2.1.1.Анализ устойчивости амбивалентных систем в установившемся режиме

Как было показано выше, амбивалентная система с тремя состояниями описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

с нормировочным условием:

Представляет интерес исследование полученной системы на устойчивость. Так как то для исследования установившегося режима (гомеостаза) достаточно рассмотреть уравнения:

В точке равновесия, когда, получаем систему алгебраических уравнений, решение которых дает следующие выражения для вероятностей существования двух противоположностейА, и их смесиA  :

Задавая приращения ив точке равновесия можно обозначить, параллельный перенос системы координат (рис.2.7) в точку равновесия дает следующую зависимость:

или, что тоже самое:

Осуществляя ортогональное преобразование (рис. 2.8) S, данную систему можно свести к диагональному виду: и тогда система примет вид, где - диагональная матрица, у которой элементы - собственные значения матрицы Т.

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Находим эти собственные значения :

Система принимает вид:

значит: .

График этой зависимости представляет из себя семейство парабол, если m>0. Траектории образуют, так называемый, устойчивый узел:

Рис.2.9 Рис.2.10

Если m<0, то соотношение описывает семейство гипербол и точка равновесия является точкой типа “седло” (рис. 2.9).

Однако, так как  > 0,  > 0, то ₂<0.

Рассмотрим ₁. Предположим ₁>0 , значит

Получим: , что невозможно. Итак,₁<0, тогда m>0 и точка равновесия – устойчивый узел, т.е. такая система всегда стремится к устойчивому равновесию.

2.1.2. Анализ устойчивости амбивалентных систем при различных коэффициентах равновесия

Как было показано в разделе 2.1, зависимость вероятностей состояний от коэффициента равновесия k носит нелинейный характер и качественно различается при k =1 и при k >>1.

Из рисунка видно, что состояние гомеостаза разное в точке и в точке. Визуально видно, что приk =1 зона устойчивого гомеостаза небольшая, в отличие от точки k =20, где диапазон его изменения большой. Предлагается первый случай назвать “мягкий” гомеостаз, а второй “жесткий”. Исследуем это аналитически. Введем некоторый интервал , внутри которого будет сохраняться состояние гомеостаза в точкеи в точке. Ставится задача найти диапазон изменения коэффициента, при котором сохраняется гомеостаз.

1) Для точки , имеем уравнение для смеси:

.

Получаем квадратное уравнение:

, или

или

,

После преобразования получим конечное уравнение:

,

где ,

Находим дискриминант:

.

При ,, соответственно имеем два корня

.

В общем случае область устойчивости гомеостаза в точке равна:

при ,.

2) В точке

.

После преобразования получаем квадратное уравнение:

,

отсюда

,

где ,.

Дискриминант ,при ,,

.

Здесь представляет интерес корень, близкий к 20,

,

т.к. второй корень значительно больше 20 и, можно считать его равным бесконечности. Тогда диапазон устойчивости гомеостаза для равен .Найдем крайние значения коэффициента , при которых сохраняется гомеостаз .

,

График зависимости зоны устойчивости для гомеостаза λ=µ («мягкий» гомеостаз) и («жесткий» гомеостаз) имеет следующий вид:

Жесткий гомеостаз

Мягкий гомеостаз

Рис.2.11

Всегда ли состояние гомеостаза является эффективным с точки зрения пользователя системы? В работе [11] при анализе химического процесса получения хлорноватистой кислоты было показано, что в этом состоянии наблюдается малый выход продукта и, следовательно, возникает проблема смещения гомеостаза для увеличения эффективности работы системы.

В амбивалентных системах смещение гомеостаза легко осуществляется путем усиления влияния той или иной противоположности. В бестселлере 21 века [9] рассказывается о методе лечения болезней человека, рассматриваемого как сочетание двух противоположностей Ян и Инь: Ян и Инь – это две взаимодополняющие противоположности, присутствующие в каждом явлении. Согласно восточным представлениям, при нарушении равновесия этих противоположностей в живом организме можно говорить о его патологическом состоянии.

Одним из принципов лечения является правило «БУ - СЕ», которое означает: прибавить «БУ» - отнять «СЕ». Врачи, применяя на практике эти принципы, широко используют биологически активные добавки, несущие в себе эти противоположности. В состав продуктов «Инь» входят арбуз, виноград, вода, соль, яйцо, морковка, свинина и т.д. В состав продуктов «Ян» входят: кукуруза, горчица, прополис, мука, вино, говядина, баранина, грецкий орех и т.д.

Летом, в жару, рекомендуется кушать больше «иньской», охлаждающей пищи. Зимой же предпочтение следует отдавать согревающей «янской».

По - существу, этот же принцип был использован при управлении технологическим процессом для увеличения выхода хлорноватистой кислоты путем удаления части соляной кислоты [12]. В ответ на удаление соляной кислоты из реакционной зоны, гомеостатическая система стремится восстановить недостаток соляной кислоты и снова выйти на состояние равновесия.

В ходе проведенных исследований по смещению равновесия удалось получить численные данные о характере зависимости между величиной смещения и выходом готового продукта. Эта зависимость имеет ограниченный линейный участок, который при больших значениях смещения переходит в нелинейный и обрывается. Это происходит из за того, что образуется щелочная среда и выход хлорноватистой кислоты уменьшается: т.е. технологический процесс находился в состоянии «тонкого» гомеостаза с небольшим запасом устойчивости.

Очевидно, такое явление можно объяснить исчерпанием запаса устойчивости и не здесь ли лежит объяснение гомеопатическим методам лечения ряда болезней человека (лечение малыми дозами). С другой стороны необходимо знать в каком состоянии гомеостаза проводится лечение: когда запаса устойчивости мало или когда оно очень большое; в медицинской практике известны случаи положительных результатов при больших дозах воздействия на организм, например, электрошок при реанимации сердечной деятельности.

На основании всего вышесказанного делается вывод о том, что при управлении в амбивалентных системах необходимо учитывать в каком гомеостазе находится система: в «мягком» или «жестком» и в соответствии с этим принимать решения о величине смешения. Такой вывод особенно актуален для социальных систем, где руководителю постоянно необходимо принимать решения о создании в коллективе дружественных отношений, как тут не вспомнить замечательные слова из песни В.Высоцкого:

Если друг оказался вдруг

И не друг, и не враг, а – так,

Если сразу не разберешь,

Плох он или хорош,-

Парня в горы тяни - рискни!

Не бросай одного его!

Пусть он в связке одной с тобой-

Там поймешь, кто такой.