Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_02

Лекция 2

2. Понятие функции комплексной переменной

2.1 Понятие области.

Определение: Областью g комплексной плоскости называется множество точек, обладающее следующими двумя свойствами

²вместе с каждой точкой z èç g этому множеству принадлежит достаточно малый круг с центром в z (открытость множества g);

²любые две точки из g можно соединить кривой, все точки которой принадлежат g (связность множества g)

Примеры: (a) jzj < 1 - область; (b) jzj · 1 - не область (связна, но не

открыта); (c) fz : jzj < 1g [ fz : jz ¡ 5ij < 1g - не область (открыта, но не связна).

Определение: Точка z0 называется граничной точкой множества g, если в любом круге с центром в точке z0 имеются точки, как принадлежащие g, так и не принадлежащие g.

Примеры: (a) z = 0 - граничная точка множества jzj > 0; (b) z = i - гранич- ная точка множества jzj < 1.

Определение: Совокупность всех граничных точке g называется границей g (будем обозначать @g).

Определение: Множество, представляющее собой объединение множества g и его границы @g называется замкнутой областью (будем обозначать g).

Мы будем считать, что границей всей комплексной плоскости является бесконечно удаленная точка. В результате замыкания всей комплексной плоскости (т.е. добавления бесконечно удаленной точки) получается расширенная комплексная плоскость.

2.2 Определение функции комплексного аргумента.

Определение: Пусть на комплексной плоскости задано множество D и закон,

по которому любому комплексному числу z èç D ставится в соответствие

одно комплексное число или совокупность комплексных чисел. Тогда говорят, что на D задана функция комплексной переменной w = f(z).

Множество D назовем множеством задания функции. Совокупность E всех значений w, которые f(z) принимает на D называется множеством изменения функции f(z).

Если каждому значению z 2 D соответствует единственное значение

функции, такая функция называется однозначной. В противном случае, функция является многозначной.

Определение: Если функция w = f(z), определенная в D однозначна и, кроме того, 8z1; z2 2 D, таких, что z1 6= z2 выполняется соотношение f(z1) 6=

1

f(z2), то функция f(z) называется однолистной в D. D при этом называется

множеством однолистности.

Åñëè w = f(z) однолистна в D, множество ее изменения E, то можно утверждать, что существует обратная функция z = Á(w), c множеством задания E и множеством изменения D.

Замечание: Полагая, что z = x + iy, w = u + iv, можно рассматривать комплексную функцию w = f(z) как две действительнозначных функции от двух переменных, u(x; y) è v(x; y).

Вопрос: Известно, что функции одной действительной переменной удобно представлять графиками. Можно ли придумать какой-нибудь способ графического представления функции комплексной переменной?

Примеры (функций комплексного переменного):

(A) w = az + b, a 6= 0, a; b - комплексные числа. Функция определена

на расширенной комплексной плоскости, однозначная и однолистная. Она является суперпозицией поворота с растяжением (умножение az) и парал-

лельного переноса (сложение с b).

(B) w = pz. Функция определена на расширенной комплексной плос-

кости, но не является однозначной. Каждому значению z = ½ ei', отлич- íîìó îò 0 è 1, соответствуют два различных значения w1 = p½ ei'=2 è w1 = p½ ei'=2+i¼. Одно из них располагается в верхней полуплоскости, второе ему центральносимметрично и располагается в нижней полуплоскости. Точки z = 0 è z = 1 (они отображаются сами в себя) называются

точками ветвленияp. Однако, Если рассмотреть в качестве множества задания функции w = z только верхнюю полуплоскость (аналогично, только

нижнюю полуплоскость), то функция станет однозначной и однолистной.

2.3 Элементарные функции комплексного аргумента.

1. Показательная функция (вводится по формуле Эйлера):

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y)

Ïðè z действительном превращается в хорошо известную нам действитель- ez является однозначной во всей

Вопрос: Во что функция ez переводит полосу ¡1 < x < +1, 0 · y < 2¼? 2. Тригонометрические функции

Это определение тригонометрических функций комплексного аргумента (доказывать не надо). Все тригонометрическое функции являются однознач- ными во всей расширенной комплексной плоскости. При действительном z

2

формулы для синуса и косинуса (1) получаются из формулы Эйлера. Например:

3. Гиперболические функции

Гиперболические функции являются однозначными во всей расширенной комплексной плоскости.

4. Логарифмическая функция. Логарифмическая функция вводится как функция, обратная показательной, то есть как решение уравнения z = ew. Åñëè

записать z = jzjei (arg z+2¼k) è w = Re w + i Im w, то из сравнения правой и левой частей получим

Re w = ln jzj; Im w = arg z + 2¼k

ãäå k - любое целое число, а ln - обычный действительный логарифм. Таким

образом по определению логарифмическая функция определяется формулой

Ln z = ln jzj + i(arg z + 2¼k); k 2 Z

Во всей комплексной плоскости логарифмическая функция многозначна. Главная ветвь логарифмической функции определяется в комплексной плоскости формулой

ln z = ln jzj + i(arg z)

Важно не путать Ln z è ln z.

5. Степенная функция. Степенная функция с произвольным (комплексным) показателем степени ® вводится определением

z® = e® Ln z

и по определению многозначна. Главная ветвь задается формулой z® =

e® ln z.

6. Показательная функция с произвольным (комплексным) основанием.

Эта функция вводится формулой

az = ez Ln a

и, вообще говоря, многозначна. Главная ветвь задается главной ветвью логарифма: az = ez ln a.

3

7. Обратные тригонометрические функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z. ßâ-

ные формулы для этих функций можно получить используя уже упомянутые функции. Например

p

=) e2iw ¡ 2zeiw + 1 = 0 =) eiw = z + z2 ¡ 1

³ p ´

=) w = ¡i Ln z + z2 ¡ 1 def= Arccos z

Многозначность в последней формуле зашита сразу в двух местах: в многозначности функции Ln z и в многозначности (двузначности) функции

pz.

4