Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций)

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
1.1 Mб
Скачать

Пусть вектор состояния ψ , заданный в

гильбертовом пространстве размерности

s , разлагается по

ортонормированному базису ϕ j

j = 1,..., s :

 

 

s

 

 

 

 

 

ψ

= c j

ϕ j

 

 

(17)

 

j=1

 

 

 

 

Каждому

базисному

вектору

ϕ j

можно

сопоставить свой оператор проектирования:

 

Pj

= ϕ j

ϕ j

, j = 1,..., s

 

(18)

(по индексу

j

нет суммирования!)

 

 

Задача 4.1.6. Покажите, что введенные операторы проектирования задают ортогональное разложение единицы, т.е. выполняются условия:

Pj = ϕ j ϕ j = I

(19)

jj

( I - тождественный оператор, единичная матрица).

P2

= P j = 1,..., s

P P = 0 j k

(20)

j

j

j k

 

91

4.2. Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота.

Любое состояние кубита может быть получено из

 

 

 

1

 

 

состояния

0 =

 

 

 

некоторого

 

0

посредством

 

 

 

 

 

унитарного

преобразования.

Состоянию 0

на сфере

Блоха соответствует «северный» полюс. Нетрудно видеть, что для того, чтобы из «северного» полюса попасть в точку

(θ , ϕ ) на сфере Блоха нужно совершить поворот на

угол

θ

относительно

оси

n

=

 

sin

ϕ

, cos

 

 

 

(

 

лежащей в плоскости (x ,

y ).

 

 

 

 

 

 

Введем следующий унитарный оператор:

 

R nr (θ ) =

exp

 

i θ

σrnr

=

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

 

 

 

θ

 

 

r r

 

 

 

=

cos

 

I

i sin

 

 

 

σ n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

ϕ , 0 ),

(1)

Задача4.2.1. Докажите справедливость представленного тождества путем разложения матричной экспоненты в ряд.

Оказывается, что оператор R nr (θ ) осуществляет поворот исходного блоховского состояния относительно оси n на угол θ , что иллюстрируется следующей задачей.

92

 

Задача 4.2.2. Пусть исходное состояние есть

0 .

Подействуйте

на него

оператором

R nr (θ ),

где

nr

= (sin

ϕ , cos

ϕ , 0 ).

Покажите,

что

в

результате получится следующее состояние кубита,

отвечающее точке (θ , ϕ

)

на сфере Блоха:

 

 

 

θ

 

 

 

 

cos

 

 

 

ψ (θ,ϕ) =

θ

2

 

 

(2)

 

 

 

 

 

sin

exp(iϕ)

 

 

2

 

 

 

 

Заметим, что представленная запись для состояния кубита на сфере Блоха отличается от формулы (16) раздела 4.1 только несущественным фазовым множителем.

4.3. Система кубитов

Анализ системы кубитов, состоящей более чем из одного кубита, позволяет выяснить природу преимущества квантовых вычислений по сравнению с классическими.

В классической физике, возможные состояния системы n частиц, индивидуальные состояния каждой из которых описываются вектором в двумерном векторном пространстве, образуют векторное пространство,

содержащее 2n измерений. В то же время, для квантовых систем соответствующее результирующее пространство

имеет гораздо большую размерность, а именно 2n . Это обуславливает экспоненциальный рост размерности

93

пространства состояний с увеличением числа частиц, что, в свою очередь, лежит в основе возможного радикального увеличения скорости вычислений квантового компьютера по сравнению с классическим. С математической точки зрения отличие квантовых систем от классических заключается в том, что в классической физике пространство состояний образуется посредством операции декартового произведения, в то время как в квантовой – посредством тензорного произведения.

Проиллюстрируем особенности квантовых систем на примере регистра из 3 кубитов. Базис такой системы

состоит из 23 = 8 векторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

000 , 001 , 010 ,

 

011 , 100 , 101 , 110 , 111 , } (1)

 

Например,

 

запись

000

 

означает

 

тензорное

произведение

 

 

0 0 0 .

В

 

 

стандартном

представлении

 

 

0

 

1

 

 

0

 

 

 

поэтому:

 

 

=

,

 

1 =

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

1

 

 

 

=

 

0

,…,

000

=

0

,

001 =

 

 

 

 

1

 

 

0

 

=

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

94

ψ (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

(2)

111 =

1

 

 

1

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число, стоящее в скобках Дирака, задает номер базисного квантового состояния в двоичном представлении.

Например: 011 и 3 есть различная записи одного и

того же базисного состояния.

Задача 4.3.1. Основываясь на определении тензорного (кронекеровского) произведения матриц,

докажите следующее тождество:

(A B)(ψ (1) ψ (2) )= (Aψ (1) ) (B ψ (2) ) (3)

Здесь, для определенности, будем считать, что оператор A и состояние ψ (1) заданы в гильбертовом пространстве первой частицы, а оператор B и состояние

- в гильбертовом пространстве второй частицы.

Указанное тождество показывает, что в составной системе

действие оператора

(A B)

на двухчастичное состояние

(ψ (1) ψ (2) )

сводится к

тензорному произведению

95

двух векторов (Aψ (1) ) (B ψ (2) ), первый из которых

описывает действие оператора A на первую частицу, а

второй - действие оператора B на вторую частицу. Неожиданным с точки зрения обычной интуиции

является то, что состояние системы не всегда описывается в терминах состояния отдельных ее частей. Например, такое

состояние из двух кубитов как 00 + 11 не может быть разложено отдельно на состояния каждого из двух кубитов. Другими словами, мы не можем найти такие a1,b1,a2 ,b2 ,

которые обеспечивали бы выполнение следующего равенства:

(a1 0 + b1 1 ) (a2 0 + b2 1 )= 00 + 11

(4)

Действительно:

(a1 0 + b1 1 ) (a2 0 + b2 1 )=

(5)

= a1a2 00 + a1b2 01 + b1a2 10 + b1b2 11

Отсюда следует, что a1b2 = 0 , поэтому либо a1a2 = 0 ,

либо b1b2 = 0 , что невозможно.

Состояния системы, которые не могут быть представлены в виде произведения состояний ее частей, как уже указывалось ранее, называются запутанными

(entangled) состояниями.

В соответствии с постулатами квантовой информатики полное описание каждого кубита в отдельности задается соответствующими однокубитовыми векторами состояний. Исходное состояние системы

96

независимо приготовленных кубитов задается тензорным произведением однокубитовых состояний. При включении взаимодействия между кубитами возникают квантовые корреляции. В результате, совместное состояние регистра кубитов перестает быть сепарабельным, т.е. становится запутанным.

Запутанные состояния соответствуют ситуациям, которые не имеют классических аналогов и за которыми не стоит интуиция, подкрепленная наглядными механическими образами. Заметим, что такие состояния как раз и обеспечивают экспоненциальный рост размерности квантового пространства состояний с числом частиц.

4.4. Измерение кубитов

Измерение в квантовой системе, состоящей из одного или более кубитов, есть результат проектирования состояния системы до измерения в гильбертово подпространство, совместимое с измеренными значениями. При измерении, как уже отмечалось выше в главе 3, происходит редукция состояния. Амплитуда вероятности проекции, полученной в результате редукции, пересчитывается таким образом, чтобы снова быть нормированной на единицу.

В силу Постулата 3 (раздел 3.1), вероятность того, что результат измерения примет заданное значение, есть сумма квадратов модулей амплитуд вероятности всех компонент, совместимых с результатом измерения.

Рассмотрим для примера измерения в системе из двух кубитов. Вектор состояния такой системы в общем случае есть:

97

 

 

ψ = c00 00 + c01 01 + c10 10 + c11 11

 

 

 

 

(1)

Здесь c00 ,c01,c10 ,c11 - произвольные комплексные

числа, удовлетворяющие условию нормировки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

2 +

 

c

 

2 +

 

c

 

2

+

 

c

 

2 =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

01

 

 

 

10

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть измеряется первый кубит. Вероятность

обнаружить его в

состоянии 0

 

есть

 

c

 

 

2 +

 

 

 

c

 

 

2

, а в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

состоянии

1

 

соответственно

 

 

c

 

 

2

+

 

c

 

 

2

.

 

 

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

измерение

 

первого кубита

дало

 

0 ,

то

редуцированное

состояние

 

окажется

 

 

пропорциональным

 

 

 

 

вектору

c00 00 + c01 01 .

 

 

После

нормировки

 

 

 

 

получим

окончательно для состояния после рассматриваемого измерения:

ψ ′ =

1

[c00

00

+ c01 01 ]

(3)

2 + c

c

2

 

 

 

00

01

 

 

 

Измерения запутанных и незапутанных состояний принципиально отличаются друг от друга. С точки зрения концепции измерений, кубиты оказываются незапутанными, если измерение одного из них никак не влияет на состояние другого и, напротив, кубиты обязательно будут запутаны, если такое влияние существует.

Рассмотрим, например, состояние

1

[00 + 01 ],

 

2

 

которое не является запутанным, т.к.

может быть

98

представлено в виде тензорного произведения отдельных

кубитов

1

[00 + 01 ]= 0

1

[0 + 1 ]. Здесь, очевидно,

 

2

 

2

 

измерение первого

кубита никак не влияет на состояние

второго и наоборот.

1

[00 + 11 ],

Рассмотрим,

напротив, состояние

 

 

2

 

которое является запутанным. Теперь, результат измерения одного из кубитов влияет на то, какое состояние возникнет у второго кубита. Так, если первый кубит окажется в

состоянии

состоянии

0

0

, то и второй автоматически окажется в

, если же в результате измерения первого

кубита будет получено состояние 1 , то и второй кубит

обязательно будет обнаружен в состоянии 1 .

Рассматриваемое состояние является одним из так называемых состояний Белла. Подробнее свойства таких состояний будут описаны в разделах 4.8- 4.10

4.5. Простейшие квантовые логические элементы

Любые квантовые вычисления сводятся к унитарным преобразованиям системы кубитов. В силу линейности, преобразование полностью определяется действием на соответствующие базисные векторы.

Рассмотрим вначале некоторые полезные преобразования квантового состояния отдельных кубитов.

99

Ниже приведены такие преобразования и соответствующие им матрицы.

Мы везде используем стандартный (канонический)

базис:

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

,

 

 

 

(1)

0 =

0

 

1 =

1

 

 

 

 

 

 

 

Тождественное преобразование задается единичной двумерной матрицей

I : 0

0 ,

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

1

1

I =

0

1

 

 

 

 

Матрицы Паули задают следующие преобразования:

X :

0

1 ,

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

X =

1

0

 

 

 

 

 

 

Y : 0 i 1 ,

0

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

→ −i 0

Y =

 

0

 

 

i

 

Z :

0

0 ,

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 → − 1

Z =

0

 

 

 

 

1

(3)

(4)

(5)

Заметим, что матрицы Паули одновременно являются эрмитовыми и унитарными, поэтому унитарны и все указанные выше преобразования.

Элемент Паули X есть оператор отрицания (negation), он осуществляет обмен состояниями, т.е.

100

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.