Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.

Пример 4. Применим доказанную теорему к решению рекуррентного уравнения u_n+2 = 5 u_n+1  6 u_n , при начальных условиях u₀ = u₁ = 1. Здесь K(x)=1  5x + 6x² . Вычислим

D(x) = K(x)u(x) = (15x+6x²)(u₀ + u₁x + ∙ ∙ ∙ ) = (u₀ 5u₀ x + u₁x +…).

По теореме 1 коэффициенты при x² , x³… равны нулю, а u₀ = u₁ = 1. Следовательно

D(x) = (1 5 x + x) = 14x .

Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1  1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства

₁+₂= 5,₁₂ = 6,

то числа ₁ и₂будут корнями квадратного уравнения²5+6 =0. Решая это квадратное уравнение, получаем. Приходим к формуле

.

Теперь найдем разложение в сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов . Получим систему линейных уравнений

имеющую решение A=2, B= 1. Отсюда. Это приводит к ответуu_n = 2ⁿ⁺¹3ⁿ .

В общем случае числа _I в разложенииK(x) = (1  ₁x) (1 ₂x) ∙ ∙ ∙ (1  _rx)являются корнями уравнения

F()= ^r c₁ ^{r 1}  ∙ ∙ ∙  c_r-1  c_r =0,

ибо K(x)=. Это уравнениеF()=0 называетсяхарактеристическим.

Если все корни уравнения F()=0действительны и различны, то получаем

,

откуда _.

Это позволяет составить систему линейных уравнений для нахождения A_iс помощью известных значенийu₀ , u₁ , ∙∙∙, u_r-1 .

Пример 5. Рассмотрим рекуррентное уравнениепри заданныхu₀=2,u₁=1. Составим характеристическое уравнениеF()=²+2 =0.Его корни

 ₁ =2, ₂ =1 не равны между собой и являются вещественными числами. Поэтому решение рекуррентного уравнения можно искать в виде

_.

Значения u_n известны приn= 0, 1, откуда получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентовA₁ , A₂ :

Решаем эту систему уравнений

получаем A₁=A₂=1. Приходим к следующему ответу _.

Если существуют кратные корни, то, пользуясь формулами для производных от геометрической прогрессии, можно доказать, что решение будет дополняться слагаемыми , гдеk– кратность корня.

Пример 6. Решим рекуррентное уравнение

,u₀=1,u₁=6.

С этой целью составим характеристическое уравнение ²6+9=0. Оно имеет кратные корни ₁ = ₂ =3. Поэтому решение рекуррентного уравнения нужно искать в виде

u_n =A₁3ⁿ +A₂n 3ⁿ

Подставляя известные значения u₀ = 1 иu₁ = 6, приходим к системе уравнений

Она имеет решение A₁=A₂=1. Получаем ответ:u_n=3ⁿ(1+n).

3.5. Упражнения Свойства производящих функций

1. Сколько делителей, включая само число и 1, имеет число 720?

2. Доказать, что n > 0имеют место соотношения

(1) ;

(2) .

3. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿcos(2n).

4. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿsin(2n).

5. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn.

6. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn.

7. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn(n+1).

8. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn² .

9. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿ/(n+1).

10. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿ/(n+1)(n+2).

11. Доказать рекуррентное соотношение для производящих функций последовательностей n^k

3. Найти производящие функции последовательностей a_n=n^k, приk = 1,2,3,4.