1.5. Отношения и функции

В данном пункте мы вводим декартовы произведения, отношения, функции и графы. Изучаем свойства этих математических моделей и связи между ними.

Декартово произведение и перечисление его элементов. Декартовым произведением множеств A и B называется множество, состоящее из упорядоченных пар: AB={(a,b): (aA) & (bB)}. Для множеств A₁, …, A_n декартово произведение определяется по индукции

В случае произвольного множества индексов I декартово произведение семейства множеств {A_i}_iI определяется как множество, состоящее из таких функций f: I  A_i , что для всех iI верно f(i)A_i .

Теорема 1.ПустьA и B – конечные множества. Тогда | AB| = | A||B| .

Доказательство. Пусть A={a₁, …, a_m}, B={b₁, …, b_n}. Элементы декартового произведения можно расположить с помощью таблицы

(a₁,b₁), (a₁,b₂), …, (a₁,b_n),

(a₂,b₁), (a₂,b₂), …, (a₂,b_n),

…

(a_m,b₁), (a_m,b₂),…, (a_m,b_n),

состоящей из n столбцов, каждый из которых состоит из m элементов. Отсюда |AB|=mn.

Следствие 1. .

Доказательство. C помощью индукции по n. Пусть формула верна для n. Тогда

Отношения. Пусть n1 – положительное целое число и A₁, …, A_n - произвольные множества. Отношением между элементами множеств A₁, …, A_n или n-арным отношением называется произвольное подмножество .

Бинарные отношения и функции.Бинарным отношениеммежду элементами множествAиB(или, коротко, междуAиB) называется подмножествоR AB.

Определение 1. Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множествA и B и подмножества fAB (графика функции), удовлетворяющего следующим двум условиям

1. Для любого xAсуществует такой yf, что(x,y) f.

2. Если (x, y)f и(x, z) f, тоy=z

Легко видеть, чтоfABбудет тогда и только определять функцию, когда для любогоxAсуществует единственныйyf, что (x,y)f. Этотyобозначим черезf(x).

Функция называетсяинъекцией, если для любыхx, x’A,таких что xx’имеет местоf(x)f(x’). Функцияназываетсясюръекцией, если для каждогоyBсуществует такойxA, чтоf(x)=y. Если функция является инъекцией и сюръекцией, то она называетсябиекцией.

Теорема 2. Для того, чтобы функция была биекцией, необходимо и достаточно существования такой функции, чтоfg=Id_B и gf=Id_A.

Доказательство. Пустьf– биекция. В силу сюръективностиf, для каждогоyBможно выбрать элементxA, для которогоf(x)=y. В силу инъективностиf, этот элемент будет единственным, и мы обозначим его черезg(y)=x. Получим функцию . По построению функцииg, имеют место равенстваf(g(y))=y иg(f(x))=x. Значит, верноfg=Id_Bиgf=Id_A. Обратное очевидно: еслиfg=Id_Bиgf=Id_A , тоfсюръекция в силуf(g(y))=y, для каждогоyB. В этом случае избудет следовать, и значит. Следовательноf– инъекция. Отсюда вытекает, чтоf – биекция.

Образ и прообраз. Пусть– функция.ОбразомподмножестваXAназывается подмножествоf(X) = {f(x): xX } B. ДляY Bподмножество

f^{- -1}(Y)={xA: f(x)Y}называетсяпрообразомподмножества Y.

Отношения и графы. Бинарные отношения можно наглядно показать с помощьюориентированных графов.

Определение 2. Ориентированным графом называется пара множеств(E,V)вместе с парой отображенийs,t : EV. Элементы множестваVизображаются точками на плоскости и называютсявершинами. Элементы изE называются направленными ребрамиилистрелками. Каждый элементeEизображается в виде стрелки (возможно, криволинейной), соединяющей вершинуs(e)с вершинойt(e).

Произвольному бинарному отношению RVVсоответствует ориентированный граф с вершинамиvV, стрелками которого являются упорядоченные пары(u,v) R. Отображенияs,t: RVопределяются по формулам s(u,v)=uиt(u,v)=v.

Пример 1. ПустьV={1,2,3,4}. Рассмотрим отношениеR={(1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4) }. Ему будет соответствовать ориентированный граф (рис. 1.2). Стрелками этого граф будут пары(i,j) R.

Рис. 1.2. Ориентированный граф бинарного отношения

В полученном ориентированном графе любая пара вершин соединяется не более чем одной стрелкой. Такие ориентированные графы называются простыми. Если не рассматривать направление стрелок, то мы приходим к следующему определению:

Определение 3. Простым (неориентированным) графом=(V,E)называется пара, состоящая из множестваVи множестваE, состоящего из некоторых неупорядоченных пар {v₁,v₂} элементовv₁,v₂Vтаких, чтоv₁v₂. Эти пары называютсяребрами, а элементы изV–вершинами.

Множество Eопределяет бинарное симметричное антирефлексивное отношение, состоящее из пар (v₁,v₂), для которых {v₁,v₂}E. Вершины простого графа изображаются как точки, а ребра – как отрезки. На рис. 1.3 изображен простой граф с множеством вершинV={1, 2, 3, 4} и множеством реберE ={{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Рис. 1.3. Простой неориентированный граф K₄