ivanter2000_vved_v_kolich_biol

232

морфологических признаков (длина крыла, хвоста, цевки) у них довольно сильно перекрываются, что не позволяет с уверенностью диагностировать пол этих птиц. Например, для длины крыла степень трансгрессии составляет 20%, а длины цевки – 90%. Между тем дискриминантный анализ в силах справиться с подобной задачей.

Рис. 9.4. Зона трансгрессии – наложение "хвостов" распределений

На основе реальных признаков птиц математически рассчитывается искусственный и единственный признак, учитывающий все незначительные морфологические отличия полов в целом по всем признакам. Эти расчеты проводятся с условием, чтобы различия между группами самцов и самок стали наиболее выраженными, а трансгрессия между их распределениями – наименьшей. Так удается свести к минимуму долю животных неопределенного пола и с высокой степенью достоверности предсказывать пол по морфологическим признакам.

В основе дискриминантного анализа лежит дискриминантная функция; для двух признаков она имеет такой вид:

Z a x b y H Z .

Как можно видеть, признаки х и у, объединяясь, дают один признак Z. Если в анализ будут включены размерные признаки, такие как длина крыла и длина хвоста, то новый признак можно назвать " относительные размеры тела".

Коэффициенты a и b оценивают "вклад" каждого из признаков в диагностические возможности функции. На первых этапах работы в расчеты обычно вовлекается большое число реальных признаков, многие из которых никак не влияют на диагностические возможности дискриминантной функции, для них дискриминантные коэффициенты близки к нулю. Такие признаки исключают из рассмотрения, а дискриминантую функцию рассчитывают заново. Формальным критерием для отбраковки "неинформативных" признаков служит

233

аналог критерия Стьюдента для оценки значимости коэффициентов регрессии, который мы не рассматриваем.

Коэффициент Н – это граничная величина между значениями Z для самцов и самок. Свободный член уравнения Z – поправка на разные объемы выборок.

Теперь сформулируем задачу более конкретно. У 10 самцов и 10 самок погибших по разным причинам пеночек-весничек (их пол был определен путем вскрытия) взяли промеры длины крыла и хвоста. По этим данным вычислены необходимые для дальнейших расчетов величины (суммы значений, их квадратов и произведений), сведенные

в таблицу 9.5: Σx = 1218; Σx² = 74324 5; Σy² = 9275; Σy² = 43087.25;Σ(х∙у) = 56564.5.

Таблица 9.5

Самцы (1)

235

nmin – объем меньшей выборки объектов разного качества.

В нашем случае поправка равна 0, так как группы имеют одинаковый объем (по 10). Теперь можно записать уравнение дискриминации в полном виде:

Z = 0.021423∙x + 0.015335∙у – 2.0158.

Рассчитаем с его помощью значения нового признака "относительные размеры тела" для конкретных особей. Для первого самца величина разницы составит:

Z11 = 0.021423∙65 + 0.015335∙50 – 2.0158 = 0.14.

Значения для всех остальных особей занесены в таблицу 9.5, из которой видно, что самцы имеют положительные, а самки (кроме одной) – отрицательные значения функции Z. Распределения нового признака перекрываются на одну двадцатую часть, всего на 5%. По исходным данным видно, что трансгрессия по признаку х составила 10% (значение 61), а по признаку у – 25% (значения 46 и 46.5). Таким образом, рассчитанный признак характеризуется меньшей трансгрессией по сравнению с реальными признаками, т. е. позволяет снизить число неверных определений пола у живых птиц. Дальнейшие операции, связанные с использованием дискриминантной функции, вполне очевидны. Для особи с неизвестным полом, но известными промерами частей тела (когда птица после отлова и взятия промеров отпускается живой) вычисляется значение функции. Если оно больше 0, значит, это самец, если меньше – самка.

Заключительный этап – оценка достоверности уравнения по критерию Фишера:

По лученное значение критерия Фишера (0.32) меньше

табличного (табл. 7П) для α = 0.05 и df1 = 2, df2 = 20–3 = 17 F(α, 2,n– 3) = 3.6, значит, уравнение недостоверно. Это объясняется небольшим

объемом выборки в нашем примере: для исходных данных из 50 экз. птиц каждого пола (обычный объем зоологического материала)

236

критерий Фишера был равен F = 4.2 при F(α, 2, 47) = 3.1. Отсюда следует, что уравнение дискриминации для 50 особей достоверно и вполне пригодно для прижизненного определения пола пеночек-весничек.

Уверенность в результатах анализа может придать оценка работоспособности дискриминантной функции на независимой проверочной выборке особей с известным статусом.

237

Основы метода главных компонент

Метод главных компонент реализует идеологию многомерной статистики – стремление дать максимально полную характеристику каждому объекту измерения с помощью минимального числа неких расчетных признаков. Компонентный анализ позволяет вместо многочисленных исходных характеристик объектов исследования рассчитать несколько новых признаков, линейных индексов (названных главными компонентами), т. е. максимально эффективно справляется с задачей сокращения размерности. С вычислительной точки зрения количество главных компонент может быть равно числу исходных (m), но обычно основная доля информации об отличиях объектов "концентрируется" в гораздо меньшем числе компонент, которые и рассматриваются как полноценная характеристика всех объектов.

Главные компоненты как факторы

Зачем же делать такую подмену одних признаков – другими? Дело в том, что новые показатели – это не совсем "признаки", характеристики объектов. С бóльшим основанием их можно назвать "явлениями"; это отображения неких процессов (или факторов), затрагивающих сразу группы признаков объектов измерения.

Взять, к примеру, индивидуальный рост животных, который сказывается и на размерах тела, и на массе особи, ее внутренних органов, степени развития генеративных органов, интенсивности обменных процессов и т. д. Опыт показывает, что в выборке разновозрастных животных одна из главных компонент формируется при участии всех этих признаков и поэтому может быть названа "возрастные изменения", т. е. как явление, а не признак. Что же могут представлять из себя другие главные компоненты, какие явления она могут описывать, какое общее направление изменчивости? Таким направлением может быть, например, половой диморфизм по многим признакам: самки отличаются от самцов и массой, и размерами, и пропорциями, и степенью гипертрофии органов при беременности и т. д. Это вторая причина изменчивости затрагивает те же признаки, что и онтогенез, но "в другом направлении". Наконец, если рост и развитие разных особей проходили в разных условиях (разные сезоны, районы

238

ареала, антропогенной пресс), они не могли не сказаться на морфологии, но своим, особенным образом – третья причина.

Эта логика приводит нас к двойственному заключению:

–каждый реальный признак характеризует только какую-то одну сторону явлений, которыми захвачены особи,

–каждое из этих явлений (факторов) сказывается на многих признаках.

Получается, что в значении каждой отдельной варианты воплощается реализация нескольких разнородных процессов; модель значения варианты любого исходного признака имеет вид:

x x a x b x с ... ,

где x – исходное значение какого-либо признака x,

xa – выражение процесса a в формировании варианты x,

xb – роль процесса b в формировании значения варианты x. Понятно, что разные факторы будут оказывать на варианты

разное влияние, одни более сильное, другие более слабое. Например, из рассмотренных выше возможных отличий вариант, воплощенных в конечном признаке каждой особи (пусть это будет масса тела), наибольшую роль сыграет возраст, а также половой диморфизм, затем условия развития, индивидуальные отличия и пр., т. е. a > b > c >…

Если попытаться выразить массу какого-либо мелкого животного (например, обыкновенной гадюки) предложенным способом, получим:

где Wi – значение массы отдельной i-й особи,

Wвид – вклад в значение массы видовой нормы (средней)(примерно 50 г),

Wпол – вклад в значение массы половых отличий (±50 г),

Wвозраст – вклад в значение массы этапа онтогенеза (±80 г), Wплод – вклад в значение массы наличие эмбрионов (±60 г),

Wсезон – вклад в значение массы сезона (упитанности, развития)(отличия до 50 г).

Так, для молодого половозрелого самца гадюки летом имеем примерно

W = 50 + 40 – 20 + 0 + 0 = 70 г,

239

для старой беременной самки летом

W = 50 + 100 + 100 + 30 – 20 = 260 г,

для трехлетней ювенальной особи весной

W = 50 + 0 – 30 + 0 + 0 = 20 г.

Пример показывает, благодаря действию каких причин отличаются размеры животных, какие направления изменчивости реализованы в этих вариантах; в порядке возрастания значимости это:

–отличия по возрасту,

–отличия по полу,

–отличия по участию в размножении,

–отличия по сезону (упитанности).

Важно указать, что "видовая норма", определенная комплексом процессов, определяющих типичные для вида размерные характеристики (условная средняя), дает одинаковый вклад во все значения вариант; вклады остальных причин для каждой особи различны.

Аналогичным образом можно расписать влияние названных причин на любой другой признак, например, на линейные размеры тех же гадюк:

Итак, одни и те же процессы (факторы) сказываются на разных количественных характеристиках изучаемых объектов, при этом на разные варианты один и тот же фактор воздействует с разной силой. Сила действия данного фактора может быть, видимо, определена по величине соответствующей "добавки" к значению варианты.

Такой "декомпозирующий" взгляд на числа в матрице исходных данных позволяет предложить принцип поиска и количественной характеристики общих причин, ответственных за отличия объектов выборки. Используя информацию, заключенную в исходной матрице данных, в рамках компонентного анализа предлагается количественно выразить факторы, ответственные за отличия объектов. Данный l-й фактор можно представить как сумму всех эффектов (xlj) его воздействия во все изучаемые признаки (x1,…xj,…xm), т. е. как сумму всех "добавок" данного фактора во все значения отдельных признаков отдельной особи:

240

значения всех признаков, где ГКа – значение главной компоненты, характеризующей

действие одного из процессов формирования вариант (фактор a),

xaj – вклад фактора a в значение варианты j-го признака данного объекта.

Для другого процесса (фактор b) имеем:

и т. д. для всех прочих факторов.

Например, как показывает практика, первой главной компонентой в выборке животных обычно оказывается фактор возрастных отличий, что позволяет записать примерное выражение:

Иными словами, главная компонента, характеризующая действие возраста, представляет собой сумму соответствующих долей вариант по всем признакам.

Конечно, странно и неправильно было бы складывать граммы с миллиметрами и миллиграммами, поэтому в уравнении присутствует префикс норм., говорящий о том, что в расчетах принимают участие значения, предварительно преобразованные к виду, позволяющему проводить такие операции. Эти значения центрированы (к средней) и нормированы (на стандартное отклонение):

норм. xji = z ji ( x ji M j ) / S j ,

где норм. xji, или zji – нормированное i-е значение j-го признака,

Mj, Sj – средняя и стандартное отклонение j-го признака по всей выборке,

i – индекс объекта, особи,

241

j – индекс признака.

После нормирования признаки утрачивают единицы измерения, и складывать их значения вполне допустимо.

Требование максимума дисперсии

Представленным выше способом формируется столько главных компонент, сколько существенных причин участвовало в формировании вариант. Теперь можно детальнее показать, почему количество расчетных признаков (главных компонент) должно быть меньше, чем число исходных переменных. На выборке объектов можно часто наблюдать, как от объекта к объекту разные признаки изменяются чуть ли не синхронно, т. е. сходным образом реагируют на одни и те же факторы. Факт корреляции между признаками означает, что они содержат много общей информации о действующих факторах. При этом каждый отдельный фактор влияет на несколько признаков. Главные компоненты как раз и выражают эти немногие причины изменчивости, которых всегда меньше, чем исходных признаков.

Получается, что 100% информации об изменчивости вариант, заключенной в исходной матрице данных, перераспределяется между компонентами по-иному, чем между признаками. Например, когда изучается 10 признаков, можно условно принять, что каждый из них привносит по 10% информации. Пусть при этом половина значения каждой варианты каждого признака будут изменяться у разных особей под действием одной причины (например, возраста), тогда на долю главной компоненты, которая уловит эти возрастные отличия, придется 50% общей информации; она будет в пять раз более информативна, чем любой исходный признак. Аналогично можно представить, что на половые отличия придется 30% информации (изменчивости значений вариант), на отличия по срокам наблюдения – 10%, а на все прочие более слабые причины – оставшиеся 10%. В итоге можно увидеть, что вместо 10 признаков львиную долю общей изменчивости вариант отобразили, "объяснили" всего 3 главных компоненты. Эти 10–20% относятся, как правило, к стохастическому шуму (слабые несущественные факторы, ошибки измерения), их обычно не рассматривают.