- •§1.5. Полнота, замкнутость. Теорема Поста о полноте
- •Важнейшие замкнутые классы
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§1.6. Дизъюнктивные нормальные формы
- •Процедура упрощения д. Н. Ф. (алгоритм Блейка)
- •Алгоритм получения тупиковой д. Н. Ф.
- •Геометрическая интерпретация
- •Сокращенная д. Н. Ф.
- •Аналитические методы построения сокращенной д. Н. Ф. Метод Нельсона
- •Метод Квайна
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения.
1. Перечислить все самодвойственные функции от двух переменных.
2. Выяснить, является ли самодвойственной функция :
а) ;
б) ;
в) .
3. Выяснить, является ли самодвойственной функция , заданная векторно:
а) ; б);
в) ;
г) .
4. Определить, какие из переменных функций следует заменить на, а какие нас тем, чтобы получить константу:
а) ; б);
в) ; г).
5. Выяснить при каких функция:
а) ;
б) ;
в) .
6. Перечислить все линейные функции от двух переменных.
7. Представив функцию полиномом, выяснить, является ли она линейной:
а) ;
б) ;
в) .
8. Выяснить, является ли линейной функция , заданная векторно:
а) ; б);
в) ; г).
9. Подставляя на места переменных нелинейной функции функции из множества, получить хотя бы одну из функций:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
10. Найти число линейных функций ,
а) существенно зависящих в точности от переменных;
б) удовлетворяющих условию .
11. Выяснить, принадлежит множеству функция:
а) ;
б) .
12. Выяснить, при каких функция:
а) ;
б) .
13. Приведите все монотонные функции от двух переменных.
14. Выяснить, является ли монотонной функция :
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
15. Выяснить, является ли монотонной функция , заданная векторно:
а) ; б);
в) ; г).
16. Для немонотонной функции указать два соседних набораизначений переменных таких, чтои:
а) ;
б) ;
в) .
17. Выяснить при каких функциямонотонна:
а) ; б).
18. Подсчитать число функций, зависящих от переменных и принадлежащих множеству:
а) ; б); в);
г) ; д); е).
19. Выяснить, полна ли система функций :
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
Ответы
1..2. а);б);в).3. а);
б);в);г).4. а)заменить на,наили наоборот;б)существуют две пары наборов таких, что: (010) – (101) и (011) – (100). В первом случае заменивна, анаполучим константу 0; во втором заменивна, анаполучим константу 1;в)получим константу 1, заменив, например,на, анаполучим константу 0; во втором заменивна, ана;г)существуют три пары наборов таких, что: (0011) – (1100), (0100) – (1011) и (0110) – (1110). Можем координаты, соответствующие 0 в первом наборе каждой пары заменить на, а соответствующие 1 – на.5. а)при нечетных;б) –в)при всех.6..7. а);б) ;в) .8.а) ;б) ;в) ;г) .9. а);б);в);
г).10. а)б).11. а);
б) .12. а)при нечетных;б) при всехи.13..14. а);б);в);г).15. а);б);в);г).16. а),;б),или;,или;
в) ,.
17. а)при, приб) приипри всех..18. а);б);в);г);д);е).19. а)Нет..б)Нет..в)Нет..г)Да.д)Да.е)Нет..
§1.6. Дизъюнктивные нормальные формы
Пример.Рассмотрим функцию. Приведем несколько различных формул, являющихся д. н. ф. и реализующих функцию. Это ее СДНФ =и д. н. ф.:,,. Заметим, что.
Лемма.Число различных д. н. ф. от переменныхравно.
Доказательство.Действительно, число различных элементарных конъюнкцийравно(“пустой” конъюнкции сопоставлена константа 1), так как для каждой переменнойимеется три возможности: присутствует в конъюнкции, присутствует с отрицанием и отсутствует. Выпишем все элементарные конъюнкции, поставив между ними дизъюнкции:. Удаляя различные, получим все возможные д. н. ф. Следовательно, число различных д. н. ф. равнои одной функции соответствует несколько различных д. н. ф.
Введем функционал , означающийсложностьд. н. ф., обладающий свойствами:
1. .
2. Если , то.
3. Если и, то.
4. Если иполучены одна из другой переименованием переменных, то.
Примеры: 1)– число букв в д. н. ф.; 2)– число элементарных конъюнкций; 3)– число знаков отрицаний.
Тогда для рассмотренного в начале параграфа примера:
, ,;
, ;
, ,.
Д. н. ф. называетсяминимальнойдля данной функции, еслиимеет минимальное значение.
Проблема минимизации д. н. ф. состоит в том, чтобы для произвольной функции построить минимальную д. н. ф. Конечно, существует алгоритм, реализующий проблему минимизации, – это алгоритм полного перебора. Однако, этот алгоритм занимает слишком много времени, и для функций, зависящих от большого числа переменных, реализован быть не может. В связи с этим важное значение приобретают методы, позволяющие за реальное время получить д. н. ф., в той или иной степени приближенные к минимальной.