5.5. Упражнения Диаграмма Хассе

1. Нарисовать диаграмму Хассе множества подмножеств из {0,1,2,3}, упорядоченное отношением включения.

2. Нарисовать диаграмму Хассе множества делителей числа 1000, упорядоченного отношением делимости.

3. Нарисовать диаграмму Хассе множества делителей числа 360, упорядоченного отношением делимости.

4. Нарисовать диаграмму Хассе множества ₃ разбиений множества {1,2,3}.

5. Нарисовать диаграмму Хассе множества ₄ разбиений множества {1,2,3,4}.

6. Нарисовать диаграмму Хассе произведения ₃ [1].

Функция Мебиуса

1. Вычислить значения (0, x) непосредственно из определения функции Мебиуса для следующих частично упорядоченных множеств, заданных с помощью диаграмм Хассе, приведенных на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Примеры диаграмм Хассе

2. Вычислить значения функции Мебиуса для множества P({1,2,  , n}), упорядоченного отношением  .

3. Пусть a – произвольный элемент частично упорядоченного множества. Доказать, что . Найти значения функций Мебиуса для задачи 1 с помощью этой формулы.

Расчетно-графическое задание

Задача 1.Найти множествоX, предполагая множестваA,BиCизвестными. Предполагается, что все множества являются подмножествами некоторого универсумаU. При каких условиях заданное уравнение обладает по крайней мере одним решением?

Варианты заданий

Пример решения задачи 1

Задача. Найти множествоX, удовлетворяющее уравнениюпри заданныхA, BиCизвестными. Все множества являются подмножествами некоторого универсумаU. При каких условиях заданное уравнение обладает по крайней мере одним решением?

Решение.

1 шаг.Уравнение равносильно следующему равенству

.

Пользуясь формулой , приходим к уравнению



С помощью правил де Моргана и соотношенияпреобразуем это уравнение к следующему

.

2 шаг.Обозначим операцию объединения знаком сложения, а операцию пересечениязнаком умножения. Получим уравнение



Преобразуем его с помощью закона дистрибутивности (P+Q)R=PR+QR. Приходим к уравнению



= 0

Равенства иXX =X, вместе с соотношениями,иприводят к уравнению



3 шаг.Полученное уравнение равносильно системе двух уравнений

Из первого уравнения получаем , а из второго. Эти соотношения приводят к соотношениям включения.

Ответ:, при условии.

Задача 2. Задано отношение R на множестве E = {1, 2, 3, 4, 5}с помощью матрицы r_ij , где

Представить данное отношение с помощью ориентированного графа, вершинами которого являются элементы множества E. Вершины i и j соединяются стрелкой, если .

Выписать матрицы, соответствующие отношениям

1. R^-1 ,

2. RºR ,

3. R R^-1 .

Является ли это отношение R

1. рефлексивным,

2. иррефлексивным,

3. симметричным,

4. антисимметричным,

5. транзитивным,

6. отношением порядка,

7. отношением эквивалентности.

Варианты заданий

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)
28)	29)	30)

Пример решения задачи 2.

Задание. Выполнить действия, указанные в условии задачи 2, если отношениеRна множествеE = {1, 2, 3, 4, 5}задано с помощью матрицы

,

имеющей коэффициенты r_ij = 1при(i,j)R, иr_ij = 0в других случаях.

Решение.

Представим отношение с помощью ориентированного графа (рис.6.1), с множеством вершин E={1, 2, 3, 4, 5}. Вершиныiиjсоединяются стрелкой, если.

Рис. 6.1. Ориентированный граф, соответствующий отношению R

Выпишем матрицы

R^-1 = ,R R^-1 = ,

RR== .

Ответим на вопросы.

Рефлексивность выполняется, поскольку r_ii=1влечет(i,i)R, для всехiE.

Иррефлексивность не выполняется, ибо существуют iE, для которых(i,i)R .

(например i=1).

Симметричность имеет место, ибо для всех i, jE выполнено r_ij= r_ji .

Антисимметричность не выполняется, так как (1,3)R и(3,1)R, но 13.

Транзитивность вытекает из RR  R.

Отношение не является отношением порядка, ибо оно не антисимметрично.

Отношение является отношением эквивалентности, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.