Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Точность статистических оценок

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
142.69 Кб
Скачать

Точность статистических характеристик

 

 

Неравенство КошиБуняковского

 

 

 

Пусть Y =Y (x)и

Z = Z (x)-

действительные случайные

величины,

представляющие собой

произвольные

функции от координаты x .

Пусть

ξ -

действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от

ξ

F (ξ)= ψ (ξY + Z )2 ψ 0

 

 

 

В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:

F (ξ)=ξ2 M (Y 2 )+2ξM (YZ )+ M (Z 2 )

Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:

4 (M (YZ ))2 4M (Y 2 )M (Z 2 )0

Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство КошиБуняковского:

(M (YZ ))2 M (Y 2 )M (Z 2 )

В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть Y M (Y ) и

Z M (Z ), то для дисперсий получим неравенство:

DY DZ M ((Y M (Y ))(Z M (Z ))) 2 .

Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции

r2 1

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса

В приведенном выше примере рассмотрим вместо ξY + Z выражение ξ

+ x .

x

 

 

 

+

 

 

Заметим, что оператор производной не является эрмитовым

 

 

= −

 

. Чтобы

x

x

 

 

 

 

запись сделать более наглядной введем оператор импульса pˆ = −i

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Рассмотрим как и при выводе неравенства КошиБуняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра ξ

F (

 

)

 

(

i p x)(i p x)

 

 

0

 

ξ

 

= ψ

 

ξ ˆ + ˆ

ξ ˆ + ˆ

ψ

 

В развернутой записи имеем:

F (ξ)=ξ2 M (pˆ 2 )iξM (pxˆ ˆ xpˆ ˆ )+ M (xˆ2 )

Учтем каноническое коммутационное соотношение

pxˆ ˆ xpˆ ˆ = −i

1

В качестве наблюдаемых рассмотрим величины xˆ M (xˆ )и pˆ M (pˆ ),

которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению. Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим коммутационное соотношение

Dx Dp 14

Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:

Dp = M (pˆ 2 )(M (pˆ ))2

В развернутой записи средний квадрат импульса очевидно есть:

M (pˆ 2 )= −ψ* (x)x22 ψ (x)dx = xψ* (x)xψ (x)dx

Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором ξ :

(i p

x)

 

 

0

ξ ˆ

+ ˆ

ψ

=

 

Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).

ψ (x)=

1

 

exp

(x μ)2

 

(2πσ

2

)

4σ

2

 

 

 

 

 

1/ 4

 

 

 

Здесь μ и σ2 - среднее и дисперсия для распределения координаты

Неравенство РаоКрамера

Рассмотрим систему, для которой псифункция действительна ψ (x)= P (x). Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:

ˆ

2

)

=

P

(x)

 

P (x)dx

=

1

(P(x))2

dx

 

 

 

 

 

 

M (p

 

 

x

x

 

4

P (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь штрих означает производную по x .

 

 

Введем информацию Фишера

 

 

 

 

 

 

Ix = 4Dp = 4M (pˆ

2 )=

(P(x))2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (x)

 

 

 

 

 

 

Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде неравенства РаоКрамера

Dx Ix 1

Выборочные статистики –это функции от выборки Выборочные среднее и дисперсияэто примеры статистик.

x = x1 +... + xn n

2

s2 = 1 n (x x )2

n n k =1 k

Будучи функцией от выборки, статистики представляют собой случайные величины.

Пусть θˆ - некоторая статистика. Ее распределение есть P (θˆ). Примеры.

Соотношение неопределенностей (неравенство РаоКрамера) в пространстве θˆ

Dθˆ Iθˆ 1

Неравенство РаоКрамера превращается в равенство (эффективная оценка) в том и только том случае, когда распределение статистики нормальное.

Многомерное соотношение неопределенности

Рассмотрим пространство размерности s .

Пусть xˆ j , pˆ j , j =1,..., s - соответствующие операторы координат и импульсов. Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен

одномерному, но теперь вместо действительного числа

ξ следует ввести

действительную симметричную матрицу Ξ

с элементами

ξjσ , j,σ =1,..., s .

Введем также действительный вектор η (ηj

j =1,..., s ).

 

Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):

ξ

= ψ η

ξ

 

 

ˆ

+ ˆ

)(i

ξ

 

ˆ

+ ˆ

η

ψ

0

 

 

 

 

F( )

 

j ( i

 

 

jσ pσ

x j

 

lρ pρ

xl ) l

 

 

 

 

 

В развернутом виде получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

ξ

= ψ η η ξ

jσ

ξ

 

ˆ ˆ

 

ξ

ˆ ˆ

ξ

ˆ ˆ

 

+ ˆ ˆ

ψ

0

F( )

 

j l (

 

 

lρ pσ pρ

 

i(

jρ pρ xl

 

lρ x j pρ )

x j xl

 

Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену

индексов j и l друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.

Вкачестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).

Врезультате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным.

ΞΣp Ξ − Ξ + Σx 0

Здесь мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих

матриц определяются выражениями

(Σx

)jl = ψ xˆ j xˆl ψ

Σ

)jl

= ψ

ˆ ˆ

ψ

( p

 

p j pl

 

Учтем неотрицательную определенность матрицы ковариаций импульсов, что позволяет определить квадратный корень из нее. Тогда, полученное выражение можно представить в виде:

3

 

ΞΣ1/ 2

1

Σ1/ 2

 

Σ1/ 2

Ξ−

1

Σ1/ 2

 

1

Σ1

 

0

 

p

 

2

p

 

p

 

2

p

 

 

4

p

 

x

 

Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль

при Ξ = 1

Σp1 ). Отсюда следует, что и выражение

1

Σp1

x неотрицательно

 

 

 

2

 

 

4

 

 

определено, т.е.

 

 

 

 

Σ

x

1

 

 

 

 

 

4Σp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию

при Ξ =

1

Σp1 :

 

 

 

 

 

(i

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ξ

ˆ

+ ˆ

 

ψ =

0

 

 

 

 

 

lρ pρ

 

xl )l

 

 

 

 

 

Отсюда

 

получаем,

что соответствующее состояние

является

гауссовским с

матрицей ковариаций в координатном представлении Σx

=

1

 

:

4Σp

 

4

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Мы не исправляем ошибки в тексте (почему?), но будем благодарны, если вы все же напишите об ошибках.