Методы изображения фигур

§1. Аффинное преобразование.

Напомним, что мы узнали про аффинные преобразования в предыдущем семестре.

Определение 1. Преобразование плоскости f:^–  называется аффинным, если оно действует по формулам вида

(1)

и при этом,  =  0.

В матричном виде формулы (1) можно переписать так:

X= AX + C , (1)

где

A = , C = .

1. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование. Преобразование обратное к аффинному тоже является аффинным. Тождественное преобразование является аффинным. Другими словами, все аффинные преобразования плоскости образуют группу.

2. (Основное свойство аффинных преобразований) Аффинное преобразование переводит прямые в прямые. При этом параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

3. Аффинное преобразование однозначно определяется заданием трех точек, не лежащих на одной прямой и их образов: A= f (A), B= f (B), C= f (C).

4. Аффинное преобразование с >0 сохраняет ориентацию плоскости; аффинное преобразование с <0 меняет ориентацию плоскости.

5. Аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек и сохраняет пропорциональность отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Было сказано, что свойство 3 мы докажем в следующем семестре. Напомним, что аффинным репером на плоскости называется произвольная тройка точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому свойство 3 вытекает теоремы 1, которую мы сформулируем позже.

Примем без доказательства, что следующее определение равносильно определению 1.

Определение 2. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно переводит прямые в прямые.

Другими словами, любое преобразование плоскости, переводящее прямые в прямые задаётся формулами (1). Доказательство этого факта является настолько сложным, что привести его в рамках нашего курса невозможно.

Лемма. Пусть A и B – две точки на прямой l, а f₁ и f₂ – аффинные преобразования плоскости. Если f₁(A)=f₂(A), f₁(B)=f₂(B), то для любой точки M на прямой l выполняется f₁(M)=f₂(M).

Доказательство. Пусть A=f₁(A), B=f₁(B). Пусть M – произвольная точка на прямой l и M=f₁(M), M=f₂(M). Пусть =(AB, M). Тогда точки и обе принадлежат прямой l=f₁(l), и обе делят отрезок AB в одинаковом отношении :1. Значит, M=M.

Следствие. Если аффинное преобразование имеет f две неподвижные точки A и B, то и вся прямая неподвижна относительно преобразования f, т.е. f(M)=M MAB.

Теорема 1. Пусть R = {O, A₁, A₂} и R  = {O, A₁, A₂} – произвольные аффинные реперы плоскости . Тогда существует одно и только одно аффинное преобразование плоскости, которое переводит репер R в репер R . При этом движении точка M с данными координатами в репере R переходит в точку M с такими же координатами в репере R .

Доказательство. Определим отображение f:^–  по следующему правилу. Точке M(x, y)_R сопоставляется точка M(x, y)_R, т.е. имеющая точно такие же координаты, только во втором репере. Мы имеем

O(0, 0)_R , O(0, 0)_R ; A₁(1, 0)_R , A₁(1, 0)_R ; A₂(0, 1)_R , A₂(0, 1)_R .

Поэтому O= f (O), A₁= f (A₁), A₂= f (A₂).

О чевидно, что отображение f является взаимно однозначным. Докажем, что оно является аффинным. Пусть l – произвольная прямая. Тогда относительно репера она задаётся уравнением Ax+By+C=0. Но тогда её образ l будет иметь точно такое же уравнение, только относительно репера R . Следовательно, l тоже является прямой.

Докажем единственность. Предположим, что существует ещё одно аффинное преобразование g, такое что g(R)=R. Пусть M – произвольная точка плоскости. Проведём через M прямую m, которая пересечёт координатные оси OA₁ и OA₂ в точках M₁ и M₂. Согласно лемме

 f(M)=g(M).

И так, преобразования g и f одинаково действуют на произвольную точку плоскости. Это значит, что преобразования g и f совпадают.

Следствие. Если аффинное преобразование f имеет три неподвижные точки, которые не лежат на одной прямой, то f – тождественное преобразование.

Напомним, что в теореме 1 утверждается, что если заданы два репера на плоскости, то существует одно и только одно … . Эта формулировка совсем не говорит нам, что аффинное преобразование переводит репер в репер. Поэтому следующая теорема имеет самостоятельное значение.

Теорема 2. Любое аффинное преобразование плоскости переводит репер в репер.

Доказательство. Пусть f – аффинное преобразование, R={O, A₁, A₂} – произвольный репер, O=f(O), A₁=f(A₁), A₂=f(A₂). Нам требуется доказать, что R  = {O, A₁, A₂} – тоже репер, т.е. что точки O, A₁, A₂ не лежат на одной прямой.

Предположим противное: эти точки лежат на одной прямой. Пусть M – произвольная точка плоскости, m, M₁ и M₂ – такие же, как в предыдущей теореме (см. также чертёж к теореме 1). Точка M₁OA₁  её образ M₁OA₁; точка M₂OA₂  её образ M₂OA₂. Следовательно, прямая m=f(m) совпадает с прямой A₁A₂, а значит, M=f(M)A₁A₂.

И так, мы показали, что произвольная точка плоскости отображается на прямую A₁A₂, а это значит, что вся плоскость отображается на эту прямую. Поэтому f не является преобразованием. Полученное противоречие показывает, что точки O, A₁, A₂ не могут лежать на одной прямой.