Точность статистических оценок

В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:

F (ξ)=ξ2 M (Y 2 )+2ξM (YZ )+ M (Z 2 )

Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:

4 (M (YZ ))2 −4M (Y 2 )M (Z 2 )≤ 0

Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство КошиБуняковского:

(M (YZ ))2 ≤ M (Y 2 )M (Z 2 )

В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть Y − M (Y ) и

Z − M (Z ), то для дисперсий получим неравенство:

DY DZ ≥ M ((Y − M (Y ))(Z − M (Z ))) 2 .

Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции

r2 ≤1

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса

Рассмотрим как и при выводе неравенства КошиБуняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра ξ

В развернутой записи имеем:

F (ξ)=ξ2 M (pˆ 2 )−iξM (pxˆ ˆ − xpˆ ˆ )+ M (xˆ2 )

Учтем каноническое коммутационное соотношение

pxˆ ˆ − xpˆ ˆ = −i

1

В качестве наблюдаемых рассмотрим величины xˆ − M (xˆ )и pˆ − M (pˆ ),

которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению. Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим коммутационное соотношение

Dx Dp ≥ 14

Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:

Dp = M (pˆ 2 )−(M (pˆ ))2

В развернутой записи средний квадрат импульса очевидно есть:

M (pˆ 2 )= −∫ψ* (x)∂∂x22 ψ (x)dx = ∫∂∂xψ* (x)∂∂xψ (x)dx

Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором ξ :

Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).

Здесь μ и σ2 - среднее и дисперсия для распределения координаты

Неравенство РаоКрамера

Рассмотрим систему, для которой псифункция действительна ψ (x)= P (x). Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:

Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде неравенства РаоКрамера

Dx Ix ≥1

Выборочные статистики –это функции от выборки Выборочные среднее и дисперсияэто примеры статистик.

x = x1 +... + xn n

2

s2 = 1 ∑n (x − x )2

n n k =1 k

Будучи функцией от выборки, статистики представляют собой случайные величины.

Пусть θˆ - некоторая статистика. Ее распределение есть P (θˆ). Примеры.

Соотношение неопределенностей (неравенство РаоКрамера) в пространстве θˆ

Dθˆ Iθˆ ≥1

Неравенство РаоКрамера превращается в равенство (эффективная оценка) в том и только том случае, когда распределение статистики нормальное.

Многомерное соотношение неопределенности

Рассмотрим пространство размерности s .

Пусть xˆ j , pˆ j , j =1,..., s - соответствующие операторы координат и импульсов. Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен

Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):

Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену

индексов j и l друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.

Вкачестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).

Врезультате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным.

ΞΣp Ξ − Ξ + Σx ≥ 0

Учтем неотрицательную определенность матрицы ковариаций импульсов, что позволяет определить квадратный корень из нее. Тогда, полученное выражение можно представить в виде:

3

Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль

Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию

4