Задачи для самостоятельного решения.

1. Перечислить все самодвойственные функции от двух переменных.

2. Выяснить, является ли самодвойственной функция :

а) ;

б) ;

в) .

3. Выяснить, является ли самодвойственной функция , заданная векторно:

а) ; б);

в) ;

г) .

4. Определить, какие из переменных функций следует заменить на, а какие нас тем, чтобы получить константу:

а) ; б);

в) ; г).

5. Выяснить при каких функция:

а) ;

б) ;

в) .

6. Перечислить все линейные функции от двух переменных.

7. Представив функцию полиномом, выяснить, является ли она линейной:

а) ;

б) ;

в) .

8. Выяснить, является ли линейной функция , заданная векторно:

а) ; б);

в) ; г).

9. Подставляя на места переменных нелинейной функции функции из множества, получить хотя бы одну из функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10. Найти число линейных функций ,

а) существенно зависящих в точности от переменных;

б) удовлетворяющих условию .

11. Выяснить, принадлежит множеству функция:

а) ;

б) .

12. Выяснить, при каких функция:

а) ;

б) .

13. Приведите все монотонные функции от двух переменных.

14. Выяснить, является ли монотонной функция :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

15. Выяснить, является ли монотонной функция , заданная векторно:

а) ; б);

в) ; г).

16. Для немонотонной функции указать два соседних набораизначений переменных таких, чтои:

а) ;

б) ;

в) .

17. Выяснить при каких функциямонотонна:

а) ; б).

18. Подсчитать число функций, зависящих от переменных и принадлежащих множеству:

а) ; б); в);

г) ; д); е).

19. Выяснить, полна ли система функций :

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Ответы

1..2. а);б);в).3. а);

б);в);г).4. а)заменить на,наили наоборот;б)существуют две пары наборов таких, что: (010) – (101) и (011) – (100). В первом случае заменивна, анаполучим константу 0; во втором заменивна, анаполучим константу 1;в)получим константу 1, заменив, например,на, анаполучим константу 0; во втором заменивна, ана;г)существуют три пары наборов таких, что: (0011) – (1100), (0100) – (1011) и (0110) – (1110). Можем координаты, соответствующие 0 в первом наборе каждой пары заменить на, а соответствующие 1 – на.5. а)при нечетных;б) –в)при всех.6..7. а);б) ;в) .8.а) ;б) ;в) ;г) .9. а);б);в);

г).10. а)б).11. а);

б) .12. а)при нечетных;б) при всехи.13..14. а);б);в);г).15. а);б);в);г).16. а),;б),или;,или;

в) ,.

17. а)при, приб) приипри всех..18. а);б);в);г);д);е).19. а)Нет..б)Нет..в)Нет..г)Да.д)Да.е)Нет..

§1.6. Дизъюнктивные нормальные формы

Пример.Рассмотрим функцию. Приведем несколько различных формул, являющихся д. н. ф. и реализующих функцию. Это ее СДНФ =и д. н. ф.:,,. Заметим, что.

Лемма.Число различных д. н. ф. от переменныхравно.

Доказательство.Действительно, число различных элементарных конъюнкцийравно(“пустой” конъюнкции сопоставлена константа 1), так как для каждой переменнойимеется три возможности: присутствует в конъюнкции, присутствует с отрицанием и отсутствует. Выпишем все элементарные конъюнкции, поставив между ними дизъюнкции:. Удаляя различные, получим все возможные д. н. ф. Следовательно, число различных д. н. ф. равнои одной функции соответствует несколько различных д. н. ф.

Введем функционал , означающийсложностьд. н. ф., обладающий свойствами:

1. .

2. Если , то.

3. Если и, то.

4. Если иполучены одна из другой переименованием переменных, то.

Примеры: 1)– число букв в д. н. ф.; 2)– число элементарных конъюнкций; 3)– число знаков отрицаний.

Тогда для рассмотренного в начале параграфа примера:

, ,;

, ;

, ,.

Д. н. ф. называетсяминимальнойдля данной функции, еслиимеет минимальное значение.

Проблема минимизации д. н. ф. состоит в том, чтобы для произвольной функции построить минимальную д. н. ф. Конечно, существует алгоритм, реализующий проблему минимизации, – это алгоритм полного перебора. Однако, этот алгоритм занимает слишком много времени, и для функций, зависящих от большого числа переменных, реализован быть не может. В связи с этим важное значение приобретают методы, позволяющие за реальное время получить д. н. ф., в той или иной степени приближенные к минимальной.