Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций)

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
1.1 Mб
Скачать

для матрицы Ξ величина (iξlρ pˆρ + xˆl ) ψ будет кетвектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу ρ предполагается суммирование). Введем также

действительный вектор

η

(

η j

j = 1,..., s

). С его

 

 

 

помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем

полученный кетвектор в скаляр: (iξlρ pˆρ + xˆl )ηl

ψ .

Рассмотрим

теперь

следующее

заведомо

неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам,

как

обычно,

предполагается

суммирование):

 

 

F (

ξ

)

= ψ η

j (

ξ

ˆ

+ ˆ

ξ

ˆ

+

ˆ

)

η

l

ψ

0 (1)

 

 

i

jσ pσ

x j )(i

lρ pρ

 

xl

 

 

 

 

 

В развернутом виде получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

F (ξ )

= ψ η jηl (ξ jσ ξlρ

pˆσ pˆ ρ i(ξ jρ pˆ ρ xˆl ξlρ xˆ j pˆ ρ )+ xˆ j xˆl )ψ 0

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

 

 

использовать

 

 

фундаментальные

коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив

замену индексов j и l друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.

Вкачестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).

Врезультате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:

ΞΣ p Ξ − Ξ + Σx 0

(3)

 

41

Напомним, что матрица A с элементами

a jk называется

неотрицательно определенной,

если для

любого вектора

z :

 

z* z

 

 

 

z A z

= a

jk

k

0

(4)

 

 

 

j

 

В полученном

неравенстве мы ввели

матрицы

ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц

определяются выражениями

(Σx

)jl

= ψ xˆ j xˆl ψ

 

)jl

= ψ ˆ ˆ

(5)

Σ

ψ

( p

p j pl

(6)

Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.

Напомним, что произвольная эрмитова матрица A может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:

A = UDU + ,

(7)

где U - унитарная матрица, а

D - действительная

диагональная матрица.

 

Если, к тому же, матрица A неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения,

образующие диагональ матрицы D . В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:

42

A1/ 2 = UD1/ 2U +

(8)

С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:

 

1/ 2

1

Σ

1/ 2

 

1/ 2

Ξ −

1

Σ

1/ 2

 

1

Σ

1

+ Σ

 

0

 

ΞΣ

p

2

p

Σ

p

2

p

 

4

p

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

Первое слагаемое

слева

 

заведомо

неотрицательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ξ = 1

Σ1

 

определено (и обращается в ноль при

 

 

 

 

2

p

). Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Σ

1

+ Σ

x неотрицательно

следует, что и выражение

 

 

4

 

p

 

 

 

определено, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Σ

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Σ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное

 

 

неравенство

 

и

 

 

есть

искомое

многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое

Σ − 1 Σ1

состояние, матрица, равная разности x 4 p между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.

Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при

Ξ = 12 Σp1 :

43

(iξlρ pˆρ + xˆl ) ψ

= 0

(11)

 

 

 

Отсюда получаем, что соответствующее состояние

является

гауссовским с

матрицей ковариаций Σ p в

импульсном

представлении и матрицей ковариаций

Σ

x

=

1

 

 

 

 

4Σ p

- в координатном.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы ограничились

рассмотрением многомерного

соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения ШредингераРобертсона можно найти в [35,36]

2.6. Информация Фишера

Рассмотрим квантовую систему, для которой пси-

функция действительна: ψ (x) = P (x) . Использование таких псифункций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до

квантового состояния.

Для такой системы средний импульс

равен нулю, а квадрат импульса есть:

 

 

(P(x))2

 

ˆ

2

)

=

P (x)

P (x)dx

=

1

dx

 

 

 

 

 

M ( p

 

 

x

x

 

4

P (x)

(1)

Здесь штрих означает производную по x .

Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:

44

Ix = 4Dp = 4M ( pˆ

2 ) = (P(x))2

dx

 

P (x)

(2)

 

 

Тогда соотношение неопределенностей запишется в

виде следующего неравенства: Dx Ix 1.

Полученное

неравенство

аналогично неравенству

РаоКрамера, рассматриваемому в следующем разделе

2.7. Неравенство РаоКрамера

Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния. Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра

θ , т.е.:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ (x

 

θ )= P(x

 

θ ).

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть θˆ

 

есть несмещенная оценка

неизвестного

параметра θ ,

 

основанная на

 

выборке объема

n в

координатном пространстве, т.е.

θˆ = θˆ (x ,..., x

n

)

.

 

 

1

 

 

 

 

 

Условие

 

несмещенности

означает,

что

 

среднее

значение (математическое ожидание) выборочной оценки

θˆ совпадает с истинным значением параметра θ , т.е.

M (θˆ) = P (x1 θ ) P (xn θ ) θˆ(x1,..., xn )dx1 dxn = θ (2)

Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии

[31]:

45

x =

x1 + ... + xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 =

 

(xk x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

= −i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

θ

 

 

 

 

θ

-

оператор,

канонически

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сопряженный параметру θ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нашей целью является вывод следующего

соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:

 

 

Dθ Iθ

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

вид:

Здесь введена информация Фишера, которая имеет

 

(P(x

 

θ )/ θ )2

 

ln P(x

 

θ ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x

 

θ )dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iθ = n

 

 

 

P(x

θ )

 

 

dx = n

θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся тем, что вектор состояния для

выборки может быть определен следующим выражением

ψ (x1,..., xn )= P(x1

 

θ ) P(xn

 

θ )

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем

подробные

вычисления.

Пусть

ξ ψθ + (θ θˆ)ψ

- кет

вектор,

гдеξ ,

как и

ранее,

46

произвольный

действительный

параметр,

ψ

+

(θ θˆ)ψ - соответствующий бравектор.

 

ξ θ

 

 

 

Заведомо неотрицательное выражение есть:

 

 

 

 

 

 

ψ *

 

*

ψ

 

 

 

F (ξ ) =

 

 

ξ

 

 

 

+ (θ θˆ)ψ

ξ

 

+ (θ θˆ)ψ dx

 

 

θ

θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

для сокращения

записи

мы полагаем, что

dx = dx1 dxn , ψ =ψ (x1 ,..., xn )

 

 

 

 

В развернутой записи имеем:

 

 

 

F (ξ ) = aξ 2 + bξ + c 0

,

 

 

 

(9)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =

Iθ

 

=

ψ * ψ dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

θ

θ

 

 

 

 

 

(10)

b = (θ θˆ)ψ

* ψ + (θ θˆ)ψ * ψ

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

 

θ

 

(11)

c = (θ θˆ)2ψ *ψ dx = Dθ

(12)

 

Можно показать, что b = −1. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде

47

 

*

((

θ θˆ ψ *ψ

)

 

 

(θ θˆ)ψ * ψθ + (θ θˆ)ψθ ψ =

 

)

ψ *ψ

(θ θˆ) =

 

 

θ

 

θ

((θ θˆ)ψ *ψ )

ψ *ψ

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

 

 

(13)

 

 

 

 

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие

нормировки, получаем, что b = −1.

Из условия b2 4ac 0 для дискриминанта получаем искомый результат – неравенство Рао-Крамера

[3840]:

D

1

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

Iθ

 

 

 

 

 

 

 

(14)

 

 

Заметим, что мы провели вычисления не только для

предполагаемого

случая

действительных

векторов

состояния, но и для более общего случая комплексных псифункций.

 

В этом случае информация Фишера есть:

 

Iθ

= 4

ψ

* ψ

dx

(15)

θ

θ

 

 

 

 

Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.

Для случая действительных псифункций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством

48

аддитивности информации Фишера (информация от n

независимых представителей в n раз превосходит информацию от одного представителя).

Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера

Iθ минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной псифункции не может привести к уменьшению информации Фишера.

Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства РаоКрамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них. Такие оценки называются эффективными.

Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство РаоКрамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:

M θ θˆ

)

2

(1+ β (θ ))2

 

(16)

 

 

(

 

 

Iθ

где β (θ ) = M (θˆ)θ - смещение оценки.

(17)

Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая

49

характеризует рассеяние выборочной оценки θˆ относительно истинного значения θ .

Задача 2.7.1 Обоснуйте неравенство РаоКрамера (16)- (17), учитывающее возможную смещенность оценки.

2.8. Многомерное неравенство РаоКрамера и корневая оценка

«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №228).

Неравенство РаоКрамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.

Можно показать, что для любой несмещенной оценки

θˆ

неизвестного

многомерного параметра

θ матрица

Σθ

Iθ1

является неотрицательно определенной:

 

 

 

Σθ

Iθ1 0

(1)

 

 

 

 

 

В

случае

оценок, близких к

эффективным,

соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [3840].

Здесь Σθ - матрица ковариации оценки θˆ . Элементы

матрицы информации Фишера Iθ могут быть представлены в виде:

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.