Лекция№18 Зависимость силы тяжести тела от широты местности. Эйнштейновский принцип эквивалентности сил инерции и сил тяготения. Силы Кориолиса. Проявление сил инерции на Земле: маятник Фуко.

При точном решении задач о движении тел относительно зем­ной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции, равную mR , где т — масса тела, — угловая скорость враще­ния Земли вокруг ее оси, R — расстояние тела от земной оси (рис.5). В случаях, когда высота тел над поверхностью Земли невелика, можно положить R равнымcos (R₃ — радиус Земли, — широта местности). Тогда выражение для центробежной силыинерции примет вид:

(9)

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел g обусловлено действием силы F, с которой тело притягивается Землей, и силы F_m6. Результирующая этих сил есть сила тяжести, равная mg.

P = F+ F_m6 (10)

Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле F неве­лико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем F . Так, для массы в 1 кг наибольшее значение F_u6, наблюдае­мое на экваторе, равно

в то время как F равна приблизительно 9,8 Н, т. е. почти в 300 раз больше.

Угол между направлениямиF и Р (см. рис. 5) можно опре­делить, воспользовавшись теоремой синусов:

откуда

sin= 0,0035 sin cos = 0,0018 sin 2.

Синус малого угла можно приближенно заменить значением самого угла. В результате получим, что

(11)

Таким образом, угол изменяется в пределах от нуля (на экваторе, где =0, и на полюсах, где =90°) до 0,0018 рад или 6' (на ши­роте 45°).

Направление силы Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом; которое называется направлением отвеса или вертикаль­ным направлением. Сила F направлена к центру Земли. Следова­тельно, вертикаль направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол , определяемый выражением (11).

Разность F-Р равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы F, на экваторе. Из-за сплюснутости Земли у полюсов сила Fсама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения изменяется с широтой в пре­делах от 9,780 м/с² на экваторе до _9,832 м/с² на полюсах. Значение g =9,80665 м/с² принято в качестве нормального (стандартного) значения.

Заметим, что относительно инерциальной, например, гелиоцен­трической" системы отсчета свободно падающее тело движется с ус­корением(а не g). Из рис. 5 видно, что из равенства для разных тел ускорения g вытекает и равенство ускорений w. Действительно, треугольники, построенные на векторах F_g и Р для разных тел, подобны (углы а и > для всех тел в данной точке земной поверхности одинаковы). Следовательно, отношение Fg/P, которое совпадает с отношением ig, для всех тел одно и то же, от­куда вытекает, что при одинаковых g получаются одинаковыми

и .

При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появляется еще одна сила, на­зываемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции.

Рис.6(а,б)

Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следую­щем примере. Возьмем горизонтально расположенный диск, кото­рый может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на ди­ске радиальную прямую ОА (рис. 6,а). Запустим в направлении от О к А шарик со скоростью v'. Если диск не вращается, шарик будет ка­титься вдоль прочерченной нами пря­мой. Если же диск привести во вра­щение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость относительно диска v' будет изменять свое направ­ление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета ша­рик ведет себя так, как если бы на него действовала сила F_K, перпендикулярная к скорости v'

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направляющую, например, в виде ребра О А (рис. 6 ,б). При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой F_r. Относительно вра­щающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по на­правлению скоростью. Это можно формально объяснить тем, что сила F_r уравновешивается приложенной к шарику силой инерции F_K, перпендикулярной к скорости v'. Сила F_K и есть кориолисова сила инерции.

Найдем сначала выражение силы Кориолиса для частного слу­чая, когда частица т движется относительно вращающейся системы отсчета равномерно по окружности ,

Рис.7

лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, с центром, находящимся на этой оси (рис. 7). Скорость частицы относительно вращающейся системы обозначим v'. Скорость частицы относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета v равна по величине +R в случае (а) и |-R в случае (б), где — угловая скорость вращающейся системы,R — радиус окружности.

Для того чтобы частица двигалась относительно неподвижной системы по окружности со скоростью на нее должнадействовать направленная к центру окружности сила F, например, сила натяжения нити, которой частица привязана к центру окруж­ности (см. рис. 7). Величина этой силы равна

F=m===_+2m+ mR (12)

Относительно вращающейся системы частица в этом случае движется с ускорением т. е. так, как если бы на нее действоваласила

(13)

Таким образом, во вращающейся системе частица ведет себя так, как если бы на нее, кроме направленной к центру окруж­ности силы F, действовали еще две направленные от центра силы: и сила Fk, модуль которой равен _2m(рис. 7) Cилу F_K можно представить в виде

(14)

Сила (14) и есть кориолисова сила инерции. При v'=0 эта сила отсутствует. Сила F_u6 не зависит от v' — она, как мы уже отмечали, действует как на покоящиеся, так и на движущиеся тела. В случае, изображенном на рис. 7

F=m===_-2m+ mR

Соответственно

Следовательно, во вращающейся системе частица ведет себя так, как если бы на нее действовали две направленные к центру окружности силы: F и Fk, а также направленная от центра сила F_u6=m²R. Сила Fk и в этом случае может быть представлена в виде (14).

Теперь перейдем к нахождению выражения силы Кориолиса для случая, когда частица движется относительно вращающейся систе­мы отсчета произвольным образом. Свяжем с вращающейся систе­мой координатные оси х', y'_, z', причем ось _, z' совместим с осью вра­щения (рис. 8). Тогда радиус-вектор частицы можно представить в виде (15)

Рис.8

_

Положение частицы относительно неподвижной системы следуетопределять с помощью радиуса-вектора г. Однако символы г' и г обозначают один и тот же вектор, проведенный из начала координат к частице. Символом г' обозначил этот вектор наблюдатель, «живу­щий» во вращающейся системе отсчета; по его наблюдениям орты , е'_у, е'_г неподвижны, поэтому при дифференцировании выражения (15) он обращается с этими ортами как с константами. Символом г пользуется неподвижный наблюдатель; для него орты, е'_у, вра­щаются со скоростью (ортe'_z неподвижен). Поэтому при диффе­ренцировании равного г выражения (15) неподвижный наблюда­тель должен обращаться с и е'_у как с функциями t, производные которых равны:

(16)

| Для вто­рых производных ортов по времени получаются выражения:

(17)

Найдем скорость частицы относительно вращающейся системы отсчета. Для этого продифференцируем радиус-вектор (15) по вре­мени, считая орты константами

Повторное дифференцирование этого выражения даст ускорение ча­стицы относительно вращающейся системы отсчета:

₍₁₈₎

Теперь найдем скорость частицы относительно неподвижной системы отсчета. Для этого продифференцируем радиус-вектор (15) «с позиций» неподвижного наблюдателя. Воспользовавшись обозначением г вместо г' (напомним, что г=г'), получим:

(19)

Продифференцировав это выражение еще раз по t, найдем ускорение частицы относительно неподвижной системы.Приняв во внимание формулы (15), (16) и (18), полученное со­отношение можно преобразовать к виду:

(20)

Соотношение (20) можно записать сле­дующим образом:

₍₂₁₎

Из (21) вытекает, что ускорение частицы относительно непод­вижной системы отсчета можно представить в виде суммы трех ускорений: ускорения относительно вращающейся системы w',

ускорения, равного — R¹), и ускорения

w_K=2[,v'],которое называется кориолисовым ускорением.

Для того чтобы частица двигалась с ускорением (21), на нее должны действовать какие-то тела с результирующей силой F=mw. Согласно (21)

mw^r = mw - 2m[, v'] + m²R = F + 2m[v', ] + m²R (22)

(перестановка сомножителей изменяет знак векторного произведе­ния}. Полученный результат означает, что при составлении уравне­ния второго закона Ньютона во вращающейся системе отсчета,

кроме сил взаимодействия, нужно учитывать центробежную силу инер­ции , а также кориолисову силу. Отме­тим, что сила Кориолиса всегда лежит в плоскости, перпендикуляр­ной к оси вращения.

Из сопоставления формул (19), (17) , (15) , и что с помощью выкладок, аналогичных тем, которые привели нас к со­отношению (21), можно убедиться в том, что

V=v'+[,r']. (23)

Примеры движений, в которых проявляется кориолисова сила инерции. При истолковании явлений, связанных с движением тел относительно земной поверхности, в ряде случаев необходимо учи­тывать влияние кориолисовых сил. Например, при свободном падении тел на них действует кориолисова сила, обуславливающая отклонение к востоку от линии отвеса (рис.9) . Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах.

Рис. 11.

Летящий снаряд также испытывает отклоне­ния, обусловленные кориолисовыми силами инерции (рис.10) . При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет откло­няться к востоку в северном полушарии и к за­паду — в южном. При стрельбе вдоль мериди­ана на юг направления отклонения будут про­тивоположными. При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Зем­ле, если выстрел произведен в направлении на запад, и поднимать его кверху, если выстрел произведен в восточном направлении. Предостав­ляем читателю самому убедиться в том, что сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся вдоль меридиана в любом направлении (на се­вер или на юг), направлена по отношению к на­правлению движения вправо в северном полуша­рии и влево в южном полушарии. Это приводит к тому, что у рек под­мывается всегда правый берег в северном полушарии и левый берег в южном полушарии. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.

Силы Кориолиса проявляются и при качаниях маятника. На рис. 11 показана траектория груза маятника (для простоты пред­положено, что маятник находится на полюсе). На северном полюсе сила Кориолиса будет все время направлена вправо по ходу маят­ника, на южном полюсе — влево. В итоге траектория имеет вид ро­зетки.

Как следует из рисунка, плоскость качаний маятника поворачи­вается относительно Земли в направлении часовой стрелки, причем за сутки она совершает один оборот. Относительно гелиоцентриче­ской системы отсчета дело обстоит так, что плоскость качаний оста­ется неизменной, а Земля поворачивается относительно нее, делая за сутки один оборот. Можно показать, что на широте ф плоскость ка­чаний маятника поворачивается за сутки на угол 2я sin ф.

Таким образом, наблюдения за вращением плоскости качаний маятника (маятники, предназначенные для этой цели, называются маятниками Фуко) дают непосредственное доказательство враще­ния Земли вокруг своей оси.

6