Математический анализ II Курс Лекций

1

X sin n

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд pn arctg n.

n=1

ность bn монотонно возрастает и ограничена, то ряд сходится. -

§3 Законы сложения для рядов. Теорема Римана

1

X

Теорема 9.3.1. Если ряд ak сходится, то его слагаемые можно объ-

k=1

единять в произвольные группы, т.е., если сходится ряд

a1 + a2 + a3 + + an + : : : ;

то ряд

(a1 + a2 + + an1 ) + (an1+1 + an1+2 + + an2 ) + (an2+1 + + an3 ) + : : :

сходится, причем к той же сумме.

I Обозначим сумму исходного ряда через S. Возьмем частичную сумму второго ряда:

Доказанное означает, что для сходящихся рядов выполнен ассоциативный закон сложения.

В теореме 9.3.1 объединение в группы происходило без изменения порядка слагаемых, и каждая группа содержала конечное число слагаемых. Докажем еще одну теорему, в которой члены ряда объединяются в бесконечные группы с изменением их порядка.

1

X

Теорема 9.3.2. Если ряд an сходится абсолютно, то ряды, составлен-

n=1

ные только из положительных an и только из отрицательных an тоже сходятся и S = S(1) S(2), где S — сумма данного ряда, S(1) — сумма

ряда, составленного из его положительных членов и S(2) — сумма ряда, составленного из модулей отрицательных членов.

но. - Этот пример показывает, что коммутативный закон сложения нельзя рас-

пространить на бесконечную сумму, если ряд сходится условно. Однако для абсолютно сходящихся рядов этот закон выполняется.

n`

XX

где S — сумма исходного ряда. Но тогда все частичные суммы перестановки ограничены в совокупности, что означает, что этот ряд сходится.

Теперь рассмотрим ряд с членами произвольного знака.

Для такого ряда, как было доказано в предыдущем пункте, выполняется равенство S = S(1) S(2), где S(1) и S(2) — суммы рядов, составленных из

неотрицательных членов данного ряда и модулей отрицательных его членов. Перестановка членов данного ряда вызовет перестановки в этих рядах, но, так как это ряды с неотрицательными членами, то их суммы не изменятся, следовательно, перестановка данного ряда будет иметь сумму S = S(1) S(2).

J

X

Теорема 9.3.4 (Римана). Пусть ряд an сходится условно и пусть L —

n=1

произвольное вещественное число. Тогда существует перестановка ряда, которая будет сходиться к L.

I При данных условиях теоремы ряды, составленные из неотрицательных членов ряда и модулей отрицательных членов, расходятся, причем их частичные суммы стремятся к бесконечности. Поэтому для любого положительного числа M можно найти такое количество членов каждого из этих рядов, сумма которых будет превосходить M.

Допустим (для определенности), что L > 0. Тогда можно найти

Далее, возьмем n2 отрицательных члена данного ряда так, чтобы

Обозначая члены суммы S2(n2) через bk, n1 < k 6 n2, получим

n2 n2 1

XX

Продолжая этот процесс до бесконечности, получим на каждом нечетном шаге

XX

и на каждом четном шаге

n2k n2k 1

XX

Так как в любом случае справедливо равенство

XX

k=1 k=1

124 Глава 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

и lim jbnj = 0 (как общий член сходящегося ряда), то

n!1

n=1

x 1

как его общий член одного порядка с общим членом гармонического ряда. Следовательно, областью сходимости данного ряда будет промежуток

[ 1; 3). -

Очевидно, что суммой произвольного функционального ряда будет функция S (x), к которой в каждой точке области сходимости стремится последовательность частичных сумм этого ряда. Другими словами, функция S (x) будет суммой ряда в точке x 2 D, если для любого " > 0 существует номер n0, начиная с которого будет выполняться неравенство jSn (x) S (x)j < ".

В этом определении номер n0 будет зависеть от " и точки x, в которой мы рассматриваем ряд.

Однако, для этих рядов рассматривается еще один вид сходимости.

§2 Равномерная сходимость последовательности функций

2.1 Определение

Определение 10.2.1. Пусть на области D задана последовательность функций ffn (x)g1n=1. Будем говорить, что эта последовательность сходится к функции f (x) при n, стремящемся к бесконечности, равномерно относительно переменной x на области D, если по любому " > 0 можно найти номер n0, начиная с которого для всех x 2 D будет выполняться неравенство jfn (x) f (x)j < ".

Равномерную сходимость будем обозначать так: fn (x) f (x), x 2 D. Данное определение очень похоже на определение, приведенное в преды-

дущем пункте. Однако, оно существенно отличается от него тем, что номер n0, начиная с которого выполняется неравенство jfn (x) f (x)j < ", один и тот же для всех значений x 2 D, в то время как в предыдущем определении он зависел от взятого значения. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Найти предел последовательности функций lim xn, 0 6 x < 1.

n!1

Будет ли сходимость последовательности к своему пределу равномерной? ,При каждом значении x 2 [0; 1) последовательность представляет собой убывающую геометрическую прогрессию и, следовательно, ее предел в каждой точке данного промежутка равен нулю. Возьмем " > 0 и найдем номер n0, начиная с которого будет выполняться неравенство jxn 0j < ". Оче-

видно, это неравенство равносильно неравенству xn < " или n > lnlnx" , т.е.

значение x к единице, тем больше будет n0.

Чтобы строго доказать, что невозможно выбрать n0, не зависящим от x, покажем, что выполняется отрицание определения равномерной сходимости.

Сначала сформулируем это отрицание:

Последовательность функций ffn (x)g11 не сходится к функции f (x) равномерно на D, если можно найти такое значение "0 > 0, что какой бы номер n0 мы ни взяли, найдется такой номер n > n0 и такое значение xn, что будет выполняться неравенство jfn (xn) f (xn)j > "0.

сходимости (см. рис.). - Пример 2. Найти предел последовательности

функций lim sin x, 0 6 x 6 2 . Будет ли сходимость последовательности к

n!1 n

своему пределу равномерной?

,Очевидно, что если фиксировать значение x на данном промежутке, то

На указанном промежутке каждая функция fn(x) имеет одну критическую

точку xn = p1 , причем легко видеть, что это будет точка максимума. Мак-

2n

r

симальное значение n2 e 1=2 ! 1, следовательно, на первом промежутке последовательность сходится неравномерно.

b) Очевидно, что точки xn не входят в промежуток [1; +1), и, так как на этом промежутке каждая функция убывает, то ее наибольшее значение будет равно fn (1) = ne n. Это числовая последовательность, стремящаяся к нулю, следовательно, на этом промежутке последовательность функций сходится к предельной функции равномерно. -

Теорема 10.2.1 (Критерий Коши равномерной сходимости). Для того чтобы последовательность функций ffn (x)g1n=1 сходилась равномерно на D, необходимо и достаточно, чтобы по любому " > 0 можно было найти такой номер n0, что для всех n > n0, для любых ` 2 N и для всех x 2 D выполнялось неравенство jfn (x) fn+` (x)j < ".

I Необходимость. Пусть последовательность сходится равномерно. Тогда существует такая функция f (x), что по любому " > 0 можно найти но-

jfn (x) fn+` (x)j 6 jfn (x) f (x)j + jfn (x) f (x)j < ":

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Тогда по " > 0 можно найти такой номер n0, что для всех n > n0, для любых ` 2 N и для всех

"

x 2 D выполнялось неравенство jfn (x) fn+` (x)j < 2.

Тогда при каждом фиксированном значении x 2 D последовательность ffn (x)g11 является числовой последовательностью, которая сходится в себе (т.е. фундаментальной, см. гл. II, п. 4.3). Следовательно, по критерию Коши для числовой последовательности, она сходится к некоторому числу, которое мы будем считать значением предельной функции в точке x. Таким образом, предельная функция f (x) определена.

В неравенстве jfn (x) fn+` (x)j < 2" перейдем к пределу при ` ! 1, получим, что если n > n0 и для любых x 2 D выполняется неравенство

"

jfn (x) f (x)j 6 2 < ". J

2.2 Свойства равномерно сходящихся последовательностей

Теорема 10.2.2. Пусть дана последовательность функций ffn (x)g1n=1 такая, что

1) для каждого n 2 N функция fn (x) непрерывна на D;