Метод характеристических функций

Исследование случайных величин методом характеристических функций

Полную информацию о статистической системе несет волновая функция (вектор состояния): ψ(x)

Плотность распределения:

Из квантовой механики известно, что наряду с координатным представлением, возможны и другие представления для волновой функции, например, импульсное.

Координатная и импульсная пси – функции связаны между собой посредством преобразования Фурье:

Упражнение: Покажите, что в новом представлении нормировка сохраняется, т.е.:

С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:

P(x)=ψ* (x)ψ(x)= 21π ∫dpdp1ψ~* (p)ψ~(p1 )exp(−ix(p − p1 ))=

Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции

Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование Фурье от плотности или, что тоже самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величиныexp(iux):

Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (плотность, нормированную на единицу).

1

Проведенные выше выкладки, посуществу, позволяют обосновать следующую f (u) была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (6) от комплексной функции ψ~(p),

обратного преобразования Фурье (4), обеспечит искомое разложение характеристической функции в виде свертки (6). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).

Достаточность: Пусть f (u) представлено в виде свертки (6) от некоторой функции ψ~(p), нормированной согласно (5). Определим волновую функцию в координатном пространстве ψ(x) посредством (3), а плотность распределения P(x) посредством (2). Согласно проведенным выше выкладкам, функция f (u) будет характеристической функцией распределения P(x). Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства ψ~(p), можно поставить в соответствие единственную характеристическую

функцию f (u) и единственное распределение P(x). Утверждение доказано. Соотношение (6) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает

существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции ψ~(p).

В тоже время, указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений. Действительно, как это было показано выше, свертка (6) не позволяет

однозначно найти волновую функцию ψ~(p)в импульсном пространстве. Аналогично,

характеристическую функцию наблюдаемой ξ :

fx (u)= ∫Px (x)exp(ixu)dx = ∫Pξ (ξ)exp(iu(σξ + μ))dξ = exp(iuμ)fξ (uσ)

В вычислениях мы учли, что Pξ (ξ)dξ = Px (x)dx

Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:

f (0)=1

2

Покажем, что моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:

f ′(u)= ∫P(x)exp(ixu)ixdx , откуда f ′(0)= iM (x).

Аналогично для производных k - го порядка имеем:

f (k )(0)= ik M (xk ), k = 0,1,2,...

Полученные свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (6), имеем:

M (x)= −if ′(0)= −i∫dpψ~* (p)∂∂u ψ~(p −u)u=0 = i∫dpψ~* (p)∂∂pψ~(p)

Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором xˆ , сводящимся к умножению на число x , т.е. xˆψ(x)= xψ(x), то в

импульсном представлении оператор координаты есть xˆ = i ∂∂p .

Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором pˆ , просто сводящимся к умножению на число p , т.е.

pˆψ~(p)= pψ~(p), то в координатном представлении оператор импульса есть

преобразованием Фурье).

Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:

pxˆ ˆ − xpˆ ˆ = −i

Таким образом, рассматриваемое преобразование является каноническим.

3