аналитические функции.

4.2. Производная комплексной функции. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.

Определение: Однозначная функция f(z) 2 C(g) называется дифференциру-

емой в точке z = z0 åñëè ïðè z = z ¡ z0 ! 0 существует конечный предел отношения

Теорема 4.1: (условия Коши-Римана в точке, необходимое условие). Если f(z) = u(x; y) + iu(x; y) дифференцируема в точке z0 = x0 + iy0, òî ñóùå-

ствуют частные производные ux(x0; y0); uy(x0; y0); vx(x0; y0); vy(x0; y0) и они связаны условиями Коши-Римана:

Доказательство: Воспользуемся тем, что в определении производной предел не зависит от способа приближения к точке z0.

(i) z = x ! 0 (приближение к точке z0 вдоль прямой, параллельной действительной оси)

=ux(x0; y0) + ivx(x0; y0)

(ii)z = i y ! 0 (приближение к точке z0 вдоль прямой, параллельной

мнимой оси)

= ¡iuy(x0; y0) + vy(x0; y0)

Следовательно, ux(x0; y0) = vy(x0; y0) è uy(x0; y0) = ¡vx(x0; y0) ч.т.д. Теорему 4.1 можно схематически изобразить в виде:

3

Теорема 4.2: (условия Коши-Римана в точке, достаточное условие). Пусть f(z) = u(x; y) + iv(x; y). Если в точке z0 = x0 + iy0 существуют первые

дифференциалы функций u(x; y) è v(x; y) и первые частные производные

этих функций в точке (x0; y0) связаны условиями Коши-Римана (1)-(2), то f(z) - дифференцируемая функция в точке z0.

Доказательство: Òàê êàê u(x; y) è v(x; y) дифференцируемы в точке (x0; y0), то справедливы представления (см. курс действительного анализа)

u = ux(x0; y0)Δx + uy(x0; y0)Δy + »(x; y) v = vx(x0; y0)Δx + vy(x0; y0)Δy + ´(x; y)

=[в силу условий ux(x0; y0) = vy(x0; y0) è uy(x0; y0) = ¡vx(x0; y0)]

=ux(x0; y0)Δx ¡ vx(x0; y0)Δy + ivx(x0; y0)Δx + iux(x0; y0)Δy + ³(x; y) = x + i y z

Замечание: Производная может быть записана различными эквивалентными способами:

f0(z) = ux(x; y) + ivx(x; y) = vy(x; y) + ivx(x; y) =

= ux(x; y) ¡ iuy(x; y) = vy(x; y) ¡ iuy(x; y)

4

Замечание: Если функция дифференцируема в точке z0, то она и непрерыв- на в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение: Функция f(z) называется аналитической в области G если она определена в области G, дифференцируема во всех точках z 2 G è f0(z) непрерывна в G.

Из Теорем 4.1 и 4.2 следует критерий аналитичности функции f(z) в области G:

Теорема 4.3: Необходимым и достаточным условиями аналитичности функции f(z) = u(x; y) + iv(x; y) в области G, являются непрерывность первых

частных производных ux, uy, vx, vy

Доказательство:

Необходимость: Из условия аналитичности f(z) следует, что f0(z) 2 C(G)

и, следовательно, ux; uy; vx; vy 2 C(G). Из Теоремы 4.1 следуют условия Коши-Римана.

Достаточность: Так как ux; uy; vx; vy 2 C(G), то существуют первые дифференциалы функций u(x; y), v(x; y). Следовательно, по Теореме 4.2 суще-

Замечание (для продвинутых") Оказывается, что0 в определении аналитической функции условие непрерывности производной f (z) 2 C(G) можно опустить. Ока-

зывается, что потребовав только условие0 дифференцируемости функции в области G, можно доказать, что условие f (z) 2 C(G) выполняется при этом авто-

матически. Но доказательство этого факта достаточно сложно. Приведем без доказательства критерий0 аналитичности функции, не требующий условия непрерывности производной f (z) 2 C(G):

Теорема 4.3¤:(для продвинутых , без доказательства) Необходимым и достаточ-

ным условиями аналитичности функции f(z) = u(x; y)+iv(x; y) в области G, являются непрерывность u(x; y), v(x; y) и существование в любой точке z = x + iy 2 G первых частных производных ux, uy, vx, vy, связанных условиями Коши-Римана.

Теорему 4.3¤ можно схематически изобразить так:

5

Пример: Рассмотрим функцию w = zz¯. Ее действительная часть u(x; y) = x2 + y2, мнимая часть v(x; y) = 0. Условия Коши-Римана имеют вид

2x = 0; 2y = 0

и удовлетворяются только в точке z = 0. По определению можно найти производную этой функции в точке z = 0:

Однако эта функция не является аналитической ни в какой окрестности точки z = 0.

Теорема 4.4: (Условие Коши-Римана в полярных координатах) Пусть z =

½ei' = u(½; ') + iv(½; '). Тогда при z 6= 0 условия Коши-Римана (1)-(2) эквивалентны условиям

Доказательство: Òàê êàê x = ½ cos ', y = ½ sin ', òî

u½ = ux cos ' + uy sin ';

u' = ¡ux½ sin ' + uy½ cos '; v½ = vx cos ' + vy sin '

v' = ¡vx½ sin ' + vy½ cos '

Используя условия Коши-Римана (1)-(2) имеем

u½ = vy cos ' ¡ vx sin ' = ½¡1v' u' = ¡vy½ sin ' ¡ v'½ sin ' = ¡½v½

Выражение для производной (5) получается если выразить частные производные ux, vx через u½, u', v½, v',

½ux = u½½ cos ' ¡ u' sin ' ½vx = v½½ cos ' ¡ v' sin '

и подставить в выражение для производной f0(z) = ux + ivx.

Примеры:

(A) Функция ez аналитическая. Для этого проверим условия КошиРимана

u(x; y) = ex cos y; v(x; y) = ex sin y

ux(x; y) = ex cos y = vy(x; y); uy(x; y) = ¡ex sin y = ¡vx(x; y)

6

(B)Функция zn, n 2 Z аналитическая. Проверим условия Коши-Римана

âполярных координатах

zn = ½n(cos n' + i sin n') v' = n ¢ ½n ¢ cos n' = ½u½ u' = ¡n ¢ ½n ¢ sin n' = ¡½v½

4.3. Свойства аналитических функций.

Свойство 1. Действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа

uxx + uyy = 0; vxx + vyy = 0

Доказательство: Дифференцируя первое условие условия Коши-Римана по x и второе по y имеем uxx = vyx è uyy = ¡vxy, следовательно uxx + uyy =

0. Дифференцируя первое условие условия Коши-Римана по y и второе по x аналогично получаем vxx + vyy = 0 ÷.ò.ä.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называются гармони- ческими.

Свойство 2. Пусть f(z) è g(z) - однозначные аналитические функции в области G. Тогда

[a ] функция f(z) + g(z) является аналитической в G, причем

Свойство 3. Пусть g(z) - однозначная аналитическая функция в области G, а функция f(z) определена и аналитична на подмножестве множества изменения g(z). Тогда функция f(g(z)) является аналитической в области G причем

Доказательство: (Свойств 2 и 3) Достаточно убедиться, что производные существуют и даются формулами (6)-(9). Доказательства формул (6)-(9) копируются с доказательств этих же формул для действительного случая,

7

так как обычные свойства алгебраических функций и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного. Проверим, например, формулу для производной произведения (7). Имеем

Переходя к пределу при z ! 0 получаем формулу (7). Таким образом, в G существует производная функции f(z)g(z), определенная формулой (7), причем, в силу аналитичности f(z) è g(z) она непрерывна. Следовательно, f(z)g(z) аналитична в G. Дополнительно, в силу Теоремы 4.3, получаем,

÷òî äëÿ f(z)g(z) выполняются условия Коши-Римана. Остальные формулы (6), (7)-(9) доказываются аналогично.

Свойство 4. Пусть w = f(z) = f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) - аналитическая функция в G è f0(z0) 6= 0, z0 = x0 + iy0 2 G. Тогда существует некоторая окрестность W точки w0 = u0 +iv0 = f(z0), в которой определена обратная функция z = Á(w), причем Á(w) является аналитической в W è

Á0(w) = 1=f0(z)

Доказательство: Функция f(z) сопоставляет паре чисел (x; y) пару чисел

(u(x; y); v(x; y)). Покажем, что в некоторой окрестности точки (u0; v0) по значениям (u; v) однозначно восстанавливаются значения x = x(u; v) è y =

y(u; v). Посчитаем якобиан отображения (x; y) ! (u; v) :

По условию, J(x0; y0) 6= 0. По теореме о неявной функции из действительного анализа имеется некоторая окрестность U точки (x0; y0), которая переводится функцией f(z) в некоторую окрестность W точки (u0; v0) ãäå

(a) существует однозначное обратное отображение (u; v) ! (x; y) èç W

âU;

(á)якобиан J(x; y) отображения (x; y) ! (u; v) не обращается в нуль при всех (x; y) 2 U.

Обозначим z = Á(w) комплексную функцию, переводящую u+iv â x+iy. Производная этой функции в точке w 2 W существует и равна

8

Эта производная непрерывна, так как f0(z) непрерывна и не обращается в нуль (так как не обращается в нуль якобиан), следовательно функция Á(w) является аналитической в W ÷.ò.ä.

Следствие (из свойств 2-4). Функции sin z,cos z, tg z, ctg z, sh z, ch z, th z, cth z являются аналитическими во всей расширенной комплексной плоскости. Функции Ln z, az, za, Arcsin z, Arccos z, Arctg z также являются анали-

тическими при правильном выборе значений этих многозначных функций и области задания.

Действительно, первые 8 функций получаются из функции ez ïðè ïî-

мощи операций сложения и суперпозиции и, следовательно, являются аналитическими. Последние 6 функций являются обратными к аналитическим и также являются аналитическими, если указать (а) ветвь"(т.е. значение многозначной функции, которое берется) и (б) область задания, в которой обратная функция определена однозначно.

Свойство 5. Пусть в односвязной области G плоскости (x; y) задана гармоническая функция u(x; y) и известно, что она является действительной

частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной.

-0.5

-1

Рис. 2: Линии уровня действительной и мнимой частей функции w = ez.

Доказательство: Для восстановления мнимой части по известной функции u(x; y) определяем ее частные производные ux(x; y), uy(x; y). Из условий

9

Коши-Римана имеем производные мнимой части vx(x; y), vy(x; y), после чего мнимая часть находится путем интегрирования по x è y.

Аналогично, по мнимой части аналитической функции можно восстановить действительную.

Свойство 6. Линии уровня действительной и мнимой частей аналитической функции, u(x; y) = const è v(x; y) = const, ортогональны.

Доказательство: Ортогональность кривых линий определяется как ортогональность их нормалей в точке пересечения. Нормаль к линии уровня функции - это градиент функции. Тогда

grad u = (ux; uy); grad v = (vx; vy)

Скалярное произведение градиентов при этом рано нулю:

(grad u; grad v) = uxvx + uyvy = vyvx ¡ vxvy = 0

10