Силы упругости и закон гука при деформации одностороннего растяжения (сжатия).

Характеристики деформации. Закон Гука. Деформация одно­стороннего растяжения возникает, например, в тонком стержне, один конец которого закреплен, а к другому приложена внешняя сила F, стремящаяся растянуть стержень (рис.1).

Рис.1

Под дей­ствием приложенной силы стержень удлинится на величину , но после снятия нагрузки (если удлинение не превзошло определенного предела) возвращается к первоначальной длине. Ко­личественной характеристикой деформации может служить аб­солютное удлинение(положительное при растяжении и отрицательное при сжатии), или относительное удлинение (сжатие)называемое также в общем виде относительной деформацией.

Относительное удлинение — от­влеченное число, указывающее, на ка­кую часть увеличилась или уменьши­лась первоначальная длина стержня. Величину можно рассматривать как удлинение, которое испытывает каж­дый участок стержня длиной 1 м (или 1 см). Замечательно то, что если весь стержень имеет относительное удлинение, то при однородной де­формации каждый элемент тела про­извольной длины l₁ имеет точно та­кое же относительное удлинение (рис.1). Таким обра­зом,есть количественная характеристика деформации, как в отношении всего стержня, так и в отношении его любой части, т. е. является исчерпывающей характеристикой однородной де­формации данного вида.

Сила упругости F_ynp, возникающая в растянутом стержне, оценивается по внешней растягивающей силе F. Из условия рав­новесия стержня имеем:

F_упр = -F. (1)

Но силы упругости F_упр действуют в любом сечении стержня (рис.1) и при однородной статистической деформации они повсюду одинаковы и равны растягивающей силе.

Нагружая нижний конец стержня гирями и измеряя при каждом грузе абсолютное удлинение, можно установить, что аб­солютное удлинение прямо пропорционально длине стержня l, растягивающей силе F и обратно пропорционально поперечному сечению стержня S:

(2)

Эта пропорциональная зависимость справедлива и для де­формации одностороннего сжатия (при соответствующих опы­тах нужно пользоваться короткими стержнями с большим попе­речным сечением, чтобы стержень не гнулся и не ломался). Пе­реходя от пропорциональной зависимости к равенству, мы долж­ны ввести коэффициент пропорциональности:

(3)

Как показывает опыт, коэффициентзависит от рода матери­ала, из которого сделан образец, и является, таким образом, характеристикой упругих свойств данного материала по отноше­нию к деформации растяжения (и сжатия). Его называюткоэф­фициентом упругости. Численное значение этого коэффициента определяют из опыта.

Вводя в (3) модуль Юнга

и заменяя F на — F_ynp , получим искомую зависимость силы уп­ругости от абсолютной деформации:

или

(4)

Полученное соотношение представляет собой одну из мате­матических записей закона Гука для деформации растяжения. Знак минус в формуле (4) указывает, что направление силы упругости F_упр противоположно направлению растяжения.

Мы видим, что сила упругости, возникающая в теле при од­ностороннем растяжении (сжатии), прямо пропорциональна аб­солютному удлинению тела. Коэффициент пропорциональности

(5)

для данного тела зависит от его размеров (S l) и модуля упру­гости материла Е. Величину k называют коэффициентом силы упругости или просто упругостью (для пружины — жесткостью). Для стержня его можно рассчитать по формуле (5). Для пружины расчет k затруднителен, так как при растяжении (или сжатии) пружины деформация проволоки имеет сложный ха­рактер и не может быть сведена только к растяжению. На прак­тике k определяют из опыта, измеряя удлинение пружины (или стержня) под действием известной внешней силы.

Коэффициент упругости и модуль упругости. Вернемся к со­отношению (3). Разрешая его относительно , найдем:

(6)

где — внешняя сила, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения стержня. В рассматриваемом случае эта сила направлена перпендикулярно сечению. В теории упругости величину р называют усилием (в данном случае речь идет о растягивающем усилии). Из соотношений (6) следует, что коэффициент упругости численно равен тому относительному удлинению, которое по­лучается под влиянием усилия, равного единице; модуль ЮнгаЕ численно равен усилию р, вызывающему относительное удли­нение, равное единице. Но относительное удлинение равно еди­нице, если Значит, модуль Юнга численно равен усилиюр которое растягивает стержень вдвое. Кроме каучука, ни один материал такого растяжения не выдерживает; он разры­вается при гораздо меньших растяжениях.

Из соотношений (6) легко получить наименования единиц и размерности для иЕ (для — м²/Н для Е — Н/м²).

Поскольку для данного материала величины иЕ по­стоянны, то соотношения (6) показывают, что относительное удлинение прямо пропорционально растягивающему усилию:

. (7)

Обычно внутреннюю силу, действующую на единицу площади сечения стержня, называют напряжением (или внутренним на­пряжением). Очевидно, что для однородного стержня при однородной деформации напряжение равно усилию. Обозначая на­пряжение тем же индексом р_упр и учитывая, что р = — р_упр, можно записать закон Гука в следующей форме:

(8)

При малых деформациях упругое напряжение, возникающее внутри тела, прямо пропорционально относительной деформации.