Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций)

УДК 519+530.145

Рецензенты: доктор физикоматематических наук, профессор кафедры квантовой информатики МГУ им. М.В. Ломоносова Ю.И. Ожигов ; кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры

квантовой физики и наноэлектроники В.И. Корнеев

Богданов Ю.И.

Б.73 Физикостатистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2006, 176 с.

Рассматривается введение в новую область исследованийквантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.

Подробно описываются и анализируются физикостатистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.

Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.

2

Введение

Впоследнее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи [1-5].

Квантовая информатика занимается использованием законов квантовой физики для целей обработки информации. Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики.

Вчем же тогда специфика приборов квантовой информатики? Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким. Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (“software”).

Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции

[5 ].

Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне

3

“software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.

Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [6,7]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер, основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [8].

Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм ДойчаДжозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [9-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразованиевычисление в системе квантовых битовкубитов) [13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].

4

Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].

Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-28].

В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественнонаучное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др. Представления квантовой информатики могут радикально изменить физику, математику, информатику и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.

Пособие состоит из пяти глав. В первой главе мы даем вероятностную интерпретацию векторам гильбертова пространства (на примере взаимнодополнительных прямого и обратного преобразований Фурье). Использованный подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической

5

математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории вероятностей и статистики становятся очевидными с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимнодополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Классическая статистика не позволяет «разглядеть» за распределением вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния, что делает эту теорию весьма тяжеловесной и ограниченной.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам. При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается просто неравенством типа КошиБуняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству КошиБуняковского и соотношению неопределенностей, в

6

настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей ШредингераРобертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством РаоКрамера и корневыми статистическими оценками.

Втретьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако,

вотличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.

Вчетвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули, Адамара, CNOT и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.

7

В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, ДойчаДжозса и квантового преобразования Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.

Данное учебное пособие написано для поддержки курса «Физические основы квантовой информатики», который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.

Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов. Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.

Автор выражает благодарность академику К.А. Валиеву, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физикотехнологическом институте РАН за обсуждение принципиальных вопросов квантовой информатики. Отдельная благодарность А.А. Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, А.Ю. Хренникову и А.В. Шевреву, общение с которыми было очень полезным.

8

Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимнодополнительных статистических величин.

Вероятностные основы квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и ее Фурьеобраза

1.1. Статистическая интерпретация прямого и обратного преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.

Пусть ψ (x) - произвольная комплексная функция,

заданная в гильбертовом пространстве L2 . Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля

Задача 1.1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции (т.е является тождественным преобразованием).

9

Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельтафункции Дирака в виде интеграла Фурье:

Более подробно дельтафункция и ее свойства описываются в Приложении к настоящей главе.

С комплексной функцией ψ (x) и её Фурьеобразом

ψ~(p) можно связать распределения вероятностей.

Определим плотность распределения вероятности в исходном (координатном) представлении как:

P(x) = ψ (x)2

(5)

Определение (5) называется формулой Борна.

С помощью Фурьеобраза ψ (p) можно задать

~

некоторое другое (а именно так называемое импульсное)

Задача 1.1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурьепредставление для дельтафункции

Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное

10