Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Квантовая информатика

Файл:

Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2013

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

для матрицы Ξ величина (iξlρ pˆρ + xˆl ) ψ будет кетвектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу ρ предполагается суммирование). Введем также

действительный вектор	η	(	η j	j = 1,..., s	). С его

помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем
полученный кетвектор в скаляр: (iξlρ pˆρ + xˆl )ηl			ψ .
Рассмотрим	теперь	следующее	заведомо

неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам,

как	обычно,	предполагается
суммирование):

F (

)

= ψ η

j (

− ξ

+ ˆ

)

ψ ≥

0 (1)

jσ pσ

x j )(i

lρ pρ

В развернутом виде получим:

F (ξ )

= ψ η jηl (ξ jσ ξlρ

pˆσ pˆ ρ − i(ξ jρ pˆ ρ xˆl − ξlρ xˆ j pˆ ρ )+ xˆ j xˆl )ψ ≥ 0

(2)

Чтобы

использовать

фундаментальные

коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив

замену индексов j и l друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.

Вкачестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).

Врезультате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:

ΞΣ p Ξ − Ξ + Σx ≥ 0	(3)

Напомним, что матрица A с элементами

a jk называется	неотрицательно определенной,						если для
любого вектора	z :		z* z
z A z	= a	jk	z* z		k	≥ 0	(4)
		jk		j	k		(4)
В полученном				неравенстве мы ввели			матрицы

ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц
определяются выражениями
(Σx	)jl	= ψ xˆ j xˆl ψ
	)jl	= ψ ˆ ˆ	(5)
Σ			ψ
( p		p j pl	(6)

Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.

Напомним, что произвольная эрмитова матрица A может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:

A = UDU + ,	(7)
где U - унитарная матрица, а	D - действительная
диагональная матрица.

Если, к тому же, матрица A неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения,

образующие диагональ матрицы D . В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:

A1/ 2 = UD1/ 2U +

(8)

С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:

1/ 2

−

−1/ 2

1/ 2

Ξ −

−1/ 2

−

−1

+ Σ

≥ 0

ΞΣ

(9)

Первое слагаемое

слева

заведомо

неотрицательно

Ξ = 1

Σ−1

определено (и обращается в ноль при

). Отсюда

−

−1

+ Σ

x неотрицательно

следует, что и выражение

определено, т.е.

≥

4Σ p

(10)

Полученное

неравенство

есть

искомое

многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое

Σ − 1 Σ−1

состояние, матрица, равная разности x 4 p между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.

Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при

Ξ = 12 Σ−p1 :

(iξlρ pˆρ + xˆl ) ψ					= 0	(11)
			Отсюда получаем, что соответствующее состояние
является				гауссовским с		матрицей ковариаций Σ p в
импульсном					представлении и матрицей ковариаций
Σ	x	=	1
			4Σ p	- в координатном.


			Мы ограничились			рассмотрением многомерного

соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения ШредингераРобертсона можно найти в [35,36]

2.6. Информация Фишера

Рассмотрим квантовую систему, для которой пси-

функция действительна: ψ (x) = P (x) . Использование таких псифункций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до

квантового состояния.

Для такой системы средний импульс

равен нулю, а квадрат импульса есть:

(P′(x))2

)

∫

∂

P (x)

∂

P (x)dx

∫

M ( p

∂x

P (x)

(1)

Здесь штрих означает производную по x .

Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:

Ix = 4Dp = 4M ( pˆ	2 ) = ∫ (P′(x))2	dx
	P (x)	(2)
		(2)
Тогда соотношение неопределенностей запишется в
виде следующего неравенства: Dx Ix ≥ 1.
Полученное	неравенство	аналогично неравенству

РаоКрамера, рассматриваемому в следующем разделе

2.7. Неравенство РаоКрамера

Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния. Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра

θ , т.е.:
ψ (x	θ )= P(x	θ ).							(1)


	Пусть θˆ	есть несмещенная оценка			неизвестного
параметра θ ,		основанная на		выборке объема					n в
координатном пространстве, т.е.			θˆ = θˆ (x ,..., x			n	)	.
координатном пространстве, т.е.				1		n		.
	Условие	несмещенности		означает,	что				среднее

значение (математическое ожидание) выборочной оценки

θˆ совпадает с истинным значением параметра θ , т.е.

M (θˆ) = ∫ P (x1 θ ) P (xn θ ) θˆ(x1,..., xn )dx1 dxn = θ (2)

Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии

[31]:

x =

x1 + ... + xn

(3)

s2 =

∑(xk − x)2

n −1 k=1

(4)

∂

= −i

Пусть

∂θ

оператор,

канонически

сопряженный параметру θ .

Нашей целью является вывод следующего

соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:

Dθ Iθ

≥ 1

(5)

вид:

Здесь введена информация Фишера, которая имеет

(∂P(x

θ )/ ∂θ )2

∂ ln P(x

θ ) 2

P(x

θ )dx

Iθ = n∫

P(x

θ )

dx = n∫

∂θ

(6)

Воспользуемся тем, что вектор состояния для

выборки может быть определен следующим выражением

ψ (x1,..., xn )= P(x1

θ ) P(xn

θ )

(7)

Проведем

подробные

вычисления.

Пусть

ξ ∂∂ψθ + (θ −θˆ)ψ

- кет

вектор,

гдеξ ,

как и

ранее,

произвольный

действительный

параметр,

∂ψ

(θ −θˆ)ψ - соответствующий бравектор.

ξ ∂θ

Заведомо неотрицательное выражение есть:

∂ψ *

∂ψ

F (ξ ) =

+ (θ −θˆ)ψ

+ (θ −θˆ)ψ dx

∂θ

∫

(8)

Здесь

для сокращения

записи

мы полагаем, что

dx = dx1 dxn , ψ =ψ (x1 ,..., xn )

В развернутой записи имеем:

F (ξ ) = aξ 2 + bξ + c ≥ 0

(9)

где

a =

Iθ

= ∫

∂ψ * ∂ψ dx

∂θ

(10)

b = ∫(θ −θˆ)ψ

* ∂ψ + (θ −θˆ)∂ψ * ψ

∂θ

(11)

c = ∫(θ − θˆ)2ψ *ψ dx = Dθ	(12)

Можно показать, что b = −1. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде

	*	∂	((	θ −θˆ ψ *ψ	)		∂
(θ −θˆ)ψ * ∂∂ψθ + (θ −θˆ)∂∂ψθ ψ =			((	)	)	−ψ *ψ	∂	(θ −θˆ) =
(θ −θˆ)ψ * ∂∂ψθ + (θ −θˆ)∂∂ψθ ψ =				∂θ		−ψ *ψ	∂θ	(θ −θˆ) =
∂ ((θ −θˆ)ψ *ψ )	−ψ *ψ
∂θ	−ψ *ψ				(13)
∂θ					(13)

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие

нормировки, получаем, что b = −1.

Из условия b2 − 4ac ≤ 0 для дискриминанта получаем искомый результат – неравенство Рао-Крамера

[3840]:

D	≥	1
D	≥
θ		Iθ
		Iθ			(14)
		Заметим, что мы провели вычисления не только для
предполагаемого			случая	действительных	векторов

состояния, но и для более общего случая комплексных псифункций.

	В этом случае информация Фишера есть:
Iθ	= 4	∂ψ	* ∂ψ	dx	(15)
		∫ ∂θ	∂θ

Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.

Для случая действительных псифункций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством

аддитивности информации Фишера (информация от n

независимых представителей в n раз превосходит информацию от одного представителя).

Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера

Iθ минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной псифункции не может привести к уменьшению информации Фишера.

Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства РаоКрамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них. Такие оценки называются эффективными.

Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство РаоКрамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:

M θ −θˆ	)	2	≥	(1+ β ′(θ ))2	(16)

(				Iθ
где β (θ ) = M (θˆ)−θ - смещение оценки.					(17)

Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая

характеризует рассеяние выборочной оценки θˆ относительно истинного значения θ .

Задача 2.7.1 Обоснуйте неравенство РаоКрамера (16)- (17), учитывающее возможную смещенность оценки.

2.8. Многомерное неравенство РаоКрамера и корневая оценка

«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №228).

Неравенство РаоКрамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.

Можно показать, что для любой несмещенной оценки

θˆ	неизвестного		многомерного параметра	θ матрица
Σθ	− Iθ−1	является неотрицательно определенной:
		является неотрицательно определенной:
	Σθ	− Iθ−1 ≥ 0		(1)
				(1)
	В	случае	оценок, близких к	эффективным,

соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [3840].

Здесь Σθ - матрица ковариации оценки θˆ . Элементы

матрицы информации Фишера Iθ могут быть представлены в виде:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая информатика

#
16.04.2013185.07 Кб47Квантовая монета.pdf
#
16.04.2013131.93 Кб30Метод характеристических функций.pdf
#
16.04.2013142.65 Кб26Неравенство Белла.pdf
#
16.04.201338.91 Кб31Статистические методы в квантовой физике и электронике- Программа курса.doc
#
16.04.2013142.69 Кб18Точность статистических оценок.pdf
#
16.04.20131.1 Mб81Физ.-стат. основы кв. инф.- Богданов (конспект лекций).pdf