§14. Построение сечения цилиндра.

Если секущая плоскость задана тремя точками, то мы всегда можем найти её след на плоскости основания цилиндра или конуса и точку (P,O) на его оси. Поэтому в дальнейшем считаем, что секущая плоскость задана именно этими элементами.

Сначала мы рассмотрим случай, когда плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. Тогда сечением цилиндра будет эллипс (;¯ и его изображение – тоже эллипс . Мы знаем способ построения эллипса, если известны два его сопряжённых диаметра. Мы сейчас покажем, как можно найти изображение главных диаметров эллипса (;¯.

П усть  и ₁– эллипсы, изображающие нижнее и верхнее основания цилиндра, O и O₁– их центры. Проведём диаметр A₃B₃ нижнего основания, параллельный следу и сопряжённый ему диаметр C₃D₃. Для построения C₃D₃мы используем хорду K₃L₃, один конец которой принадлежит контурной образующей. Напомним, что A₃B₃ и C₃D₃изображают перпендикулярные диаметры. Продолжим C₃D₃до пересечения со следом. Получим точку X. Прямую PX назовём осью сечения.

Поднимем точки C₃и D₃до оси сечения. Получим C и D. Отрезок CD является изображением большого

диаметра сечения. Поднимем отрезок A₃B₃на высотуOP. Получим отрезок AB, который является изображением малого диаметра сечения. Отрезки AB и CD – сопряжённые диаметры эллипса .

Нам важно найти ещё точки, в которых эллипс переходит с видимой стороны цилиндра на невидимую, а значит, сплошная линия переходит в пунктир. Это точки пересечения секущей плоскости с контурными образующими. Пусть Y₃=K₃L₃C₃D₃. Поднимем Y₃до оси сечения. Получим точку Y. Поднимем хорду K₃L₃на высоту YY₃. Получим отрезок KL. Мы нашли требуемую точку K, а попутно, ещё одну дополнительную точку L. Точка M, изображающая пересечение секущей плоскости со второй контурной образующей симметрична точке K относительно точки P. Дополнительно построим точку N, симметричную L относительно точки P.

М ы уже нашли 8 точек, лежащих на сечении. Этого вполне достаточно, чтобы аккуратно от руки или с помощью лекала нарисовать эллипс. При необходимости мы можем построить ещё сколько угодно точек, т.к. у нас есть его сопряжённые диаметры.

Далее мы покажем способ, как можно найти любое количество точек на сечении без использования этих диаметров.

М ы выбираем любую точку V₃ на эллипсе . Проводим диаметр V₃T₃ и продолжаем его до пересечения со следом. Получим точку U. Поднимаем точки V₃и T₃до прямой UP. Получаем две точки V и T на сечении. Выбирая вместо V₃другую точку, получим другие две точки на сечении. В частности, если выбрать точку K₃, лежащую на контурной образующей, мы найдём точки K и M, в которых сплошная линия на сечении должна перейти в пунктирную.

Предположим теперь, что секущая плоскость пересекает верхнее основание цилиндра. Это значит, что точка D оказывается выше верхнего

основания. Напомним, что линия p, изображающая пересечение секущей плоскости с плоскостью верхнего основания, называется следом этой плоскости на верхнем основании. Мы знаем, что p||p. Нам нужно найти точку, через которую будет проходить p. Для этого проводим диаметр верхнего основания C₁D₁||CD, C₁D₁PX=Z.