3. Принцип сжимающих отображений

Пусть метрическое пространство. Отображение называется сжимающим, если существует такое что и при всех

Пусть метрическое пространство и отображение. Говорят, что точка является неподвижной точкой отображения Т, если

Теорема (принцип сжимающих отображений). Если сжимающее отображение полного метрического пространства Х, то Т имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Возьмём любую точку и образуем последовательность Докажем, что эта последовательность сходится, и её предел является единственной неподвижной точкой отображения Доказательство разобьём на несколько шагов.

1. Оценим сверху расстояние между соседними членами последовательности. Имеем:

2. Докажем, что последовательность фундаментальна. Для этого оценим расстояние между произвольными членами последовательности. Имеем:

Так как то при поэтому при и Это означает, что последовательность фундаментальна.

3. Так как фундаментальна и Х полно, то сходится. Пусть Докажем, что неподвижная точка отображения Т. Имеем: при Ввиду произвольности числа мы получаем, что Из аксиом метрики следует, что следовательно, неподвижная точка.

4. Докажем, что других неподвижных точек у отображения Т нет. Действительно, пусть Тогда Так как то а значит,

4. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Напомним, что областью в пространстве R называется связное открытое множество. Связность означает, что любые две точки множества можно соединить непрерывной кривой, не выходящей за пределы множества. Множество открытое, если любая его точка внутренняя, т.е. имеет окрестность, лежащую внутри области.

Пусть дано дифференциальное уравнение где функция определена в некоторой области плоскости R Естественным требованием на функцию является её непрерывность в области Однако, этого для существования и единственности решения оказывается недостаточным. Введём ещё одно условие. А именно, будем говорить, что функция удовлетворяет условию Липшица по переменной у в области , если существует постоянная (константа Липшица) такая, что

(17)

для всех Условие Липшица сильнее, чем непрерывность по переменной у, но слабее, чем дифференцируемость. Точнее, справедливы утверждения:

( если функция удовлетворяет условию Липшица по у, то она непрерывна по у;

( если имеет в области ограниченную производную по у, то она удовлетворяет условию Липшица по у.

Докажем утверждения ( ), ( Действительно, из условия (17) следует, что а это означает непрерывность функции по переменной т.е. выполнено ( Далее, пусть для всех точек области Тогда по теореме Лагранжа для некоторого мы имеем: что доказывает В качестве константы Липшица здесь можно взять константу К.

Во многих вопросах теории дифференциальных уравнений и, в частности, для доказательства теоремы существования и единственности удобно заменить дифференциальное уравнение интегральным. Возможность такой замены вытекает из следующего утверждения.

Лемма. Если непрерывная функция, то система уравнений

(18)

состоящая из дифференциального уравнения и начального условия, равносильна интегральному уравнению

(19)

Доказательство. Пусть функция определённая на интервале удовлетворяет системе (18). Проинтегрировав равенство получим: Так как то Следовательно, выполнено (19).

Наоборот, пусть функция удовлетворяет интегральному уравнению (19). Тогда значит, выполнено начальное условие. Продифференцировав равенство (19) по получим: поэтому функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Теорема существования и единственности решения уравнения первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение

(20)

причём функция в некоторой области плоскости R непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица по у. Тогда для каждой точки области существует такое что на отрезке существует единственная функция удовлетворяющая дифференциальному уравнению (20) и начальному условию

Доказательство. Во-первых, заменим дифференциальное уравнение с начальным условием на интегральное уравнение (19). Затем выберем числа так, чтобы прямоугольник лежал в области Обозначим через множество функций, непрерывных на отрезке и удовлетворяющих условиям

(21)

Очевидно, является подпространством пространства Пространство полно – его полнота доказывается так же, как полнота пространства Обозначим через оператор на множестве функций, переводящий функцию у в функцию

(22)

Проверим, что при достаточно малом оператор Т будет являться отображением из в причём сжимающим. Действительно, из условия теоремы следует, что функция непрерывна в прямоугольнике поэтому существует постоянная такая, что при Пусть и Тогда Следовательно, Если теперь то при а значит,

Докажем теперь сжимаемость оператора Т. Пусть и Мы имеем: поэтому следовательно, Так как то поэтому сжимающий оператор. По принципу сжимающих отображений существует единственная функция такая, что Это означает, что уравнение (20) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию Предположение о том, что не сужает класса рассматриваемых функций, так как для всякой непрерывной на отрезке функции это неравенство выполняется при подходящем

Теорему существования и единственности можно переформулировать так: для “достаточно хорошей” функции (а именно, если непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица по у в области ), то через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая уравнения Таким образом, эта теорема носит локальный характер, т.е. для каждой точки утверждается лишь существование окрестности, в которой решение существует и единственно. Решение, найденное на промежутке далеко не всегда может быть продолжено на промежуток даже если существует прямоугольник лежащий в области Однако, применяя теорему существования и единственности несколько раз (переходя от точки к точке , затем к и т.д., можно убедиться в том, что всякое решение продолжается либо до границы области (возможно, не достигая этой границы), либо “уходит в бесконечность” (это может быть лишь в случае, когда область неограниченна).

Доказательство теоремы существования и единственности даёт также метод решения дифференциальных уравнений, который можно использовать на практике для приближённого их решения. Это метод последовательных приближений. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию Рассмотрим последовательность функций, определённых на отрезке

и т.д., т.е. для любого полагаем Тогда для достаточно малого мы имеем: при где решение дифференциального уравнения. Начальное условие для функций а значит, и для функции очевидно, также выполнено.