Примеры решения задач

1. Найти решение уравнения удовлетворяющее начальному условиюметодом последовательного приближения.

Решение. Разумеется, данное уравнение можно решить достаточно просто другими методами. Решим его методом последовательных приближений, чтобы продемонстрировать этот метод и убедиться в том, что он даёт правильное решение. Последовательные приближения к истинному решению имеют вид: и т.д. Нетрудно видеть, что для любогоп мы имеем Ясно, что на любом конечном отрезкечисловой прямойСледовательно,искомая функция.

2. Доказать, что решение уравнения удовлетворяющее условиюсуществует на отрезкено не продолжается на отрезок

Доказательство. Пусть решение уравненияопределённое на отрезкеи удовлетворяющее начальному условиюТак кактоприпоэтомувозрастающая функция. ПустьприТогдаЕслиитаковы, чтото решениесуществует на отрезкеВ частности, примы имеем:поэтому уравнение имеет решение, определённое на отрезке

Займёмся теперь отрезком Понятно, что если решение уравненияне существует на отрезкето оно не существует и на отрезкеПредположим теперь, что на отрезкерешение существует. Примы имеемпоэтомуПроинтегрировав это неравенство, мы получим:откуда следует, чтот.е.

(23)

Так как тоЕслитобудет иметь на отрезкебесконечный разрыв, и неравенство (23) для непрерывной функциивыполняться не будет. Таким образом,иЗначит, на отрезкерешений нет.

3. Продолжается ли на всю полуось решение уравненияс начальным условием

Решение. Если решение данного уравнения на отрезкетоСледовательно, на любом отрезкегдерешение уравнения существует. Значит, оно продолжается на всю полуось

4. Пусть функция, определённая во всей плоскостиRи имеющая непрерывные производные в каждой точке плоскости. Может ли семейство интегральных кривых уравненияиметь вид, изображённый на рисунке?

Решение. Так как функция имеет непрерывную производную пото она удовлетворяет условию Липшица поЗначит, через каждую тоску плоскости проходит одна интегральная кривая уравнения. Однако, на рисунке через начало координат проходит более одной интегральной кривой. Следовательно, интегральные кривые уравнения изображены неверно.

Задачи для самостоятельного решения

1. Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение уравнения с заданным начальным условием: а) б)

2. Существует ли функция определённая на отрезкеи удовлетворяющая уравнениюи начальному условию

3. Построить последовательные приближения к решению данного уравнения с данным начальным условием: а)б)

4. Уравнение имеет два различных решения, удовлетворяющих начальному условиюэтоиНе противоречит ли данный пример теореме существования и единственности решения?

Ответы: 1. а) б)2. Нет. 3. а)б)4. Не противоречит, так как функцияне удовлетворяет условию Липшица на отрезкегде

5. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений высших порядков и систем

Пусть дана система п дифференциальных уравнений первого порядка

(24)

Введём в рассмотрение вектор-функции иТогда система (24) запишется в виде

(25)

Напомним, что задача Коши для системы (25) состоит в том, что требуется найти решение этой системы, удовлетворяющее начальному условию гдепостоянный вектор. Строкумы будем рассматривать как точку пространства. Пустьобласть в пространстве. Мы будем говорить, что вектор-функцияудовлетворяет условию Липшица пов областиесли существует постоянная(константа Липшица) такая, что для любых точек имеющих одинаковую первую координату, имеет место неравенство

(26)

Здесь модули обозначают длины векторов в пространстве . Для системы (25), как и для уравнения (20), справедлива теорема существования и единственности решения.

Теорема существования и единственности решения системы. Пусть область в пространстве,вектор-функция, определённая в областипричёмв этой области непрерывна пои удовлетворяет условию Липшица поТогда для каждой точкиобластисуществует окрестностьв которой система дифференциальных уравненийимеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию

Доказательство этой теоремы проводится совершенно аналогично доказательству теоремы существования и единственности решения уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешённое относительно старшей производной, имеет вид

(25)

Задача Коши для этого уравнения ставится следующим образом: требуется найти решение уравнения (25), удовлетворяющего начальному условию

. . . (26)

где заданные действительные числа. Здесьне означает дифференцирования. Очевидно, уравнение (25)п-го порядка равносильно системе уравнений первого порядка, а именно, системе

(27)

Начальное условие для системы (27) получается из (26) и имеет вид Теорема существования и единственности решения уравнения (25) является непосредственным следствием теоремы существования и единственности решения системы. Приведём формулировку теоремы.

Теорема существования и единственности решения уравнения п-го порядка. Пусть функция, которая в некоторой областипространстванепрерывна пох и удовлетворяет условию Липшица по Тогда для каждой точкисуществует окрестность, в которой решение уравненияудовлетворяющее начальному условию. . .существует и единственно.

Для систем дифференциальных уравнений первого порядка, как и для одного уравнения первого порядка, решение может быть найдено методом последовательных приближений. А именно, если рассматривается уравнение с начальным условиемто для достаточно малогопоследовательность вектор-функцийравномерно сходится к решениюесли вектор-функциянепрерывна пох и удовлетворяет условию Липшица по