
Статистические методы в квантовой физике и электронике- Программа курса
.docУтверждаю
Заведующий кафедрой квантовой
физики и наноэлектроники МИЭТ,
профессор
__________________А.А. Горбацевич
“___”__________ 2005
Статистические методы в задачах квантовой информатики и электроники
Программа курса
Лекция 1. Базовые распределения математической статистики и их основные свойства. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Нормальное, показательное, равномерное и др. распределения. Многомерное нормальное распределение, матрица ковариаций. Примеры реализации основных распределений математической статистики в квантовой физике, микро- и наноэлектронике.
Лекция 2. Оценивание параметров распределений. Метод максимального правдоподобия. Матрица информации Фишера. Примеры применения метода максимального правдоподобия для оценивания параметров нормального, показательного, биномиального, пуассоновского и др. распределений.
Лекция 3. Неравенство Рао- Крамера. Состоятельность, асимптотическая нормальность и асимптотическая эффективность оценок максимального правдоподобия. Связь неравенства Рао- Крамера с соотношением неопределенности Гейзенберга.
Лекция 4. Основные методы оценки плотности распределения: ядерная оценка плотности (kernel density estimator), проекционная оценка плотности (orthogonal series estimator), корневая оценка плотности (root density estimator). Примеры приложений методов к задачам физики и электроники.
Лекция 5. Вектор состояния как объект статистического анализа данных. Уравнение правдоподобия в методе корневой оценки плотности. Состоятельность корневых оценок.
Лекция 6. Алгоритм численного решения уравнения правдоподобия. Применение принципа сжатых отображений и теоремы о неподвижной точке, построение сжимающего отображения. Условие устойчивости итерационной процедуры, критическое значение итерационного параметра.
Лекция 7. Оптимальное значение итерационного параметра, максиминный критерий. Численное моделирование в базисе Чебышева- Эрмита. Оптимизация числа гармоник в разложении. Восстановление статистических распределений технологических параметров в микро- и наноэлектронике.
Лекция 8. Статистические свойства оценки вектора состояния. Универсальный вид матрицы информации Фишера и матрицы ковариаций оценок. Критерий хи- квадрат. Проверка гипотезы о соответствии выборочного вектора состояния генеральному. Оценка статистической значимости отличий между двумя выборками. Анализ результатов сравнительных экспериментов в физике и электронике.
Лекция 9. Специфика квантовой статистики по сравнению с классической. Принцип дополнительности Н. Бора. Статистический анализ взаимно дополнительных экспериментов. Невозможность описания статистического поведения квантовой системы классическим распределением вероятности, нарушение аксиомы о составных случайных величинах. Состояния Белла, запутанность квантовых систем, неравенства Белла, эксперименты, доказывающие существование нарушений неравенств Белла. Запутанность как основной ресурс для вычислений на квантовом компьютере.
Лекция 10. Парадокс Эйнштейна- Подольского- Розена. Исследование запутанности квантовых состояний с помощью разложения Шмидта. Приложение к задачам квантовой информатики. Число Шмидта, энтропия запутанности. Разложение Шмидта для гауссовых состояний, связь коэффициента корреляции Пирсона с числом Шмидта. Информация Шмидта и информация Шеннона.
Лекция 11. Физическая реализация запутанных состояний посредством связанных гармонических осцилляторов. Трех- и многочастичные запутанные гауссовы квантовые состояния. Квантовый осциллятор в термостате. Термодинамическое равновесие как результат запутывания между системой и окружением. Связь числа Шмидта с температурой. Методы описания декогерентизации при взаимодействии кубитов с окружением.
Лекция 12. Задача статистического восстановления (томографии) квантовых состояний и ее приложения к задачам квантовой информатики. Уравнения правдоподобия для статистического анализа данных по результатам взаимно- дополнительных наблюдений. Примеры взаимно- дополнительных экспериментов: координатное и импульсное распределения состояний регистра квантового компьютера, дифракционные картины для микрочастиц в прожекторной зоне и зоне Фраунгофера, измерения поляризации и спина на различные направления в пространстве и др.
Лекция 13. Чистые и смешанные квантовые состояния. Матрица плотности и ее свойства. Статистическое восстановление матрицы плотности. Оценивание степени чистоты квантового состояния. Приложение к задачам квантовой информатики.
Лекция 14. Амплитуды квантовых процессов и интенсивности генерации событий. Метод максимального правдоподобия для взаимно- дополнительных пуассоновских процессов. Актуальность методов квантовой томографии в задачах контроля качества, стабильности и надежности систем обработки квантовой информации.
Лекция 15. Статистическое восстановление трех- и четырехуровневых оптических квантовых состояний. Теоретическое описание и результаты экспериментов. Приложение к задачам квантовой криптографии.
Лекция 16. Статистическое восстановление спиновых квантовых состояний. Базисные функции, основанные на полиномах Кравчука. Многопараметрические обобщения биномиального распределения. Приложение к анализу опытов Штерна- Герлаха.
Лекция 17. Статистические флуктуации оценки вектора состояния. Матрица полной информации. Параметр информационного согласия (informational fidelity), его распределение. Влияние статистических флуктуаций и инструментальных погрешностей на точность восстановления квантовых состояний в задачах квантовой томографии. Юстировка квантовых информационных систем, обнаружение посторонненго вмешательства в систему.
Список литературы
-
Крамер Г. Математические методы статистики. М. Мир. 1975. 648 с.
-
Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М. Физматлит. 2003. 216 с.
-
Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск. РХД. 2001. 352с.
-
Валиев К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // Успехи Физических Наук. 2005. Т.175. №1. С.3-39
-
Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. М. Мир. 1979. 344с.
-
Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с.
-
Богданов Ю.И. Основная задача статистического анализа данных: корневой подход. М. МИЭТ. 2002. 96с.
-
Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с.
-
Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Издание 2-е, дополненное. Москва- Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003. 410 с.
-
Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. М. Физматлит. 2001. 232с.
Подготовил: профессор кафедры квантовой
физики и наноэлектроники, д.ф.-м.н. ____________Ю.И. Богданов