Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Метод характеристических функций

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
131.93 Кб
Скачать

Исследование случайных величин методом характеристических функций

Полную информацию о статистической системе несет волновая функция (вектор состояния): ψ(x)

Плотность распределения:

P(x)=

 

ψ(x)

 

2

 

 

(1)

 

 

Условие нормировки:

 

P(x)dx =

 

ψ(x)

 

2 dx =1

(2)

 

 

 

 

Из квантовой механики известно, что наряду с координатным представлением, возможны и другие представления для волновой функции, например, импульсное.

Координатная и импульсная пси – функции связаны между собой посредством преобразования Фурье:

ψ(x)=

1

ψ~(p)exp(ipx)dp

(3)

 

2π

 

 

 

ψ~(p)=

1

ψ(x)exp(ipx)dx

(4)

 

2π

 

 

Упражнение: Покажите, что в новом представлении нормировка сохраняется, т.е.:

 

ψ(p)

 

2 dp =1

(5)

 

 

 

 

С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:

P(x)=ψ* (x)ψ(x)= 21π dpdp1ψ~* (p)ψ~(p1 )exp(ix(p p1 ))=

 

1

dudpψ~* (p)ψ~(p u)exp(ixu)=

1

f (u)exp(ixu)du

 

 

2π

 

2π

 

В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию:

 

f (u)= dpψ~* (p)ψ~(p u)

 

(6)

Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции

P(x)=

1

 

f (u)exp(ixu)du

(7)

2π

 

 

 

Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование Фурье от плотности или, что тоже самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величиныexp(iux):

f (u)= P(x)exp(ixu)dx = M (exp(iux))

(8)

Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (плотность, нормированную на единицу).

1

теорему: для того, чтобы функция

Проведенные выше выкладки, посуществу, позволяют обосновать следующую f (u) была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (6) от комплексной функции ψ~(p),

удовлетворяющей условию нормировки (5).

 

 

 

 

Необходимость: Пусть

f (u) характеристическая функция, тогда,

согласно (7),

она

определяет

некоторую

плотность

P(x). Определим

пси

функцию

как

ψ(x)= P(x)exp(iS(x)), где S(x)-

произвольная действительная функция

частности,

можно положить S(x)= 0 ). Тогда функция ψ~(p),

определяемая формулой

обратного преобразования Фурье (4), обеспечит искомое разложение характеристической функции в виде свертки (6). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).

Достаточность: Пусть f (u) представлено в виде свертки (6) от некоторой функции ψ~(p), нормированной согласно (5). Определим волновую функцию в координатном пространстве ψ(x) посредством (3), а плотность распределения P(x) посредством (2). Согласно проведенным выше выкладкам, функция f (u) будет характеристической функцией распределения P(x). Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства ψ~(p), можно поставить в соответствие единственную характеристическую

функцию f (u) и единственное распределение P(x). Утверждение доказано. Соотношение (6) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает

существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции ψ~(p).

В тоже время, указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений. Действительно, как это было показано выше, свертка (6) не позволяет

однозначно найти волновую функцию ψ~(p)в импульсном пространстве. Аналогично,

соотношение

(2) не позволяет

однозначно

найти

волновую

функцию

ψ(x)в

координатном пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

Свойства характеристической функции.

 

 

 

 

 

Пусть

ξ =

x μ

,

откуда

x =σξ + μ .

Такое

преобразование, в

частности,

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

отвечает переходу от исходной случайной величины x

к стандартизованной случайной

величине ξ , имеющей нулевое среднее и единичную дисперсию ( μ

и

σ -

математическое ожидание и стандартное отклонение величины x ).

 

 

 

Характеристическую

функцию наблюдаемой

x нетрудно

выразить

через

характеристическую функцию наблюдаемой ξ :

fx (u)= Px (x)exp(ixu)dx = Pξ (ξ)exp(iu(σξ + μ))dξ = exp(iuμ)fξ (uσ)

В вычислениях мы учли, что Pξ (ξ)dξ = Px (x)dx

Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:

f (0)=1

2

Покажем, что моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:

f (u)= P(x)exp(ixu)ixdx , откуда f (0)= iM (x).

Аналогично для производных k - го порядка имеем:

f (k )(0)= ik M (xk ), k = 0,1,2,...

Полученные свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (6), имеем:

M (x)= −if (0)= −idpψ~* (p)u ψ~(p u)u=0 = idpψ~* (p)pψ~(p)

Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором xˆ , сводящимся к умножению на число x , т.е. xˆψ(x)= xψ(x), то в

импульсном представлении оператор координаты есть xˆ = i p .

Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором pˆ , просто сводящимся к умножению на число p , т.е.

pˆψ~(p)= pψ~(p), то в координатном представлении оператор импульса есть

pˆ = −i

i соответствуют отличию между прямым и обратным

x (изменение знака перед

преобразованием Фурье).

Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:

pxˆ ˆ xpˆ ˆ = −i

Таким образом, рассматриваемое преобразование является каноническим.

3

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.