ivanter2000_vved_v_kolich_biol

172

отклонение отдельных вариант от линии регрессии.

Эта идея позволяет построить базовую модель варианты в регрессионном анализе (рис. 8.5):

yi = My yx yсл.,

где yi – значение признака y для i-й варианты (соответствующее значению xi),

My – общая средняя арифметическая для всей выборки (общая часть всех вариант),

yx – доля значения yi, связанная с влиянием признака x,

yсл. – доля значения yi, связанная с действием случайных факторов варьирования.

Таким образом, отклонение варианты от общей средней арифметической связано с действием факториального признака и с действием случайных причин:

(yi – My) = (yi – Yi) + (Yi – My),

где yi – My – общее отклонение варианты от средней,

yсл. = yi – Yi – отклонение варианты от линии регрессии, отклонение по случайным причинам,

yx = Yi – My – отклонение линии регрессии (для точки xi) от средней, т. е. отклонение под действием факториального признака x.

Представленная модель позволяет подойти к количественной оценке достоверности связи признаков в целом. Для этого нужно все

174

детерминации, отношение регрессионной суммы квадратов к общей сумме квадратов: R 2 C мод. . Она принимает значения от 0 до 1.

C общ.

На основе полученных сумм квадратов рассчитываем модельную и остаточную дисперсии. Число степеней свободы для остаточной дисперсии берут равным df = n–2, поскольку в расчетах теоретических значений принимают участие два параметра – a и b. В тех случаях, когда свободный член (b) значимо от нуля не отличается, расчеты теоретических значений проводятся при одном коэффициенте (a) и число степеней свободы берут df = n–1.

После предварительных расчетов с помощью критерия Фишера можно проверить нулевую гипотезу Но: предсказания модели в целом неадекватно описывают исходные данные, зависимости между признаками нет. Конструкция критерия исследует вопрос, превышает ли варьирование, учтенное моделью, случайное (остаточное) варьирование? Критерий Фишера вычисляется как отношение модельной и остаточной дисперсии:

F = S2мод./S2остат. ~ F(0.05,1,n–2) .

Если значение критерия окажется выше табличного, значит, дисперсия реального признака y приближается по величине к дисперсии модельного признака Y, т. е. существенно превышает (случайные) отличия между ними. Значение критерия ниже табличного свидетельствует о существенных отличиях между реальными и модельными данными, о плохом согласовании модели с реальностью, о неадекватности модели.

Помимо дисперсионного анализа и критерия Фишера существуют другие способы доказательства влияния признака x на y, например, критерий T Стьюдента, проверяющий нулевую гипотезу Но: а = 0, коэффициент регрессии значимо от нуля не отличается. С этой целью рассчитывается ошибка коэффициента регрессии ma и вычисляется величина

T = (a–0)/ ma = a/ ma T(0.05, n–2).

Смысл этого критерия состоит в следующем. Коэффициент регрессии a характеризует сопряженность пропорционального изменения двух признаков, т. е. отвечает за то, что линия регрессии имеет некоторый угол относительно оси абсцисс. Значение a = 0 означает, что линия регрессии идет параллельно оси ОХ, что при изменении признака x признак y не меняется, что y не зависит от x. Значения a > 0 или a < 0 говорят о том, что взаимосвязь признаков имеет место.

175

Поскольку значение коэффициента регрессии оценивается по выборке, может статься, что a будет отличаться от нуля в силу случайных причин, вследствие ошибок репрезентативности (в действительности связи нет, а в выборке сочетание вариант дало слабый эффект). Иными словами, если при исследовании одного и того же явления получить множество выборок и для каждой из них рассчитать уравнение регрессии, то возможны два случая:

1.Для каждой повторной выборки мы будем получать устойчивые и сходные значения коэффициента регрессии, отличные от нуля, т. е. зависимость между признаками действительно есть (рис. 8.6,

А).

2.Для каждой повторной выборки мы будем получать варьирующие значения коэффициента регрессии, близкие к нулю, т. е. зависимость между признаками отсутствует (рис. 8.6, Б).

Коэффициенты регрессии, рассчитанные по разным выборкам, будут отличаться друг от друга и от генеральных значений. Соответственно, выборочные линии регрессии будут иметь разные углы наклона. Межвыборочную изменчивость коэффициентов регрессии можно охарактеризовать стандартным отклонением, названным ошибкой (репрезентативности) коэффициента регрессии (ma). Понятно, что она будет характеризовать варьирование этого параметра по случайным причинам. В свою очередь, как показано выше, наклоненность линии регрессии обеспечена не случайными

176

причинами. Поэтому отличие коэффициента регрессии от нуля (a–0), или просто величина a, оценивает силу связи между изучаемыми признаками. Если эта связь не случайна, то сопряженное варьирование двух признаков будет сильнее их свободного варьирования, тогда и отношение коэффициента регрессии к своей ошибке превысит критический уровень T статистики Стьюдента.

T = (a–0)/ ma = a/ ma T(0.05, n–2).

Если же связи нет или она сильно загрязнена стохастическим шумом, то линия регрессии скроется в облаке возможных случайных траекторий, критерий даст значение ниже табличного.

Говоря о технической стороне, важно отметить, что расcчитать ошибку коэффициента регрессии можно и по одной единственной выборке (используя промежуточные величины, показанные выше).

Cx Cy

n – объем выборки.

Оценка значимости коэффициентов регрессии особенно важна для случая множественной регрессии, когда оценивается зависимость результативного признака от нескольких факториальных. С помощью этой процедуры удается отделить существенные факторы влияния от малозначимых.

Наряду с первым коэффициентом линейной регрессии можно проверить значимость и второго коэффициента, b. Идеология метода не меняется, но рассматривается другая гипотеза Но: b = 0, т. е. проходит ли линия регрессии через начало осей координат, через нуль.

177

Здесь возможны те же варианты: либо линия регрессии проходит через нуль, и тогда выборочные коэффициенты регрессии случайно варьируют около этого значения (рис. 8.7, А), либо линия регрессии не проходит через точку пересечения осей координат, и выборочные коэффициенты регрессии действительно отличны от нуля

(рис. 8.7, Б).

Рис. 8.7. Варианты хода линии регрессии

Проверяется эта гипотеза с помощью критерия Стьюдента, меняется только метод расчета ошибки второго коэффициента регрессии:

T = (b–0)/ mb = b/ mb T(0.05, n–2),

n – объем выборки,

Сx – вспомогательная величина для признака x,

Cx = Σx² – (Σx)²/n,

m – ошибка регрессионной средней или остаточное стандартное отклонение, может вычисляться по разным формулам:

m y S y 1 r 2 (упрощенная формула для больших выборок),

178

r – коэффициент корреляции,

Mx, My, Sy – средняя арифметическая и стандартное отклонение для рядов значений x и y,

n

Состат. = ( y i Y i ) 2 – сумма квадратов отклонений расчетных

(Yi) от реальных значений признака y (остаточная сумма квадратов из таблицы дисперсионного анализа).

Если свободный член, коэффициент b, значимо от нуля не отличается, т. е. линия регрессии проходит через начало осей координат, следует пересчитать первый коэффициент регрессии a. Формула расчета коэффициента регрессии при этом упрощается:

a = Σ(x∙y)/ Σx².

Регрессионная модель примет вид: Y = ax.

Ошибки коэффициентов регрессии позволяет рассчитать для каждого из них доверительные интервалы, ограничивающих область возможного варьирования с принятым уровнем значимости (значение

T(α, n–2) берется по таблице Стьюдента): a ±T∙ma, b ±T∙mb.

Варьирование коэффициентов a и b означает, что выборочная линия регрессии может иметь иной угол наклона, нежели генеральная, проходить в окрестностях несколько выше или несколько ниже центра, образуя целый "букет" из возможных случайно наклоненных выборочных линий регрессии (рис. 8.6). В силу нормального распределения признаков их множество укладывается в область сложной конфигурации с "перетяжкой" в окрестностях центра распределения. Этот феномен достаточно просто объяснить, имея в виду форму двумерного нормального распределения частот (рис. 8.1).

Точнее всего выборочные линии регрессии "угадывают" положение центра распределения (точки, соответствующей средним My, Mx), поскольку в этой области концентрация вариант наиболее велика, значит, и средняя оценивается с наименьшей ошибкой. Обычно линия регрессии пересекает этот центр. Напротив, по краям

180

(xi – Mx)² – мера отклонения значения xi от средней Mx,

n

Cx = ( x M x ) 2 – сумма квадрата отклонений всех значений x

от своей средней Mx; рассчитывается по рабочей формуле:

Cx = Σx² – (Σx)²/n.

Как следует из формул, чем дальше значение xi находится от средней арифметической Mx, тем больше числитель подкоренного выражения, т. е. тем больше для этого значения получится ошибка линии регрессии mY и тем шире будет доверительный интервал линии регрессии, т. е. интервал для предсказанного среднего значения признака Yi для очередного наблюдаемого значения xi.

Кроме этого, в рамках регрессионного анализа можно рассчитать интервал прогноза новых наблюдений:

где SY – расчетное стандартное отклонение для предсказанных значений признака y.

Если доверительный интервал линии регрессии (Yi ± T∙mY)

характеризует область ожидания генеральной линии регрессии (для средних), то интервал прогноза (Yi ± T∙SY) характеризует область, в которой с заданной вероятностью ожидается появление новых значений признака y (вариант) в случае продолжения наблюдений. Вероятность (уровень значимости), с которой в данном интервале ожидается появление варианты или среднего прогноза, задается соответствующей табличной величиной критерия Стьюдента T(α, n-2).

Техника расчета линейной регрессии

Судить о том, на какую величину в среднем изменяется один признак (Y) при изменении другого (x) на единицу измерения, позволяет уравнение линейной регрессии: Y = ax + b.

Термин "линейная" относится к методу оценки коэффициентов регрессии (a, b), это метод наименьших квадратов, дающий уравнение

181

линии, удаленной от всех точек двумерного распределения на наименьшее расстояние.

Способ вычисления уравнения регрессии показан в таблице 8.3 на примере зависимости между живым весом коров и их приплода (кг). Нулевая гипотеза предполагает отсутствие связи. По таблице рассчитываются квадраты вариант и их произведения, а также суммы вариант, квадратов и произведений. Вычисления ведутся по точным рабочим формулам.

Таблица 8.3

Проведем последовательные расчеты. Сначала определим вспомогательные величины:

Cxy = Σ(x∙y)–(Σx)∙(Σy)/n = 103144–3150∙224/ 7 = 2344,

Cобщ. = Cy = Σy²–(Σy)²/n = 7330–224²/ 7 = 162,

Cx = Σx²–(Σx)²/n = 1453158–3150²/ 7 = 35658,

Cостат. = 7.92,

Cмод. = 162–7.92 = 154.08;

затем – параметры:

My = Σy/n = 224/ 7 = 32, Mx = Σx/n = 3150/ 7 = 450,