ivanter2000_vved_v_kolich_biol

122

нормальной кривой (табл. 4П), соответствующие вычисленным нормированным отклонениям. Для t = 1.38 находим p = 0.1539 ≈ 0.15 (табл. 6.6, графа 5). (Следует отметить, что модуль в формуле нормированных отклонений берется потому, что в таблице 6П приведены частости p только для положительных значений t.) Следующая операция, вычисление теоретических частот распределения, ведется по формуле:

А = с∙p,

где p – ординаты нормальной кривой;

с – константа ряда, определяемая по формуле c dx n ,

S

dx – классовый интервал (в данном случае он равен 0.7); п – объем выборки (63).

Теоретическая частота для f = 0.15 составит:

А= 49.16∙0.1539 = 7.55 ≈ 8 (графа 6).

Врезультате вычислений получаем теоретическую выборку с

Теперь остается оценить отличия частот обоих рядов по критерию хи-квадрат. Но перед этим необходимо убедиться в совпадении

123

суммы эмпирических и теоретических частот (по 63 варианты) и в том, что минимальная частота в отдельных классах обоих рядов не ниже 4. Поскольку в крайних классах частоты были ниже, проводим их объединение (отмечено скобками), после чего число классов снизилось до k = 5. Далее вычисляем критерий хи-квадрат: для первого касса (9– 10)²/10 = 0.1. Значение критерия составило χ² = 1.36. Число степеней свободы (при трех ограничениях и пяти классах) равно df = 5–3 = 2.

Табличное значение (табл. 9П) χ²(0.05,2) = 5.99.

Поскольку полученное значение (1.36) меньше табличного (5.99), нулевая гипотеза сохраняется, распределение бурозубок по массе тела достоверно от нормального не отличается.

Аналогичные расчеты для дискретного признака (плодовитость лисиц), имеющего предположительно биномиальное распределение (дискретный аналог нормального), представлены в табл. 6.7. Так, при параметрах M = 5 экз., S = 1.33 экз. для второго интервала получаем: t = |8–5|/1.33 = 1.5.

Таблица 6.7

p = 0.1295 (графа 4), теоретическая частота составит:

А = с∙p = 56.38∙0.1295 = 7.3 ≈ 7 (графа 5),

поскольку значение c = 1∙75/1.33 = 56.38. В результате вычислений получаем частоты (A) распределения (с параметрами М = 5, S = 1.33, n = 75), строго соответствующего биномиальному (см. рис. 3.4, с. 69). Объединим классы с частотами менее 4 и рассчитаем значение

125

Далее вычисляем хи-квадрат: χ² = 0.71 и число степеней свободы (при двух классах и одном ограничении, объеме выборки)

df = k–1 = 2–1 = 1. По табл. 9П находим критическое значение χ²(0.05,1) = 3.84. Поскольку полученная величина (0.71) меньше табличной (3.84),

различия сравниваемых распределений статистически недостоверны. Иначе говоря, фактические частоты хорошо согласуются с теоретически ожидаемыми. По данным первой строки таблицы видно, что полученное значение χ2 соответствует уровню значимости большей α = 0.30 (напомним, что порогом, как было установлено выше, является α = 0.05). Значит, совпадение между фактическими результатами и ожидаемыми достаточно велико. Полученные данные не отвергают принятую гипотезу о том, что в нашем случае имеется отношение 3:1.

Здесь следует еще раз обратить внимание читателей на то обстоятельство, что сохранение нулевой гипотезы нельзя считать доказательством справедливости нулевой гипотезы. Результатами представленных вычислений теория о расщеплении по фенотипам в отношении 3:1 (0.75:0.25) не доказана, хотя и не опровергнута. Статистика доказывает только факт отличий, но не их отсутствие. Чтобы доказать теорию, нужно предположить анти-теорию (для нашего примера соотношение 1:1) и опровергнуть ее с помощью статистических приемов.

На лекциях по биометрии для биофака присутствуют 64 студентки и 12 студентов. Требуется определить, подтверждают ли эти данные факт преобладания на биофаке девушек или налицо просто случайное отличие цифр. Теоретическое отношение признаков, т. е. соотношение полов в популяции людей студенческого возраста, 1:1. Подтверждается ли оно? Иными словами, выдвигается нулевая гипотеза, что данная выборка взята из генеральной совокупности, в которой соотношение полов 1:1.

126

(χ²(0.05,1) = 3.84) явно свидетельствует о существенном отклонении фактического соотношения полов от гипотезы – 1:1. Вероятность правильности нулевой гипотезы (т. е. что в данном случае действительно имеет место численное равенство полов) оказалась много меньше 0.01. Соответственно, доверительная вероятность, т. е. вероятность несоответствия между числом девушек и юношей, составляет более 0.99, т. е. достаточно велика. Итак, есть все основания говорить о статистически достоверном преобладании девушек среди студентов биофака. Из какой же генеральной совокупности они отбираются, если достоверно не из той, где Ж:М = 1:1? Видимо, речь идет о группе людей гуманитарно-эстетического душевного склада, для которых созерцательность предпочтительнее предметной деятельности. Понятно, что среди парней таких немного.

Принципы исследования полиномиальных распределений

остаются прежними, возрастает число классов и степеней свободы. Метод хи-квадрат позволяет сравнивать между собой не только теоретический и фактический ряды данных, но пару (и более) эмпирических выборок. Для ее решения эмпирические частоты каждого ряда сопоставляются со средними теоретическими частотами,

рассчитанными на основе нулевой гипотезы "все выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности", т. е. "все распределения одинаковы", или "доли вариант с данным значением в разных распределениях одинаковы". Этим методом можно сравнивать между собой признаки, имеющие любые типы распределения.

Фактические данные наблюдений группируются в таблицу (a), далее рассчитываются средние теоретические частости (p), затем теоретические частоты (A) и критерий χ².

Рассмотрим алгоритм на примере изучения фенетической структуры популяций красной полевки с разным уровнем численности

127

зверьков. Получены частоты встречаемости пяти комплексов фенов от 1 до 5 (признаки: число перфораций черепа в разных областях). Например, первым комплексом фенов обладали 146 особей из первой популяции и 208 из второй (табл. 6.10). Выдвинуто предположение, что различия в частотах фенов случайны. В соответствии с этим допущением частости фенов каждого из пяти типов в двух сравниваемых популяциях должны быть равны.

Сначала определяем усредненные (теоретические) частости (pi) для всех фенетических комплексов, поделив суммы особей в группах (Σi) на объединенный объем выборок (N = 600): pi = Σi/N. Так, для второй группы фенов: p2 = 190/600 = 0.317.

Таблица 6.10

Далее находим частоты всех фенов с поправкой на разные объемы выборок. Общая формула для вычисления усредненных частот, как и раньше, имеет вид:

Аji = nj∙pi,

где Аji – теоретическая частота для i-го значения j-й выборки,

128

pi – теоретические (усредненные) частости, nj – объем выборки.

Усредненные (теоретические) частоты представлены в таблице 6.10 справа внизу от реальных значений частот. Например, ожидаемая частота второй группы во второй выборке составит A2,2 = 0.317∙312 = 98.8, для пятой группы – A2,5 = 0.008∙312 = 2.6.

Критерий хи-квадрат вычисляется по обычной формуле. При этом отыскиваются разности только между эмпирическими и теоретическими частотами для каждой выборки отдельно. Например, для первого класса первой выборки имеем:

В завершение значения χ², полученные для разных выборок, складываются. В нашем случае χ² = 10.9+9.87 = 20.8.

Расчет числа степеней свободы производится по формуле df = (k–1)∙(r–1), где k – число значений (классов) вариант, в данном случае 5 классов фенов, r – число сравниваемых выборок, в нашем примере их две. Отсюда df = (5–1)(2–1) = 4. Табличное значение

χ²(0.05,4) = 16.92. То, что фактическая величина (20.8) больше табличной, позволяет отвергнуть нулевую гипотезу и сделать вывод о том, что

частота (распределение) фенов в сравниваемых популяциях достоверно отличается, причем в основном за счет встречаемости первых двух групп фенов. Отмеченные различия обусловлены увеличением фенетического (генетического) разнообразия первой популяции, отличавшейся более высокой численностью.

Критерий Колмогорова – Смирнова

Этот критерий, обозначаемый греческой буквой (ламбда), можно применять как для оценки расхождения между фактическими и теоретическими распределениями, так и для определения достоверности различий между любыми двумя распределениями частот одного и того же признака, причем даже при неодинаковом числе классов и частот у этих распределений. По своему назначению и возможностям он напоминает описанный выше критерий хи-квадрат, но более прост в применении. Нулевая гипотеза о случайности расхождения между сопоставляемыми распределениями отвергается и различия считаются достоверными, если эмпирическая величина критерия λ превосходит свое критическое значение для принятого

129

порога доверительной вероятности, и наоборот, различия могут считаться случайными (нулевая гипотеза сохраняется), если эмпирический критерий не достигает требуемого значения квантили.

Для сравнения распределений при одинаковом числе классов и одинаковой общей численности групп критерий λ вычисляется по формуле:

n

а при сравнении выборок разного объема:

где max|| – максимальная разность (без учета ее знака) между накопленными частотами в сравниваемых распределениях,

a1 и a2 – частоты первого и второго рядов (это могут быть как две выборки, так и эмпирическое и теоретическое распределения);

п – общее число (сумма) всех вариант совокупности; п1 и п2 – объемы сравниваемых выборок.

Критерий λ не требует специальной таблицы для оценки значимости отличий, так как для любого числа классов предельные значения критерия λ, соответствующие трем порогам доверительной вероятности (0.95, 0.99 и 0.999), одинаковы и равны соответственно

1.36, 1.63 и 1.95.

Применение критерия λ можно показать на таком примере. Сравнивается плодовитость зимовавших (a1) и прибылых (a2) рыжих полевок, у которых частота встреч выводков разной величины (число эмбрионов на самку, x) отличалась.

Таблица 6.11

использует два распределения хи-квадрат с разным числом степеней свободы: F ( 12 / df 1 ) /( 22 / df 2 ) .