Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Квантовая монета

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
185.07 Кб
Скачать

Квантовая монета (на примере спина 1/2) как генератор случайных чисел

Опыт ШтернаГерлаха: при измерениях на ось z выбираем пучок со спином +1/2.

Исходный вектор спинового состояния частицы

ψ =c1 1 +c2 0 = 1 ( c1 =1, c2 =0)0 1 0

Напомним основные сведения из теории спина: Оператор спина есть:

r

 

h v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

=

 

σ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где матрицы Паули есть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

0 1

σ

 

 

0

i

σ

 

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

 

y

=

 

 

 

 

 

z

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть h=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

=

σ

 

Вектор

ψ =

 

 

 

 

является

 

собственным вектором оператора

 

z ,

 

 

 

 

 

 

 

z

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отвечающим собственному значению +1/2.

 

 

 

 

1

 

 

Аналогично, вектор

 

 

0

 

является собственным вектором оператора sz

=

σz ,

ψ

 

 

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отвечающим собственному значению -1/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ

=

 

 

1

1

ψ =

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Состояния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отвечают

соответственно

собственным

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

значениям +1/2 и -1/2 оператора

s

= 1σ

x

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1i

 

 

 

 

1

1+i

 

 

 

 

 

 

 

 

Состояния

ψ

=

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ =

 

 

 

 

 

отвечают

соответственно

собственным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+i

 

 

 

 

1i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значениям +1/2 и -1/2 оператора

s

=

1

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2

y

 

 

 

 

 

 

 

Оператор проектирования спина на направление, задаваемое единичным

вектором nr, есть:

P(sn 1/ 2)= 12 (1±σrnr)

1

 

 

 

 

 

 

1

(1+σ

 

1

0

 

Например,

оператор

3

)=

 

произвольного

2

 

 

выделяет из

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

состояния амплитуду, отвечающую проекции спина +1/2 на ось

z. Аналогично,

 

1 (1σ

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

оператор

3

)=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

выделяет из произвольного состояния амплитуду,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

отвечающую проекции спина -1/2 на ось z.

Заметим, что

P(sn =+1/ 2)+P(sn =−1/ 2)=I - единичный оператор (разложение единицы)

Будем задавать nr посредством сферических углов

nr = (nx , ny , nz )= (sinθ cosϕ, sinθ sin ϕ, cosθ)

Вероятности иметь соответственно положительное и отрицательное значение проекции спина на направление n есть

P (nr)= 1

ψ P(s

=+1/ 2)ψ

= 1 ψ1+σrnrψ

+

2

n

 

2

 

 

 

P (nr)= 1

ψ P(s

=−1/ 2)ψ

= 1 ψ1σrnrψ

2

n

 

2

 

 

 

В общем случае вектор состояния имеет вид:

ψ =c

1

+c

 

0

c

 

 

 

 

 

= 1

 

1

 

0

2

1

c

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Прямой расчет приводит к следующим выражениям для рассматриваемых вероятностей:

P+(nr)=P+(θ,ϕ)=12 [(1+cosθ)c1*c1 +sinθ eiϕc1*c2 +sinθ eiϕc2*c1 +(1cosθ)c2*c2 ]

P(nr)=P(θ,ϕ)= 12 [(1cosθ)c1*c1 sinθ eiϕc1*c2 sinθ eiϕc2*c1 +(1+cosθ)c2*c2 ]

Полученные вероятности удовлетворяют следующему очевидному условию:

P+(θ,ϕ)+P(θ,ϕ)=1

При каждом направлении n = (nx , ny , nz )= (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cosθ ) возникает свое распределениесовокупность взаимнодополнительных

2

распределенийпринцип дополнительности Нильса Бора: «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены однойединственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта».

Операторы проекции спина на различные направления не коммутируют друг с другом:

[sx ,sy ]=isz и т.д.

Некоммутативность наблюдаемых означает, что проекции спина на различные направления не могут быть определены одновременно. Со статистической точки

зрения это означает, что не существует их совместного распределения P(sx ,sy ,sz ) В нашем случае ( c1 =1, c2 =0), поэтому

P

(nr)=P (θ,ϕ)=

1

 

[(1+cosθ)]=cos2 θ

 

 

+

+

2

 

2

 

 

 

P

(nr)=P(θ,ϕ)=

1

[(1cosθ)]=sin2

θ

 

 

 

2

 

 

2

Статистическое восстановление спинового состояния методом максимального правдоподобия

Пусть, как обычно, ψ = c1 . При измерении на ось z имеем

c2

p =

 

c

 

2

m

1p =

 

c

 

2

nm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n ,

 

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. по измерениям на ось z мы можем приближенно оценить только вероятности

 

c

 

2

 

c

 

2

 

 

 

 

 

1

 

и

 

2

 

, но не их относительную фазу

Для полного восстановления состояния нужно проводить взаимнодополнительные измерения- т.е. измерять проекции спина на различные направления в пространстве (при этом однажды измеренный представитель более не измеряется)

Функция правдоподобия дается произведением по всем направлениям, по которым проводились измерения.

L =(P+(nr))N+(nr)(P(nr))N(nr)

nr

Здесь N+(n) и N(nr) - число спинов, зарегистрированных соответственно в положительном и отрицательном направлении вектора n . Для восстановления

3

вектора состояния частицы необходимо провести измерения не менее чем в трех некомпланарных (линейно независимых) направлениях.

Полное число измерений есть:

N =N(nr)=(N+(nr)+N(nr))

nv

nv

Уравнение правдоподобия представляет собой в рассматриваемом случае систему

из двух уравнений с двумя неизвестными комплексными числами c1 и

1

 

r

 

 

 

iϕ

 

 

r

 

 

 

iϕ

 

 

 

N + (rn)

[(1

+cosθ)c1 +sinθe

 

c2

]+

N (rn)

[(1

cosθ)c1 sinθe

 

c2 ]

=

N

 

 

nr

P+ (n)

 

 

2

 

 

 

P(n)

 

 

2

 

 

 

1

 

r

 

iϕ

 

 

 

 

r

 

iϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N + (rn)

[ sinθe

 

c1 + (1 cosθ)c2 ]+

N(rn)

[sinθe

 

c1 +(1 +cosθ)c2 ]

=

N

 

 

nr

P+ (n)

 

 

2

 

 

 

P(n)

 

 

2

 

 

 

c2 .

c1

c2

Рассматриваемая система является нелинейной, поскольку вероятности

P+(n)и P(nr)сами зависят от неизвестных амплитуд c1 и c2 .

Эта система может быть решена методом итераций.

Покажем состоятельность получаемой оценки вектора состояния. Состоятельность оценки означает, что подстановка точного вектора состояния в уравнение правдоподобия обратит последнее в тождество (в асимптотическом пределе).

Действительно, при больших объемах наблюдений в силу закона больших чисел

(стремление выборочного среднего к генеральному) имеем:

 

N+(n)

P (nr)

,

N(n)

P (nr)

 

 

 

 

N(nr)

+

N(nr)

Тогда, при больших объемах выборки:

 

N+(n)N(n)P+(n)

 

 

 

 

N(n)N(n)P(n)

 

 

 

Учитывая,

что

N(nr)=N ,

получим, что в асимптотическом пределе система

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

уравнений правдоподобия обращается в тождество:

 

c1 = c1

c2

= c2

 

Удобное представление для спиновых состояний можно получить на сфере Блоха, которая определяется посредством сферических углов Θ и Φ

4

 

 

Θ

 

 

cos

exp

ψ =

 

2

 

 

 

Θ

 

 

 

 

sin

exp i

 

 

 

2

 

iΦ 2

2

Любой точке сфере Блоха соответствует некоторое спиновое квантовое состояние и наоборотлюбому квантовому состоянию можно сопоставить некоторую точку на сфере Блоха.

Замечание: Измерения спина в двух направлениях недостаточно для полного восстановления спинового состояния: например, при измерениях на оси z и x нельзя отличить состояния с s_y=+1/2 и s_y=-1/2. Причина в том, что определение, скажем, косинуса угла еще не определяет сам угол: например, при cosΦ=0 имеем

два различных состояния с Φ=+π2 и Φ=−π2 .

5