Квантовая монета

отвечающую проекции спина -1/2 на ось z.

Заметим, что

P(sn =+1/ 2)+P(sn =−1/ 2)=I - единичный оператор (разложение единицы)

Будем задавать nr посредством сферических углов

nr = (nx , ny , nz )= (sinθ cosϕ, sinθ sin ϕ, cosθ)

Вероятности иметь соответственно положительное и отрицательное значение проекции спина на направление n есть

В общем случае вектор состояния имеет вид:

Прямой расчет приводит к следующим выражениям для рассматриваемых вероятностей:

P+(nr)=P+(θ,ϕ)=12 [(1+cosθ)c1*c1 +sinθ e−iϕc1*c2 +sinθ eiϕc2*c1 +(1−cosθ)c2*c2 ]

P−(nr)=P−(θ,ϕ)= 12 [(1−cosθ)c1*c1 −sinθ e−iϕc1*c2 −sinθ eiϕc2*c1 +(1+cosθ)c2*c2 ]

Полученные вероятности удовлетворяют следующему очевидному условию:

P+(θ,ϕ)+P−(θ,ϕ)=1

При каждом направлении n = (nx , ny , nz )= (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cosθ ) возникает свое распределениесовокупность взаимнодополнительных

2

распределенийпринцип дополнительности Нильса Бора: «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены однойединственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта».

Операторы проекции спина на различные направления не коммутируют друг с другом:

[sx ,sy ]=isz и т.д.

Некоммутативность наблюдаемых означает, что проекции спина на различные направления не могут быть определены одновременно. Со статистической точки

зрения это означает, что не существует их совместного распределения P(sx ,sy ,sz ) В нашем случае ( c1 =1, c2 =0), поэтому

Статистическое восстановление спинового состояния методом максимального правдоподобия

Пусть, как обычно, ψ = c1 . При измерении на ось z имеем

c2

т.е. по измерениям на ось z мы можем приближенно оценить только вероятности

Для полного восстановления состояния нужно проводить взаимнодополнительные измерения- т.е. измерять проекции спина на различные направления в пространстве (при этом однажды измеренный представитель более не измеряется)

Функция правдоподобия дается произведением по всем направлениям, по которым проводились измерения.

L =∏(P+(nr))N+(nr)(P−(nr))N−(nr)

nr

Здесь N+(n) и N−(nr) - число спинов, зарегистрированных соответственно в положительном и отрицательном направлении вектора n . Для восстановления

3

вектора состояния частицы необходимо провести измерения не менее чем в трех некомпланарных (линейно независимых) направлениях.

Полное число измерений есть:

Уравнение правдоподобия представляет собой в рассматриваемом случае систему

Рассматриваемая система является нелинейной, поскольку вероятности

P+(n)и P−(nr)сами зависят от неизвестных амплитуд c1 и c2 .

Эта система может быть решена методом итераций.

Покажем состоятельность получаемой оценки вектора состояния. Состоятельность оценки означает, что подстановка точного вектора состояния в уравнение правдоподобия обратит последнее в тождество (в асимптотическом пределе).

Удобное представление для спиновых состояний можно получить на сфере Блоха, которая определяется посредством сферических углов Θ и Φ

4

Любой точке сфере Блоха соответствует некоторое спиновое квантовое состояние и наоборотлюбому квантовому состоянию можно сопоставить некоторую точку на сфере Блоха.

Замечание: Измерения спина в двух направлениях недостаточно для полного восстановления спинового состояния: например, при измерениях на оси z и x нельзя отличить состояния с s_y=+1/2 и s_y=-1/2. Причина в том, что определение, скажем, косинуса угла еще не определяет сам угол: например, при cosΦ=0 имеем

два различных состояния с Φ=+π2 и Φ=−π2 .

5