- •А.А. Хусаинов н.Н. Михайлова дискретная математика
- •Введение
- •1. Множества и отношения
- •1.1. Способы задания множеств
- •1.2. Операции и их свойства
- •Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
- •1.3. Решение уравнений с неизвестным множеством
- •1.4. Перечисление подмножеств
- •1.5. Отношения и функции
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id. Легко видеть, что имеет место следующее
- •Нижняя грань обозначается через . Двойственно, как наименьший элемент множества , определяетсяверхняя грань .
- •Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно будет решеткой.
- •Теорема 1. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X с отношением включения является решеткой.
- •1.7. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Третья нормальная форма
- •2. Комбинаторика
- •2.1. Размещения
- •2.2. Сочетания
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Пример 2. Число неубывающих сюръекций n 1 равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций
- •Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств. Обобщим формулу
- •Теорема 1. (Формула включения-исключения)
- •Теорема 2.
- •2.4. Разбиения
- •Лемма 1. .
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •3. Производящие функции
- •3.1. Свойства производящих функций
- •3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1 1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
- •3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •4.1. Эйлеровы графы
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми.
- •4.3. Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
- •Число последовательностей из n-2чисел принадлежащих множеству{1, 2, ∙ ∙ ∙, n}равноnn-2, значит число нумерованных деревьев равноnn-2.
- •Для всякого элемента aa слово a есть терм;
- •В нормальной форме Бэкуса-Наура определение будет следующим:
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •4.6. Плоские графы Эйлерова характеристика. Двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, ограниченную некоторым криволинейным многоугольником.
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V) 5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев, рассмотренных в таблице 4.1.
- •4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •20.Найти хроматическую функцию графа An , приведенного на рис. 4.16.
- •Деревья
- •5. Конечные частично упорядоченные множества
- •5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •5.3. Формула обращения
- •5.5. Упражнения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Расчетно-графическое задание
- •Пример решения задачи 1
- •Контрольная работа
- •Варианты заданий
- •Примеры решения задачи 1
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 2
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 3
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 4
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 5
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 6
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 7
- •Экзаменационные вопросы и задачи Вопросы
- •Литература
- •Содержание
Пример решения задачи 2
Задание. Найти число разложений заданного числа в сумму слагаемых. Разложения, отличающиеся перестановкой слагаемых, считаются различными. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 40.
Решение. Найдем сначала число слагаемых, равных 3, и число слагаемых, равных 5, дающих в сумме число 40. С этой целью решим уравнение в целых числах
3x + 5y = 40, x0, y0.
Первое решение x=0, y=8. Чтобы найти другие решения, будем прибавлять по 5 к числуxи вычитать по 3 из числаy. Получим решения;
x = 0, y=8;
x = 5, y=5;
x = 10, y=2;
Число последовательностей чисел, состоящих из xтроек иyпятерок, равно. Отсюда находим числа разложений:
при x = 0, y=8 -,
при x = 5, y=5 - ,
при x = 10, y=2 -.
Сумма этих чисел будет искомым числом разложений.
Ответ: .
Задача 3. Перечисление функций. Для заданныхmиnнайти число:
функций {1,2, …, m} { 1, 2, …, n},
инъекций {1,2, …, m } { 1, 2, …, n },
сюръекций {1,2, …, m } { 1, 2, …, n },
неубывающих функций {0,1,2, …, m} {0, 1, 2, …, n},
возрастающих функций {0,1,2, …, m } {0, 1, 2, …, n },
неубывающих сюръекций {0,1,2, …, m } {0, 1, 2, …, n }.
Варианты заданий
1. m = 4 , n = 5 |
2. m = 6 , n = 8 |
3.m = 3 , n = 7 |
4. m = 2 , n = 10 |
5.m = 7 , n = 9 |
6. m = 5 , n = 6 |
7. m = 5 , n = 8 |
8.m = 2 , n = 7 |
9. m = 3 , n = 10 |
10.m = 8 , n = 9 |
11.m = 4, n = 11 |
12. m = 4 , n = 8 |
13. m = 2,n = 11 |
14. m = 4,n = 10 |
15. m = 6 , n = 9 |
16. m = 5, n = 9 |
17. m = 3 , n = 8 |
18. m = 4 , n = 6 |
19. m = 5, n = 10 |
20.m = 5, n = 11 |
21. m = 4, n = 9 |
22. m = 2 , n = 8 |
23.m = 3 , n = 6 |
24. m = 6, n = 10 |
25.m = 3, n = 9 |
26. m = 6, n = 7 |
27. m = 2, n = 6 |
28.m = 7, n = 10 |
29. m= 2,n= 9 |
30. m= 5,n= 7 |
Пример решения задачи 3
Задание. Приm=6,n=11 найти число:
функций {1,2, …, 6} { 1, 2, …, 11},
инъекций {1,2, …, 6} { 1, 2, …, 11},
сюръекций {1,2, …, 11} { 1, 2, …,6},
неубывающих функций {0,1,2, …, 6} {0, 1, 2, …, 11},
возрастающих функций {0,1,2, …, 6} {0, 1, 2, …, 11},
неубывающих сюръекций {0,1,2, …, 11} {0, 1, 2, …,6}.
Решение. ОбозначимLn= {1,2,3, …, n}. Искомые числа вычисляются с помощью таблицы 7.1, в каждой клетке которой указано число функцийLmLnс заданными свойствами.
Таблица 7.1
Число функций
-
функций LmLn
Неубывающих функций LmLn
Всех
nm
Инъективных
Сюръективных
n! S(m,n)
Биективных
n!, еслиm=n, иначе 0
1, еслиm=n, иначе 0
Возрастающие функции – это в точности неубывающие инъективные функции.
Находим:
число функций {1,2,3,4,5,6 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11}равно 116=1771561.
число инъекций {1,2,3,4,5,6 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 }равно= 332640.
число сюръекций { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 } {1,2,3,4,5,6 } равно 6!S(11,6).
Число S(11,6) вычислим с помощью значений чисел Стирлинга второго рода, приведенных в таблице 7.2.
Получим 6!S(11,6) =6!179487.
число неубывающих функций {0,1,2,3,4,5,6 } { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 } равно.
число возрастающих функций {0,1,2,3,4,5,6 } {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 }равно.
число неубывающих сюръекций { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 } {0,1,2,3,4,5,6 }равно.
Таблица 7.2
Числа Стирлинга
n k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
7 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
1 |
15 |
25 |
10 |
1 |
|
|
|
|
6 |
1 |
31 |
90 |
65 |
15 |
1 |
|
|
|
7 |
1 |
63 |
301 |
350 |
140 |
21 |
1 |
|
|
8 |
1 |
127 |
966 |
1701 |
1050 |
266 |
28 |
1 |
|
9 |
1 |
255 |
3025 |
7770 |
6951 |
2646 |
462 |
36 |
1 |
10 |
1 |
511 |
9330 |
34105 |
42525 |
22827 |
5880 |
750 |
45 |
11 |
|
|
|
|
|
179487 |
|
|
|
Задача 4. Найти производящую функцию последовательности.