Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций)

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
1.1 Mб
Скачать

1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения

Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.3.2), имеем:

M (x)= −if

 

 

 

~*

~

(p u)u=0 =

 

 

 

 

 

ψ

 

 

 

 

 

(0) = −idpψ (p)

u

 

 

 

 

 

 

 

(1)

~*

(p)

~

(p)

 

 

 

= idpψ

 

ψ

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если в координатном представлении

координата

 

описывается

оператором

xˆ , сводящимся к

умножению

 

пси-

функции

на

число x , (т.е.

xˆψ (x) = xψ (x)),

то

в импульсном представлении

xˆ = i

оператор координаты есть p .

Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается

оператором

pˆ , просто

сводящимся

к

умножению

пси-

функции на

число p ,

т.е.

~

 

~

 

pˆψ (p) = pψ (p), то в

координатном представлении

оператор

импульса

есть

pˆ = −i

 

 

 

 

 

 

 

x

(изменение

знака

перед

мнимой единицей

 

i соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).

21

(4)
(5)
фундаментальные
называются

Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:

pxˆ ˆ xpˆˆ = −i

 

 

(2)

 

 

 

В случае нескольких степеней свободы

представленное каноническое соотношение примет вид:

pˆ j xˆk xˆk pˆ j = −iδ jk

,

j, k = 1,2,..., s

(3)

 

 

Здесь s - число степеней свободы

Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.

Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой

xˆ j xˆk xˆk xˆ j = 0 pˆ j pˆk pˆk pˆ j = 0

Преобразование, сохраняющее коммутационные соотношения, каноническими.

Преобразование Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность

22

взаимнодополнительных распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).

1.П. Приложение. Дельтафункция и ее свойства.

Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельтафункции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].

Дельтафункция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в теории преобразования Фурье и статистическом анализе взаимнодополнительных распределений.

Проведем исследования выражения (4) из раздела

1.1:

1

 

 

 

δ (x x ) =

 

exp(ip(x x ))dp

 

2π

(1)

1

1

 

 

В точке x1 = x рассматриваемый интеграл заведомо расходится. Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной p в пределах от

K до

K .

Регуляризованная версия

исходного

соотношения (1) есть:

 

~

1

K

 

δ (x x1 ) =

 

exp(ip(x x1 ))dp

(2)

2π

 

K

 

Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:

23

~

 

1 sin(K (x x1 ))

 

 

 

δ (x x1 ) =

 

 

 

(x x1 )

 

 

(3)

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что интеграл от полученной функции

по

переменной x1 всегда равен единице:

 

 

 

+∞ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ (x x1 )dx1 = 1

 

 

 

(4)

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проанализируем

 

характер

 

поведения

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

рассматриваемой

функции

δ (x x1 ).

Её максимум

 

 

 

 

x1 = x и

~

(0) = K / π .

 

находится в

 

точке

равен δ

При

больших

значениях

обрезающего

множителя K

рассматриваемая функция локализована в интервале

порядка π / K .

При увеличении K функция становится

все более и более локализованной вблизи ноля.

~

(x x1 ),

 

 

 

 

 

Последовательность

функций

δ

отвечающая

бесконечно растущей

последовательности

значений

K ,

называется

дельта-

образной.

Дельта-

функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельтаобразной последовательности.

Таким образом:

 

δ (x) =

1

lim sin(Kx)

(5)

π

 

K →∞

x

 

Приведем также некоторые другие представления для дельтафункции:

24

δ (x) =

1

lim sin2 (Kx)

 

 

 

 

 

(6)

 

π

 

 

 

 

 

 

 

K →∞

Kx2

 

 

 

 

 

δ (x) = lim

 

1

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

2

 

(7)

2πσ

exp

2σ

 

 

σ 0

 

 

 

 

 

Задача 1.П.1 Обоснуйте представления (6) и (7) для дельтафункции.

Дельтафункция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)

(8)

δ (x) = Θ (x),

где

( ) 1, x 0

Θ x =

0, x < 0

Основное свойство дельтафункции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:

δ (x)f (x)dx = f (0)

(9)

Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельтафункции

δ (x x0 )f (x)dx = f (x0 )

(10)

δ (ax)f (x)dx =

1

 

f (0)

(11)

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

25

δ (g(x))f (x)dx =

 

1

 

 

f (xi ),

(12)

 

 

g(xi )

 

 

 

 

i

 

 

 

f (x)

 

где xi - простые корни функции

 

 

Задача 1.П.2. Обоснуйте приведенные формулы (10)- (12).

26

Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства

Внастоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства КошиБуняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства РаоКрамера получаются, посуществу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством КошиБуняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей ШредингераРобертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей. Информация Фишера и неравенство РаоКрамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантовоинформационной точки зрения.

2.1.Неравенство КошиБуняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация

Рассматриваемое неравенство имеет место для произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.

Вкомплексном конечномерном пространстве C s

размерности s скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой в обозначениях Дирака:

27

s

ϕ ψ = ϕ jψ j

j =1

(1)

 

В бесконечномерном гильбертовом пространстве l2 аналогичное определение имеет вид:

ϕ ψ = ϕ jψ j

j =1

(2)

Наконец, если ψ (x) и ϕ (x) - комплексные

функции из пространства L2 , то их скалярное произведение есть:

ϕ ψ = ϕ (x)ψ (x)dx

(3)

Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство КошиБуняковского:

ϕ ψ 2 ϕ ϕ ψ ψ

(4)

Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства L2 .

Предположим вначале, что ϕ ψ - действительное

число.

Пусть ξ - действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от ξ (эта

28

функция представляет собой интеграл от заведомо

неотрицательного выражения).

 

)

 

 

F (ξ )

 

(

 

)(

 

 

 

=

ψ (x) + ξϕ (x)

ψ (x) + ξϕ

(x) dx 0

(5)

 

В обозначениях Дирака имеем:

 

 

 

F(ξ )

 

 

 

 

=

(ψ + ξ ϕ )(ψ + ξ ϕ )

 

 

 

 

 

В развернутой записи рассматриваемая функция

представляет собой квадратный трехчлен:

 

 

F (ξ ) = ξ 2 ϕ ϕ + 2ξ ϕ ψ + ψ ψ

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь мы учли предположение о действительности

рассматриваемого

скалярного

произведения,

т.е.

ϕ ψ

= ψ ϕ

 

 

 

 

 

 

 

Условие

неотрицательности

означает,

что

дискриминант меньше или равен нулю:

 

 

 

4( ϕ ψ )2 4 ϕ ϕ ψ ψ 0

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом в рассматриваемом случае

выполняется неравенство КошиБуняковского:

 

 

( ϕ ψ )2 ϕ ϕ

ψ ψ

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим теперь, что

ϕ ψ -

комплексное

число.

 

Пусть

ϕ ψ

= r exp(iα ) ,

где

r и

α -

действительные числа.

Введем функцию, отличающуюся от ϕ (x) только

фазой

29

ϕ% (x) = ϕ (x)exp(iα )

 

Тогда

%

 

= r

является действительным числом

 

ϕ ψ

 

и для него выполняется доказанное выше неравенство:

%

)

2

% %

ψ ψ

 

( ϕ ψ

 

ϕ ϕ

 

 

Учтем, что введенное фазовое преобразование не

меняет

 

модуля

скалярного

произведения, поэтому:

ϕ ψ

2

=

(

ϕ% ψ

)

2

% %

ϕ ϕ

 

 

 

 

 

,

ϕ ϕ =

 

Таким образом, неравенство КошиБуняковского

выполняется и в общем случае:

 

ϕ ψ 2

ϕ ϕ

ψ ψ

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем величину F , называемую согласованностью

(fidelity) квантовых состояний ϕ(x) и ψ (x).

 

ϕ ψ 2

 

 

 

 

F = ϕ ϕ ψ ψ

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для состояний, нормированных на единицу, имеем

просто:

 

 

 

2

 

 

 

 

F =

ϕ ψ

 

 

 

 

(11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из неравенства КошиБуняковского следует, что

0 F 1

 

 

 

 

 

 

(12)

 

Если исходить из этого неравенства, то заманчиво

предположить, что

F задает некоторую вероятность. Так

30