![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •Глава 3. Существование и единственность решения дифференциального уравнения
- •1. Метрические пространства
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Полные пространства
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Принцип сжимающих отображений
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Теорема существования и единственности для линейных уравнений и систем
Типовые задачи
Выяснить, является ли метрическим пространством данное множество:
а)
множество всех ограниченных
последовательностей
действительных чисел, где расстояние
между
и
определяется формулой
б)
множество всех интервалов
числовой прямой, где
в)
множество R
всех действительных чисел, где
г)
множество всех многочленов
где
R,
а расстояние между
и
определяется по формуле
Решение.
а) Данное множество является метрическим
пространством, даже нормированным,
причём норма выражается формулой
Проверим это. Выполнение аксиом (Н1),
(Н2) здесь очевидно. Кроме того,
значит, выполнена аксиома (Н3).
б)
Данное множество не является метрическим
пространством, так как не выполнена
аксиома (М1). Действительно, для элементов
и
например, мы имеем:
но
в)
Проверим, что (R,метрическое пространство. Здесь
выполнение аксиом (М1), (М2) очевидно,
нужно проверить лишь неравенство
треугольника. Имеем:
значит, аксиома (М3) также выполнена.
г)
Положим
Ясно, что
и
Далее, при
R
имеем:
т.е. выполнено (Н2). Наконец,
т.е. выполнено (Н3). Таким образом, множество
многочленов является нормированным, а
значит, и метрическим пространством.
2.
Доказать, что евклидово пространство
над полем действительных чисел (т.е.
пространство со скалярным произведением)
будет являться нормированным пространством,
если положить
для всех
Доказательство.
Из аксиом скалярного произведения
следует, что
и
Кроме того,
Наконец, из неравенства Шварца (
)
получаем:
откуда
следует неравенство треугольника.
3.
Вычислить норму функции
а) в пространстве
б) в пространстве
в) ) в пространстве
Решение.
а)
б)
в)
Доказать, что если
метрика на множествеХ, то
тоже метрика.
Доказательство.
Так как
то
При этом
и
Осталось доказать неравенство
треугольника. Для краткости положим
Так как
метрика, то
Отсюда
т.е.
Вычислить расстояние между функциями
и
а) в пространстве
б) в пространстве
в) в пространстве
Решение.
а)
б)
в)
Задачи для самостоятельного решения
Доказать, что если
метрика пространстваХ, то
и
также метрики наХ.
Является ли метрикой на множестве R следующая функция:
а)
б)
в)
Вычислить норму функции
а) в пространстве
б) в пространстве
в) в пространстве
Вычислить расстояние между функциями
и
а) в пространстве
б) в пространстве
в) в пространстве
Доказать, что если в нормированном пространстве Х норма определяется скалярным произведением, то имеет место равенство
(равенство
параллелограмма).
Вывести отсюда, что в пространстве
норма не определяется скалярным
произведением.
Ответы:
2. а) нет; б)
да; в) нет. 3. а)
б)
в)
4. а)
б)
2. Предел последовательности в метрическом пространстве.
Полные пространства
Пусть
метрическое пространство и
произвольное
подмножество множестваХ.
Тогда
будет являться метрическим пространством,
если в качестве расстояния
между точками
взять расстояние между этими точками
в пространствеХ.
В этом случае говорят, что
являетсяподпространством
пространства Х.
Например, пространство Q
рациональных чисел является
подпространством числовой прямой R,
если положить
для
Q.
Предел
последовательности
точек метрического пространстваХ
определяется аналогично пределу обычной
числовой последовательности. А именно,
(14)
Последовательность
называется сходящейся,
если она имеет предел; в противном случае
последовательность называется
расходящейся.
Если
нормированное пространство, то неравенство
можно записывать в виде
Для пределов последовательностей в
метрическом пространстве справедливы
утверждения:
Теорема
1. Если
существует, то он единственный.
Теорема
2. Всякая
сходящаяся последовательность
являетсяограниченной
в том смысле,
что
Доказательства этих теорем проводятся совершенно аналогично соответствующим теоремам для обычных числовых последовательностей.
В нормированном пространстве Х справедлива теорема о пределе суммы:
Теорема
3. Если
и
сходящиеся последовательности вХ
и
R,
то последовательности
и
также сходятся и имеют место равенства
Замечание.
В пространстве
с метрикой (2) сходимость последовательности
эторавномерная
сходимость.
Тот факт, что
в
часто записывают в виде
Последовательность
точек метрического пространстваХ
называется фундаментальной,
если
(15)
Докажем,
что всякая
сходящаяся последовательность является
фундаментальной.
Действительно, пусть
сходится
и
Возьмём
любое
и подберём такое
что
при
Если теперь
то
т.е.
выполняется (15).
Утверждение,
обратное к только что доказанному,
неверно, т.е. существуют метрические
пространства, в которых не все
фундаментальные последовательности
сходятся. Примером может служить
последовательность
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 . . . (16)
(десятичные
приближения числа
рассматриваемая как последовательность
точек метрического пространстваQ
рациональных
чисел. Действительно,
при
поэтому
фундаментальна.
В то же время последовательность (16) не
имеет предела в Q,
так как
не является рациональным числом.
Важный класс метрических пространств составляют так называемые полные пространства , имеющие большое значение для дифференциальных уравнений.
Определение. Метрическое пространство Х называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится.
Приведём примеры полных и неполных пространств.
Пространство R с обычной метрикой
является полным. Действительно, в курсе математического анализа был доказан критерий Коши: последовательность действительных чисел сходится в том и только том случае, если она фундаментальна. Это и означает полноту пространстваR.
Пространство Q с обычной метрикой – неполное пространство. Действительно, последовательность (16) точек из Q является фундаментальной, но не сходящейся.
Пространство R
с любой из метрик (5), (6), (7) полно. Приведём эскиз доказательства этого утверждения для метрики (5). Пусть
и
– фундаментальная последовательность элементов изR
Тогда
где
R. Последовательность
составленную из
-х координат векторов
очевидно, является фундаментальной последовательностью действительных чисел. Следовательно, она сходится. Пусть
и
Тогда можно найти такие натуральные числа
что
при
Взяв
получим, что
при
и
Отсюда
при
Пространство непрерывных функций
с метрикой (3) полное. Ввиду важности этого результата для теории дифференциальных уравнений отметим его в виде теоремы.
Теорема.
Пространство
с метрикой
является
полным.
Доказательство.
Пусть
фундаментальная
последовательность в
Разобьём доказательство на несколько
этапов.
а)
Проверим, что для любой точки
фундаментальная числовая последовательность.
Действительно, по условию
при
Поэтому
при
б)
Найдём теперь функцию
к которой последовательность
сходится равномерно. Выше было доказано,
что для каждого фиксированногох
последовательность
сходится. Положим
Таким образом, последовательность
сходится к
поточечно
(в каждой
точке). Докажем теперь равномерную
сходимость. Для каждого
подберём натуральное число
такое, что
при
Из фундаментальности последовательности
следует существование такого
что
при
и всех
Следовательно, при
и любом
где
Таким образом,
в)
Осталось показать, что предельная
функция
принадлежит
т.е. является непрерывной. Пусть
произвольная
точка отрезка
По условию
при
и всех
Кроме того,
при
Зафиксируем какое-нибудь
и воспользуемся непрерывностью функции
в точке
Имеем:
Теперь
при
что доказывает непрерывность функции
Назовём
вектор-функцией
аргумента
упорядоченный
набор
обычных функций
фиксированное число. Пространство
всех непрерывных вектор-функций, т.е.
вектор-функций вида
,
где
полное пространство относительно
метрики
Полноту
этого пространства нетрудно доказать,
комбинируя доказательства полноты
пространств
иR
Метрики
и
на одном и том же множествеХназываютсяэквивалентными,
если существуют константы
такие, что
Нетрудно
видеть, что сходимость в Хпоследовательностине зависит от того, какая из эквивалентных
метрик
выбрана. Следовательно, еслиХполно в метрике
то оно является полным и в метрике