- •А.А. Хусаинов н.Н. Михайлова дискретная математика
- •Введение
- •1. Множества и отношения
- •1.1. Способы задания множеств
- •1.2. Операции и их свойства
- •Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
- •1.3. Решение уравнений с неизвестным множеством
- •1.4. Перечисление подмножеств
- •1.5. Отношения и функции
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id. Легко видеть, что имеет место следующее
- •Нижняя грань обозначается через . Двойственно, как наименьший элемент множества , определяетсяверхняя грань .
- •Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно будет решеткой.
- •Теорема 1. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X с отношением включения является решеткой.
- •1.7. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Третья нормальная форма
- •2. Комбинаторика
- •2.1. Размещения
- •2.2. Сочетания
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Пример 2. Число неубывающих сюръекций n 1 равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций
- •Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств. Обобщим формулу
- •Теорема 1. (Формула включения-исключения)
- •Теорема 2.
- •2.4. Разбиения
- •Лемма 1. .
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •3. Производящие функции
- •3.1. Свойства производящих функций
- •3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1 1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
- •3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •4.1. Эйлеровы графы
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми.
- •4.3. Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
- •Число последовательностей из n-2чисел принадлежащих множеству{1, 2, ∙ ∙ ∙, n}равноnn-2, значит число нумерованных деревьев равноnn-2.
- •Для всякого элемента aa слово a есть терм;
- •В нормальной форме Бэкуса-Наура определение будет следующим:
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •4.6. Плоские графы Эйлерова характеристика. Двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, ограниченную некоторым криволинейным многоугольником.
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V) 5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев, рассмотренных в таблице 4.1.
- •4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •20.Найти хроматическую функцию графа An , приведенного на рис. 4.16.
- •Деревья
- •5. Конечные частично упорядоченные множества
- •5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •5.3. Формула обращения
- •5.5. Упражнения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Расчетно-графическое задание
- •Пример решения задачи 1
- •Контрольная работа
- •Варианты заданий
- •Примеры решения задачи 1
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 2
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 3
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 4
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 5
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 6
- •Варианты заданий
- •Пример решения задачи 7
- •Экзаменационные вопросы и задачи Вопросы
- •Литература
- •Содержание
Контрольная работа
Задача 1. Найти количество подмножеств.
Варианты заданий
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел ни кратных 6 , ни кратных 4?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 5 и ни одного – кратного 7 ?
Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих по крайней мере одно число, кратное трем или четырем.
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют по крайней мере одно число кратное 7 ?
Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 4, и не содержат ни одного числа, делящегося на 3?
Сколько подмножеств множества {1,2,3, … , 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 4, но ни одного кратного 7?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел ни кратных 6 , ни кратных 15?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 5 и ни одного – кратного 18 ?
Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих по крайней мере одно число, кратное 15 или 21.
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют по крайней мере одно число кратное 21 ?
Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 6, и не содержат ни одного числа, делящегося на 7?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел ни кратных 8 , ни кратных 6?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 12 и ни одного – кратного 13 ?
Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих по крайней мере одно число, кратное 6 или 11.
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют по крайней мере одно число кратное 17 ?
Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 7, и не содержат ни одного числа, делящегося на 3?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел ни кратных 6 , ни кратных 9?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 11 и ни одного – кратного 7 ?
Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих по крайней мере одно число, кратное 12 или 13.
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют по крайней мере одно число кратное 23 ?
Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 1000} состоят из чисел, делящихся на 7, и не содержат ни одного числа, делящегося на 12?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел ни кратных 6 , ни кратных 10?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 12 и ни одного – кратного 7 ?
Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих по крайней мере одно число, кратное 11 или четырем.
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют по крайней мере одно число кратное 11 ?
Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 2, и не содержат ни одного числа, делящегося на 3?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел ни кратных 10 , ни кратных 4?
Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 4 и ни одного – кратного 7 ?
Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих по крайней мере одно число, кратное 3 или 8.
Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют по крайней мере одно число кратное 5 ?