Типовые задачи

1. Выяснить, является ли метрическим пространством данное множество:

а) множество всех ограниченных последовательностей действительных чисел, где расстояние междуиопределяется формулой

б) множество всех интервалов числовой прямой, где

в) множество R всех действительных чисел, где

г) множество всех многочленов гдеR, а расстояние между иопределяется по формуле

Решение. а) Данное множество является метрическим пространством, даже нормированным, причём норма выражается формулой Проверим это. Выполнение аксиом (Н1), (Н2) здесь очевидно. Кроме того,значит, выполнена аксиома (Н3).

б) Данное множество не является метрическим пространством, так как не выполнена аксиома (М1). Действительно, для элементов инапример, мы имеем:но

в) Проверим, что (R,метрическое пространство. Здесь выполнение аксиом (М1), (М2) очевидно, нужно проверить лишь неравенство треугольника. Имеем:значит, аксиома (М3) также выполнена.

г) Положим Ясно, чтоиДалее, приR имеем: т.е. выполнено (Н2). Наконец,т.е. выполнено (Н3). Таким образом, множество многочленов является нормированным, а значит, и метрическим пространством.

2. Доказать, что евклидово пространство над полем действительных чисел (т.е. пространство со скалярным произведением) будет являться нормированным пространством, если положитьдля всех

Доказательство. Из аксиом скалярного произведения следует, что иКроме того,Наконец, из неравенства Шварца () получаем:

откуда следует неравенство треугольника.

3. Вычислить норму функции а) в пространствеб) в пространствев) ) в пространстве

Решение. а) б)в)

4. Доказать, что если метрика на множествеХ, то тоже метрика.

Доказательство. Так как тоПри этомиОсталось доказать неравенство треугольника. Для краткости положимТак какметрика, тоОтсюдат.е.

4. Вычислить расстояние между функциями иа) в пространствеб) в пространствев) в пространстве

Решение. а)

б)

в)

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что если метрика пространстваХ, то итакже метрики наХ.

2. Является ли метрикой на множестве R следующая функция:

а) б)в)

3. Вычислить норму функции а) в пространствеб) в пространствев) в пространстве

4. Вычислить расстояние между функциями иа) в пространствеб) в пространствев) в пространстве

5. Доказать, что если в нормированном пространстве Х норма определяется скалярным произведением, то имеет место равенство

(равенство параллелограмма). Вывести отсюда, что в пространстве норма не определяется скалярным произведением.

Ответы: 2. а) нет; б) да; в) нет. 3. а) б)в)4. а)б)

2. Предел последовательности в метрическом пространстве.

Полные пространства

Пусть метрическое пространство ипроизвольное подмножество множестваХ. Тогда будет являться метрическим пространством, если в качестве расстояниямежду точкамивзять расстояние между этими точками в пространствеХ. В этом случае говорят, что являетсяподпространством пространства Х. Например, пространство Q рациональных чисел является подпространством числовой прямой R, если положить дляQ.

Предел последовательности точек метрического пространстваХ определяется аналогично пределу обычной числовой последовательности. А именно,

(14)

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел; в противном случае последовательность называется расходящейся. Если нормированное пространство, то неравенствоможно записывать в видеДля пределов последовательностей в метрическом пространстве справедливы утверждения:

Теорема 1. Если существует, то он единственный.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность являетсяограниченной в том смысле, что

Доказательства этих теорем проводятся совершенно аналогично соответствующим теоремам для обычных числовых последовательностей.

В нормированном пространстве Х справедлива теорема о пределе суммы:

Теорема 3. Если исходящиеся последовательности вХ и R, то последовательности итакже сходятся и имеют место равенства

Замечание. В пространстве с метрикой (2) сходимость последовательностиэторавномерная сходимость. Тот факт, что в часто записывают в виде

Последовательность точек метрического пространстваХ называется фундаментальной, если

(15)

Докажем, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Действительно, пусть сходится и Возьмём любое и подберём такоечто при Если теперьто т.е. выполняется (15).

Утверждение, обратное к только что доказанному, неверно, т.е. существуют метрические пространства, в которых не все фундаментальные последовательности сходятся. Примером может служить последовательность

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 . . . (16)

(десятичные приближения числа рассматриваемая как последовательность точек метрического пространстваQ рациональных чисел. Действительно, при поэтому фундаментальна. В то же время последовательность (16) не имеет предела в Q, так как не является рациональным числом.

Важный класс метрических пространств составляют так называемые полные пространства , имеющие большое значение для дифференциальных уравнений.

Определение. Метрическое пространство Х называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится.

Приведём примеры полных и неполных пространств.

1. Пространство R с обычной метрикой является полным. Действительно, в курсе математического анализа был доказан критерий Коши: последовательность действительных чисел сходится в том и только том случае, если она фундаментальна. Это и означает полноту пространстваR.

2. Пространство Q с обычной метрикой – неполное пространство. Действительно, последовательность (16) точек из Q является фундаментальной, но не сходящейся.

3. Пространство Rс любой из метрик (5), (6), (7) полно. Приведём эскиз доказательства этого утверждения для метрики (5). Пусть и– фундаментальная последовательность элементов изRТогда гдеR. Последовательность составленную из-х координат векторовочевидно, является фундаментальной последовательностью действительных чисел. Следовательно, она сходится. Пустьи Тогда можно найти такие натуральные числа чтоприВзявполучим, чтоприиОтсюдапри

4. Пространство непрерывных функцийс метрикой (3) полное. Ввиду важности этого результата для теории дифференциальных уравнений отметим его в виде теоремы.

Теорема. Пространство с метрикой является полным.

Доказательство. Пусть фундаментальная последовательность вРазобьём доказательство на несколько этапов.

а) Проверим, что для любой точки фундаментальная числовая последовательность. Действительно, по условиюприПоэтомупри

б) Найдём теперь функцию к которой последовательностьсходится равномерно. Выше было доказано, что для каждого фиксированногох последовательность сходится. ПоложимТаким образом, последовательностьсходится кпоточечно (в каждой точке). Докажем теперь равномерную сходимость. Для каждого подберём натуральное число такое, что при Из фундаментальности последовательностиследует существование такогочтоприи всехСледовательно, при и любом

где Таким образом,

в) Осталось показать, что предельная функция принадлежитт.е. является непрерывной. Пустьпроизвольная точка отрезкаПо условиюприи всехКроме того,приЗафиксируем какое-нибудьи воспользуемся непрерывностью функциив точкеИмеем:Теперьпричто доказывает непрерывность функции

Назовём вектор-функцией аргумента упорядоченный набор обычных функцийфиксированное число. Пространствовсех непрерывных вектор-функций, т.е. вектор-функций вида, гдеполное пространство относительно метрики

Полноту этого пространства нетрудно доказать, комбинируя доказательства полноты пространств иR

Метрики ина одном и том же множествеХназываютсяэквивалентными, если существуют константытакие, что

Нетрудно видеть, что сходимость в Хпоследовательностине зависит от того, какая из эквивалентных метриквыбрана. Следовательно, еслиХполно в метрикето оно является полным и в метрике