For Exam / Приложения определенного интеграла

O

x

2

x

z

Рис. 9.14

y2

z2

которого имеет вид

1. Из уравнения видно, что полуоси

2x

4x

эллипса

равны

a

2x

и b

4x

2

x

.

Так как площадь

эллипса

вычисляется

по

формуле

S ab ,

то

S x

2

2

x, где

0 x 2.

Искомый

объем

2x

x

2

вычисляем по формуле (9.12):

2

b

2

x

2

V S x dx 2

2 xdx 2

2

4

2 .

a

0

2

0

Пример

10.9.

Найти

y

объем

тела,

образованного

вращением

вокруг

оси

Ox

y x 2

фигуры,

ограниченной

графиками

функций

y 2x x2 и y x 2 (см. 1

y 2x x2

2

рис. 15).

Решение

Графики

пересекаются в O

1

x

точках 1,1 и 2,0 .

Используя формулу (9.14),

находим объем тела вращения:

Рис. 9.15

2

2x x2

2

V

2 x 2 2 dx x4 4x3 3x2 4x 4dx

1

1

2

x5

4

3

2

1

x

x

2x

4x

.

5

5

1