ivanter2000_vved_v_kolich_biol

282

Задача изучения процессов (динамические модели)

Динамические модели структурно более сложны, чем статические, поскольку призваны отображать ход исследуемых процессов. Они во многом напоминают процедуру интегрирования (выполненного для дискретного случая на ограниченном временном промежутке), когда имеется известное уравнение, выражающее скорость процесса (аналог производной), и для каждого временного интервала идет расчет (интеграция, суммирование) результатов процесса, достигнутых к данному шагу. Получается, что для расчета зависимых переменных, характеризующих результат процесса, достигнутый к определенному времени, приходится восстанавливать всю динамику, предшествующую этому моменту. В этом смысле динамическая имитационная модель "живет своей жизнью", и параметры скоростных уравнений характеризуют механизм этого процесса.

Рассмотрим этапы моделирования процесса на примере. В течение последних 10 лет на о. Кижи (Онежское озеро, Карелия) изучалась популяция обыкновенной гадюки. Животных метили, определяли встречаемость меченых особей (m) в повторных пробах разного объема (n). Так, из 158 гадюк, помеченных в 1994 г., проба 1995 г. (n = 365 экз.) содержала m = 18 особей (табл.10.3, графы n, m).

Положим целью моделирования определение ежегодной численности (N) и смертности (Nd) в островной популяции гадюк (при отсутствии массовых миграций). Обычные методы расчетов здесь не работают, т. к. в данном случае не выполняются важные требования (отсутствие смертности, только троекратный отлов и т. д.). Для иллюстрации работы метода имитации покажем решение упрощенной задачи, приняв ежегодную численность и смертность в островной популяции гадюки неизменной:

283

N = Ni = const (i = 1994, … 1998), Nd = const.

Главный момент имитационного моделирования состоит в том, чтобы выразить известные переменные через неизвестные параметры. Имитационная модель должна вычислять те же величины, что наблюдаются в природе, опыте. Тогда появляется возможность, перебирая возможные значения параметров, найти такие, при которых модельные значения переменных совпадут с реальными. В этом случае можно обсуждать найденные значения параметров как характеристику механизма наблюдаемого явления. Для популяции гадюки нам известны следующие переменные: число одноразово меченых животных (M), объемы повторных отловов (n), число повторно отловленных особей в каждой новой пробе (m). Неизвестными остаются общая численность (N), число ежегодно гибнущих особей (Nd) и объем пополнения (Nb) популяции. Три последних значения и требуют оценки, но их необходимо задать сразу же в первом приближении. Разместим их на электронном листе Excel (табл. 10.3) в

отдельном блоке: F8 =5000, F9 =500, F10 =F9, D2 =F8.

В реальной популяции численность ежегодно поддерживается балансом процессов гибели и пополнения:

Ni+1 = Ni – Nd + Nb.

Эта динамика в формате Excel примет вид:

D3 =D2-$F$9+$F$10, D4 =D3-$F$9+$F$10, …, D6 =D5-$F$9+$F$10

(табл. 10.3, столбец D).

Несмотря на множество формул, их ввод не составляет проблемы, достаточно одну формулу ввести вручную, а остальные – с помощью операции "автозаполнение" (см. инструкцию к Excel). При этом важно следить за тем, чтобы ссылки на общие параметры были абсолютными, т. е. содержали префиксы $, например $F$9.

После ввода всех формул в таблице Excel отображаются результаты расчетов; в данном случае численность сохраняется неизменной N'I = 5000 экз. (табл. 10.3, графа N').

Ежегодная смертность, в том числе среди меченых, составит: d'i = Nd/N'i ,

или в формате Excel: E3 =$F$9/D3, … (графа d'). Число погибших меченых особей составит:

dM = d'i · M,

а число выживших меченых будет равно:

284

M'i+1 = M'i – d'i · M ,

или F3 =F2-F2*E2, … (графа M').

Как видно из табл. 10.3, число меченых гадюк со временем сокращается. Сокращаться должно и число повторно отловленных меток (m'). Поскольку концентрация меченых особей равна

pM'i = M'i / N'i,

то число меченых в пробе объемом n составит:

m'i = n i · pM'i = n i · M'i/ N'i ,

или G3 =B3*F3/D3, …, G6 =B6*F6/D6 (графа m').

Модельное число повторно отловленных гадюк (m') уменьшается, но сильно отличается от наблюдаемых значений (m). Это говорит о том, что произвольно взятые величины N и Nd не соответствуют реальности. Для расчета степени отличия модели от натурных наблюдений используем формулу:

di = (mi – mi')2, или I3 =(C3-G3)^2,…(табл. 10.3, графа Ф).

Общее отличие есть сумма всех частных отличий: I8 =СУММ(I3:I6).

В нашем случае это обобщенное отличие (функция невязки) равно Ф = 109. Понятно, что если бы модель абсолютно точно описывала реальность, то функция невязки была бы равна нулю.

С помощью макроса "Поиск решения" пытаемся выполнить это условие. После вызова макроса остается заполнить его окно, т. е. указать, что целевой ячейкой выступает ячейка I8 (со значением функции невязки), что она должна быть равной значению 0, что для этого можно изменять значения в ячейках F8:F9. Нажимаем кнопку "Выполнить", вслед за этим появляется окно "Результаты поиска решения", выбираем "Сохранить результаты", ОК. Для нашего примера они представлены в таблице 10.4

285

Таблица 10.4

Как видно из табл. 10.4, при численности островной популяции обыкновенной гадюки, равной N = 3086 экз., и смертности d = 7.4% модельная динамика снижения числа меченых животных оказалась почти такой же, что наблюдалась и в поле. "Почти", потому что функция невязки так и не обнулилась, после настройки Ф = 6.

Для решения вопроса, соответствует ли модель реальности, предлагается несколько способов; используем дисперсионный анализ линейной регрессии. В соответствии с рассмотренной выше схемой модель считается адекватной, если модельная дисперсия достоверно больше остаточной; в этом случае критерий Фишера F = S²мод./S²ост.

превысит табличное значение F(0.05,df.мод.,df.остат.).

Для расчета дисперсий нужно определить модельную и остаточную сумму квадратов. Остаточная сумма квадратов и есть функция невязки, получаем: S²ост. = Сост./(n–1), или I9 =I8/C9.

Модельная дисперсия равна модельной сумме квадратов,

поскольку число степеней свободы для ее расчета, S²мод. = Смод./dfмод., равно единице dfмод. = 1. Модельную сумму квадратов находят как

разность между общей и остаточной:

Cмод. = Cобщ. – Cост. или C11=C10–I8.

В свою очередь, общую сумму квадратов можно определить с помощью особой функции листа Excel, подсчитывающей сумму квадратов отклонения вариант от средней C10 =КВАДРОТКЛ(C3:C6).

286

Величина критерия Фишера составит:

F = S²мод./ S²ост., или H10 =C11/I9.

В нашем случае значение критерия (23) превышает табличное

F(0.05,1,3) = 6.6; модель в целом адекватна наблюдаемым данным. Видимо, численность наблюдаемой островной популяции гадюки

действительно приближается к 3000 экз.

Рассмотренный метод оценки адекватности можно использовать и для статических имитационных моделей.

287

ПРИЕМЫ РАБОТЫ В EXCEL

Программе Excel посвящена обширная литература. Однако за детальностью изложения многие важные возможности остаются невостребованными, их просто не удается найти среди множества советов. Многолетняя практика работы с пакетом позволяет предложить несколько советов.

Организация банка данных в Excel

Числовые данные, полученные во время натурных наблюдений, перед статистической обработкой попадают на лист Excel. При этом далеко не безразлично, как они будут структурированы. Часто правильная организация банка данных предопределяет тот или иной вид статистического анализа. Не упустить полезную информацию и эффективно подготовить числовой массив для последующей обработки поможет выполнение нескольких правил размещения данных в электронной таблице Excel.

Под каждое свойство (характеристику, показатель, признак, переменную) объектов измерения следует отводить отдельный столбец (так называемое "поле"). Названия полей должна содержать первая (единственная!) строчка (ряд 1); это упростит операции сортировки и экспорта данных в другие пакеты, например в StatGraphics, Access. Названия следует формировать из букв и чисел, избегая пробелов и спецсимволов (- ^ : , . ' + = …), лучше латиницей.

Каждый объект измерения (препарат, особь, маршрут, биоценоз…) представлен рядом ячеек (начиная с ряда 2), которые содержат числовые и текстовые характеристики. Множество рядов (строк) соответствует множеству изученных объектов. Иногда

288

возникают проблемы с тем, чтобы правильно поместить в базу объекты, обладающие общей информацией (одного статуса, собранных в одном месте или в одни и те же сроки). Так и хочется блок таких объектов озаглавить: пробы такие-то, место такое-то… Этого делать, естественно, нельзя, все записи (ряды) должны быть однотипными. Для правильного отражения общей информации организуется новое поле (столбец), по которому однотипные объекты получают одинаковые значения. В нашем примере таковы были виды, даты, места работы, пол особи. Небольшая избыточность информации в дальнейшем с лихвой компенсируется простотой доступа к данным, возможностью сортировки и фильтрации.

Быстрая команда "автозаполнения"

В соответствующих разделах показана процедура "автозаполнения" с протяжкой мыши. Еще быстрее можно выполнить эту операцию, дважды кликнув левой кнопкой на черном крестике. Формула или значения из текущей ячейки автоматически заполнят столько нижележащих ячеек, сколько заполненных ячеек содержится в соседнем столбце (приоритет у левого столбца).

Разделители

Обычно в качестве разделителя целой и дробной частей числа устанавливается запятая. Это очень неудобно при экспорте данных в пакет StatGraphics, который числа с запятыми воспринимает как текст. Не менее несуразно использование "по умолчанию" точки с запятой в качестве разделителя в тех же экспортных списках. Заменить запятую на точку, а точку с запятой на запятую можно в окне Языки и стандарты вкладки Числа. Для этого нажмите кнопку Пуск панели

Windows, выберите Настройка \ Панель управления \ Языки и стандарты.

Специальные символы и другие полезные кнопки

Большая часть функций, с помощью которых создаются формулы в ячейках Excel, имеет кириллическое написание. Поэтому удобнее работать с клавиатурой в русском регистре. При этом для ввода некоторых важных символов (знак валюты $, возведение в степень ^) приходится часто переключаться в латинский регистр и обратно, что увеличивает число ошибок. Упростить ситуацию можно, если вывести указанные символы как кнопки на панель инструментов.

289

Тогда для ввода символа в нужное место формулы (с позиции курсора) достаточно щелкнуть соответствующей кнопкой.

Поместить новые кнопки на главную панель можно следующим образом. Установите курсор мыши на любой панели, правой кнопкой откройте контекстное меню, выберите Настройка, вкладка Команды. В

Категории Вставка найдите значки Знак возведения в степень и Знак доллара. Мышью перетащите значки на главную панель, закройте окно настройки. Как минимум еще одна очень полезная кнопка должна быть представлена на панели инструментов. Это кнопка Тип диаграммы. Открыв то же окно настройки, выберите категорию команд Диаграмма. Почти в самом конце списка команд найдите кнопку (не строку меню) Тип диаграммы и поместите ее на панель, например, рядом с кнопкой Мастер диаграмм. Кнопка Тип диаграммы позволяет не только быстро изменять тип диаграммы, но и моментально строить диаграмму нужно типа. Достаточно отметить область данных, после чего, нажав кнопку, выбрать нужный тип диаграммы и отпустить кнопку мыши.

Вставка и форматирование таблицы Excel в среде Word

Выделяете нужный блок ячеек в таблице Excel, копируете в буфер обмена, переключаетесь в Word, устанавливаете курсор в нужном месте, вставляете блок из буфера. Проблемы возникают с расположением и форматом таблицы и чисел в ней: вдруг оказывается, то таблица расположена не по центру, имеет разномастные столбцы, слишком длинную дробную часть чисел, "прилипших" к правому краю ячеек.

Для придания таблице необходимого формата часть операций следует выполнить перед экспортом в среде Excel, часть – в Word. Быстрый способ отформатировать ширину столбца по размеру содержимого ячеек состоит в следующем. Установите курсор мыши между буквенными названиями столбцов, из белого креста он превратится в черный со стрелками по бокам. Теперь двойной клик изменит ширину столбца точно по ширине наибольшей записи, содержащейся в какой-либо ячейке левого от курсора столбца. Для форматирования чисел, выделив нужный блок ячеек в таблице Excel, откройте окно Формат \ Формат ячейки. На вкладке Число выберите из Числовых форматов Числовой и установите нужное число десятичных знаков. Чтобы не загромождать таблицу, устанавливайте минимальное

290

число знаков после запятой. Если исходные данные имеют хх значащих цифр, значения средней арифметической и стандартного отклонения могут содержать на одну значащую цифру больше (ххх), значение ошибки средней – на две значащих цифры (хххх). Например, если промеры имеют порядок 3.8, 5.6, 8.0, средняя может быть 5.32, стандартное отклонение – 1.23, ошибка – 0.412. Чтобы шрифт копируемого текста из Excel был одинаков со шрифтом Word, Times New Roman Cyr 12, сделайте изменения на панели Сервис \ Параметры

\ Общие.

Обозначения всех граф и настройку их ширины удобнее выполнять в среде Excel, чем в Word. Таблица из Excel вставляется в Word выровненной по левому краю. Для центрирования таблицы на листе Word сначала следует ее правильно выделить. Для этого подведите курсор мыши к верхнему краю первого столбца таблицы, где он преобразуется в черную вертикальную стрелку. Нажав левую кнопку мыши, ведите ее направо, выделяя все столбцы, и далее – за правую границу таблицы; отпустите кнопку мыши. Помимо почерневших столбцов справа от таблицы появится колонка добавочных черных квадратиков. В этом режиме щелкните кнопку выравнивания "по центру" панели Форматирование. Таблица переместится в центр листа. Теперь нажмите Shift и один раз стрелку влево. Дополнительные черные квадратики исчезнут. Вновь щелкните кнопку выравнивания "по центру" панели Форматирование. Текст в каждой ячейке отформатируется по центру.

291

ЛИТЕРАТУРА

Адлер Ю. П., Макарова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. 280 с.

Андреев В. А. Классификационные построения в экологии и систематике. М.: Наука, 1980.

Ашмарин И. П. и др. Быстрые методы статистической обработки и планирования экспериментов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.

Безель В. С. Популяционная экотоксикология млекопитающих. М.:

Наука, 1987. 130 с.

Бейли Н. Статистические методы в биологии. М.: Мир, 1964. Браунли К. А. Статистическая теория и методология в науке и тех-

нике. М.: Наука, 1977.

Гиляров А. М. Популяционная экология. М.: Изд-во МГУ, 1990. 191 с. Гроссман С., Терней Дж. Математика для биологов. М.: Высшая

школа, 1983.

Гублер Е. В., Генкина А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. Л.: Медицина, 1973.

Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии.

М.: Мир, 1981.

Дэвис Дж. С. Статистический анализ данных в геологии: в 2 кн. М.:

Недра, 1990.

Животовский Л.А. Популяционная биометрия. М.: Наука, 1991. 271 с. Зайцев Г. Н. Математический анализ биологических данных.

М.: Наука. 1981. 183 с.

Зайцев Г. Н. Математика в экспериментальной ботанике. М.: Наука,

1990.

Иванищев В. В., Михайлов В. В., Тубольцева В. В. Инженерная экология. Л.: Наука, 1989. 144 с.

Калинкина Н. М. Оценка пригодности участка водоема для рекреации// Экологические исследования природных вод Карелии. Петрозаводск, 1989. С.87-89.

Коли Г. Анализ популяций животных. М.: Мир, 1979. 364 с.