Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций)

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
1.1 Mб
Скачать

классической теории вероятностей: разложение единичного оператора в сумму неотрицательно определенных операторов по аналогии с разложением единицы на сумму неотрицательных вероятностей, использование матрицы плотности как аналога классического распределения вероятностей и пр.

Современное изложение математических аспектов квантовой механики содержится в книгах А.С. Холево [36, 67, 68]. История аксиоматики классической теории вероятностей излагается в [69].

81

Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и их свойства

4.1 Квантовые биты

Квантовый бит или кубит (qubit) представляет собой двухуровневую квантовую систему [1-5]. Кубит описывается единичным вектором в двумерном комплексном векторном пространстве. Базис такого пространства задается всего двумя единичными ортогональными векторами, обозначаемыми соответственно

0и 1 . Кубит может быть реализован в различных

физических системах.

 

 

 

 

 

 

Приведем

только

 

некоторые

примеры.

Ортонормированный базис

0

и

1 может соответствовать

поляризациям

фотонов

 

(вертикальной

и

горизонтальной

), а

также

любым другим

взаимно

ортогональным поляризациям,

например

3π

и

π

4

4

 

 

 

 

 

 

(здесь в скобках указан угол между поляризацией фотона и горизонталью).

Базисные состояния кубита могут отвечать состояниям электрона со спином, направленным вверх (spin-

up) и вниз (spin-down), в качестве 0 и 1 могут

выступать основное и возбужденное состояния так называемого двухуровневого атома (модель двухуровневого

82

атома предполагает, что за счет специального резонансного выбора частоты лазера накачки, в атоме эффективно оказываются задействованными только два определенные энергетические состояния).

Квантовые состояния 0 и 1 , конечно, могут

использоваться для записи значений 0 и 1 классического бита информации. Однако, возможности квантового описания информации гораздо шире. В отличие от классического бита, квантовый бит (кубит) может быть

представлен суперпозицией базисных векторов 0 и 1 в

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ

= a 0 + b 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

где a и b – комплексные числа, такие что

 

 

a

 

2 +

 

b

 

2

= 1.

 

 

 

 

Если над кубитом производится измерение в базисе

{ 0 , 1

}, то с вероятностью

 

a

 

2

кубит окажется в

 

 

состоянии

0 , а с вероятностью

 

b

 

2

 

в состоянии

1 .

 

 

 

Рассмотрим подробнее математическую модель кубита. Исторически приведенное ниже описание впервые применялось для рассмотрения поляризационных состояний частиц со спином ½ (электронов, протонов, нейтронов, определенных атомов и др.). Представленный формализм, однако, оказывается пригодным и для описания кубитов произвольной физической природы.

Пусть вектор состояния спинакубита есть:

83

ψ = c

1

+c

0

c

 

 

 

 

 

 

= 1

 

(2)

1

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

1

c2

 

 

Для описания математической модели кубита нам потребуются основные сведения из теории спина. Как известно [55,56], оператор спина есть:

r

 

h v

 

 

s

=

 

σ

,

(3)

2

 

 

 

 

 

где введены матрицы Паули, которые в стандартном представлении задаются следующими формулами:

σ

 

=σ

 

0

1

σ

 

=σ

 

0

i

σ

 

=σ

 

1

0

 

1

x

=

 

 

2

y

=

 

 

3

z

=

 

(4)

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

0

1

 

Матрицы Паули удовлетворяют следующему соотношению:

σ jσk =δ jk I +iε jklσl j,k =1,2,3

(5)

Здесь по повторяющемуся индексу l предполагается суммирование, δjk - символ Кронекера, ε jkl - полностью

антисимметричный тензор (символ ЛевиЧивита). I - единичная матрица (для сокращения записи ее часто опускают).

В квантовой информатике удобно использовать систему единиц, в которой h =1.

84

 

1

Нетрудно видеть, что вектор

ψ =

 

 

является собственным

 

 

0

вектором

оператора

s

=

1σ

z ,

отвечающим

z

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

собственному значению +½.

Аналогично, вектор

ψ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

является собственным вектором оператора sz = 12σz ,

отвечающим собственному значению -½

.

Задача 4.1.1 Покажите, что:

 

ψ

=

1

1

ψ =

1

 

1

1. Состояния

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

отвечают

 

 

 

1

 

 

1

соответственно собственным значениям + ½ и - ½

оператора

s

= 1σ

x

 

 

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1i

 

 

 

1+i

 

 

 

 

1

 

1

2. Состояния

ψ =

 

 

 

 

 

ψ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

отвечают

 

 

 

 

1+i

 

1i

соответственно собственным значениям + ½ и - ½

оператора

s

=

1

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

y

 

 

 

 

 

 

85

Введем операторы проектирования

направление, задаваемое единичным вектором

 

1

r r

P± = P(sn = ±1/2)=

 

 

(1±σ n)

2

 

 

спина на

n :

(6)

Здесь и в других аналогичных случаях обозначение 1 символизирует единичную матрицу размером 2×2.

Знаки ± отвечают соответственно операторам

проектирования на направление вдоль и против оси n . Примером оператора проектирования может служить

 

1

 

 

1

0

оператор

(1+σ

3

)=

 

 

 

 

 

2

 

 

0

, который выделяет из

 

 

 

 

0

произвольного

состояния

амплитуду, отвечающую

проекции спина

+½ на ось

z . Аналогично, оператор

 

1

 

 

 

 

0

0

 

 

 

(1σ

3

)=

 

 

выделяет из произвольного состояния

 

 

 

2

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

амплитуду, отвечающую проекции спина -½ на ось z .

 

 

 

Говорят, что операторы проектирования задают

разложение единицы, поскольку:

 

 

 

 

P(sn = +1/2)+ P(sn = −1/2)= I

- единичный

оператор.

 

 

r r

(7)

 

 

 

Задача

4.1.2.

 

 

 

 

Покажите, что (σ n)2 =1 (единичная

матрица)

86

Задача 4.1.3. Покажите, что введенные операторы проектирования являются ортогональными проекторами, т.е. удовлетворяют условиям:

P±2 = P± , P+P= PP+ = 0

(8)

Вероятности иметь соответственно положительное и

отрицательное значение проекции спина на направление n есть

P

(n)= 1 ψ P(s = +1/ 2)ψ = 1 ψ 1+σ nψ

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

+

 

2

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)= 1 ψ P(s = −1/ 2)ψ = 1 ψ 1σ nψ

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

(10)

 

 

2

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем задавать n посредством сферических углов

 

n = (nx , ny , nz )= (sinθ cosϕ, sinθ sinϕ, cosθ )

(11)

 

Задача 4.1.4 Путем прямого расчета в стандартном

 

представлении получите следующие выражения для

 

вероятностей (9) и (10):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

]

 

r

= P+ (θ,ϕ)=

1

*

 

iϕ *

 

 

iϕ *

 

*

P+ (n)

2

[(1+cosθ)c1c1

+sinθ e

c1c2

+sinθ e c2c1

+(1cosθ)c2c2

 

r

 

1

*

 

iϕ

*

 

 

iϕ

*

 

*

]

P(n)

= P(θ,ϕ) =

 

[(1cosθ)c1 c1

sinθ e

 

c1 c2

sinθ e

 

c2c1

+(1+cosθ)c2c2

2

 

 

 

 

Представленные

вероятности

удовлетворяют

 

следующему очевидному условию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P+ (θ,ϕ)+ P(θ,ϕ)

=1

 

 

 

 

 

 

 

(12)

 

87

Для

каждого

направления

n = (nx , ny , nz )= (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cosθ )

возникает

свое

распределение вероятностей. Все вместе эти направления образуют совокупность взаимнодополнительных распределений в соответствии с принципом дополнительности Нильса Бора (раздел 1.2).

Операторы проекции спина на различные направления не коммутируют друг с другом:

[sx ,sy ]=isz

 

 

(13)

Другие соотношения, аналогичные (13), получаются

циклической перестановкой индексов

x ,

y

и z .

Некоммутативность наблюдаемых означает, что проекции спина на различные направления не могут быть определены одновременно. Со статистической точки зрения это означает, что не существует их совместного

распределения P(sx ,sy ,sz ).

Рассмотрим важный частный случай представленных

выше

общих

формул.

Пусть

c1 =1, c2 = 0

(состояние

кубита

0 , спин поляризован вверх вдоль оси

z ). При

измерении в

базисе 0

и 1

всегда будем получать

состояние 0 (спин вверх). При измерении, задаваемом

проекторами P± , вероятности получения проекции спина вверх и вниз соответственно на направление, составляющее угол θ с вертикалью, будут даваться формулами:

88

r

1

 

2

θ

 

P+ (n)= P+ (θ,ϕ)=

 

 

 

[(1+cosθ)]=cos

 

 

 

(14)

2

2

 

 

 

 

 

 

r

1

 

2

θ

 

 

 

P(n)= P(θ,ϕ)=

 

 

[(1cosθ)]= sin

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15)

Удобное представление для спиновых состояний можно получить на сфере Блоха, которая определяется

посредством сферических углов Θ и Φ

 

 

Θ

 

 

Φ

 

 

cos

exp i

2

 

ψ =

 

2

 

 

 

 

 

Θ

 

Φ

 

 

 

 

sin

exp i

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

(16)

Указанное представление позволяет сопоставить любому состоянию кубита эквивалентное ему в математическом отношении квантовое состояние частицы со спином ½ (так называемый формализм фиктивного спина).

Любой точке на сфере Блоха соответствует некоторое квантовое состояние кубита и наоборотлюбому (чистому) квантовому состоянию кубита можно сопоставить некоторую точку на сфере Блоха.

Заметим, что наряду с представленной выше используют и другие записи, отличающиеся от данной постоянным фазовым множителем.

89

Задача 4.1.5. Покажите, что вектор состояния кубита в представлении на сфере Блоха есть собственный вектор

 

 

1

r r

 

 

проектора

P+ =

 

 

(1+σ n)

с собственным

значением,

2

 

 

 

направление n

 

равным единице.

Здесь

задается

сферическими углами Θ и Φ.

Заметим, что в случае спиновых состояний преобразования, задаваемые проекционными операторами

P± , могут быть физически реализованы с помощью установки типа ШтернаГерлаха. Эта установка задает в

пространстве направление n , вдоль которого прилагается сильно неоднородное магнитное поле, благодаря которому производится разделение исходного пучка частиц на два (соответствующих проекции спина +½ и –½ ).

Заметим, что с помощью соответствующих измерительных устройств, указанные операции проектирования могут быть реализованы и для кубитов любой другой физической природы (в этом случае геометрическое представление фиктивного спина на сфере Блоха играет только вспомогательную роль).

Формализм операторов проектирования полезен не только в случае двумерного гильбертова пространства кубита, но и в пространствах более высоких размерностей.

90

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.