- •А.А. Хусаинов н.Н. Михайлова дискретная математика
- •Введение
- •1. Множества и отношения
- •1.1. Способы задания множеств
- •1.2. Операции и их свойства
- •Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
- •1.3. Решение уравнений с неизвестным множеством
- •1.4. Перечисление подмножеств
- •1.5. Отношения и функции
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id. Легко видеть, что имеет место следующее
- •Нижняя грань обозначается через . Двойственно, как наименьший элемент множества , определяетсяверхняя грань .
- •Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно будет решеткой.
- •Теорема 1. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X с отношением включения является решеткой.
- •1.7. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Третья нормальная форма
- •2. Комбинаторика
- •2.1. Размещения
- •2.2. Сочетания
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Пример 2. Число неубывающих сюръекций n 1 равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций
- •Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств. Обобщим формулу
- •Теорема 1. (Формула включения-исключения)
- •Теорема 2.
- •2.4. Разбиения
- •Лемма 1. .
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •3. Производящие функции
- •3.1. Свойства производящих функций
- •3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1 1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
- •3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •4.1. Эйлеровы графы
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми.
- •4.3. Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
- •Число последовательностей из n-2чисел принадлежащих множеству{1, 2, ∙ ∙ ∙, n}равноnn-2, значит число нумерованных деревьев равноnn-2.
- •Для всякого элемента aa слово a есть терм;
- •В нормальной форме Бэкуса-Наура определение будет следующим:
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •4.6. Плоские графы Эйлерова характеристика. Двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, ограниченную некоторым криволинейным многоугольником.
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V) 5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев, рассмотренных в таблице 4.1.
- •4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •20.Найти хроматическую функцию графа An , приведенного на рис. 4.16.
- •Деревья
- •5. Конечные частично упорядоченные множества
- •5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •5.3. Формула обращения
- •5.5. Упражнения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Расчетно-графическое задание
- •Пример решения задачи 1
- •Контрольная работа
- •Варианты заданий
- •Примеры решения задачи 1
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 2
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 3
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 4
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 5
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 6
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 7
- •Экзаменационные вопросы и задачи Вопросы
- •Литература
- •Содержание
Примеры решения задачи 1
Пример 1. Сколько подмножеств множестваA={1, 2, ...., 1000} не содержат ни чисел кратных 8, ни чисел кратных 12 ?
Решение. Для произвольного действительного числаxобозначим через [x] его целую часть. (Например [2.5]=2, [1/2]=0, [3]=3.) Пусть 12A– подмножество множестваAсостоящее из чисел кратных 12,A\12AA– подмножество чисел не кратных 12. Элементы, не кратные ни 12 ни 8, составляют множество (A\12A)\8A. Нам нужно найти число подмножеств этого множества. Поскольку число элементов этого множества равно
|(A\12A)\8A|=|A\(12A8A)|=|A|-|12A8A |=
|A|-|12A|-|8A |+|НОК(12,8)A|=1000-[1000/12]-[1000/8]+[1000/24],
то количество его подмножеств равно
Ответ: .
Пример 2. Сколько подмножеств множестваA={1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 8 и ни одного – кратного 12 ?
Решение. Пусть 12A– подмножество множестваAсостоящее из чисел кратных 12,A\12AA– подмножество чисел не кратных 12. Элементы, не кратные ни 12 ни 8, составляют множество (A\12A)\8A.
Каждое подмножество из A\12Aможет быть одного из следующих типов:
оно не содержит ни одного элемента кратного 8,
оно содержит хотя бы один элемент, кратный 8.
Отсюда количество подмножеств множества A\12Aравно сумме количеств подмножеств первого и второго типа. Подмножества первого типа – это в точности подмножества не содержащие ни элементов кратных 12, ни элементов, кратных 8. Нам нужно найти количество подмножеств второго типа.
Следовательно, искомое число равно
Ответ: .
Пример 3. Сколько подмножеств множестваA={1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 8 или 12 ?
Решение. Каждое подмножество множестваAобладает одним из следующих взаимоисключающих свойств:
оно не содержит ни чисел кратных 8, ни чисел кратных 12,
оно содержит по крайней мере одно число, кратное 8 или 12.
Отсюда число подмножеств второго типа (которое как раз нам нужно найти) равно
Ответ: .
Задача 2. Найти число разложений заданного числа в сумму слагаемых. Разложения, отличающиеся перестановкой слагаемых, считаются различными.
Варианты заданий
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 50.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 50.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 50.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 52.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 52.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 52.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 54.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 54.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 54.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 51.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 51.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 51.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 49.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 49.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 49.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 55.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 55.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 55.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 46.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 46.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 46.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 48.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 48.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 48.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 53.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 53.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 53.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 47.
Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 47.
Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 47.