Полные пространства

Пусть метрическое пространство и произвольное подмножество множества Х. Тогда будет являться метрическим пространством, если в качестве расстояния между точками взять расстояние между этими точками в пространстве Х. В этом случае говорят, что является подпространством пространства Х. Например, пространство Q рациональных чисел является подпространством числовой прямой R, если положить для Q.

Предел последовательности точек метрического пространства Х определяется аналогично пределу обычной числовой последовательности. А именно,

(14)

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел; в противном случае последовательность называется расходящейся. Если нормированное пространство, то неравенство можно записывать в виде Для пределов последовательностей в метрическом пространстве справедливы утверждения:

Теорема 1. Если существует, то он единственный.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной в том смысле, что

Доказательства этих теорем проводятся совершенно аналогично соответствующим теоремам для обычных числовых последовательностей.

В нормированном пространстве Х справедлива теорема о пределе суммы:

Теорема 3. Если и сходящиеся последовательности в Х и R, то последовательности и также сходятся и имеют место равенства

Замечание. В пространстве с метрикой (2) сходимость последовательности это равномерная сходимость. Тот факт, что в часто записывают в виде

Последовательность точек метрического пространства Х называется фундаментальной, если

(15)

Докажем, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Действительно, пусть сходится и Возьмём любое и подберём такое что при Если теперь то т.е. выполняется (15).

Утверждение, обратное к только что доказанному, неверно, т.е. существуют метрические пространства, в которых не все фундаментальные последовательности сходятся. Примером может служить последовательность

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 . . . (16)

(десятичные приближения числа рассматриваемая как последовательность точек метрического пространства Q рациональных чисел. Действительно, при поэтому фундаментальна. В то же время последовательность (16) не имеет предела в Q, так как не является рациональным числом.

Важный класс метрических пространств составляют так называемые полные пространства , имеющие большое значение для дифференциальных уравнений.

Определение. Метрическое пространство Х называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится.

Приведём примеры полных и неполных пространств.

1. Пространство R с обычной метрикой является полным. Действительно, в курсе математического анализа был доказан критерий Коши: последовательность действительных чисел сходится в том и только том случае, если она фундаментальна. Это и означает полноту пространства R.

2. Пространство Q с обычной метрикой – неполное пространство. Действительно, последовательность (16) точек из Q является фундаментальной, но не сходящейся.

3. Пространство R с любой из метрик (5), (6), (7) полно. Приведём эскиз доказательства этого утверждения для метрики (5). Пусть и – фундаментальная последовательность элементов из R Тогда где R. Последовательность составленную из -х координат векторов очевидно, является фундаментальной последовательностью действительных чисел. Следовательно, она сходится. Пусть и Тогда можно найти такие натуральные числа что при Взяв получим, что при и Отсюда при

4. Пространство непрерывных функций с метрикой (3) полное. Ввиду важности этого результата для теории дифференциальных уравнений отметим его в виде теоремы.

Теорема. Пространство с метрикой является полным.

Доказательство. Пусть фундаментальная последовательность в Разобьём доказательство на несколько этапов.

а) Проверим, что для любой точки фундаментальная числовая последовательность. Действительно, по условию при Поэтому при

б) Найдём теперь функцию к которой последовательность сходится равномерно. Выше было доказано, что для каждого фиксированного х последовательность сходится. Положим Таким образом, последовательность сходится к поточечно (в каждой точке). Докажем теперь равномерную сходимость. Для каждого подберём натуральное число такое, что при Из фундаментальности последовательности следует существование такого что при и всех Следовательно, при и любом

где Таким образом,

в) Осталось показать, что предельная функция принадлежит т.е. является непрерывной. Пусть произвольная точка отрезка По условию при и всех Кроме того, при Зафиксируем какое-нибудь и воспользуемся непрерывностью функции в точке Имеем: Теперь при что доказывает непрерывность функции

Назовём вектор-функцией аргумента упорядоченный набор обычных функций фиксированное число. Пространство всех непрерывных вектор-функций, т.е. вектор-функций вида , где полное пространство относительно метрики

Полноту этого пространства нетрудно доказать, комбинируя доказательства полноты пространств и R

Метрики и на одном и том же множестве Х называются эквивалентными, если существуют константы такие, что

Нетрудно видеть, что сходимость в Х последовательности не зависит от того, какая из эквивалентных метрик выбрана. Следовательно, если Х полно в метрике то оно является полным и в метрике