§ 121. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера (см. § 111). Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 177), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной lс токомI(он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпен­дикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера (см. (111.2)), равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dxиз положения1в положение2.Работа, совершаемая магнитным полем, равна

так как ldx=dS —площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в маг­нитном поле,BdS=dФ —поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

(121.1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведе­нию силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.Получен­ная формула справедлива и для произвольного направления вектораВ.

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным то­ком Iв магнитном поле. Предположим, что контурМперемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положениеМ',изоб­раженное на рис. 178 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. КонтурМмысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника:AВСиCDА.

Работа dA,совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении кон­тура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению провод­никовAВС(dA₁) иCDA (dA₂),т. е.

(121.2)

Силы, приложенные к участку CDAконтура, образуют с направлением перемеще­ния острые углы, поэтому совершаемая ими работаdA₂>0..Согласно (121.1), эта работа равна произведению силы токаIв контуре на пересеченный проводникомCDA магнитный поток. ПроводникCDAпересекает при своем движении потокdФ₀сквозь поверхность, выполненную в цвете, и потокdФ₂, пронизывающий контур в его конеч­ном положении. Следовательно,

(121.3)

Силы, действующие на участок AВСконтура, образуют с направлением перемеще­ния тупые углы, поэтому совершаемая ими работаdA₁<0. ПроводникAВСпересекает при своем движении потокdФ₀сквозь поверхность, выполненную в цвете, и потокdФ₁, пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,

(121.4)

Подставляя (121.3) и (121.4) в (121.2), получим выражение для элементарной работы:

где dФ₂—dФ₁=dФ' — изменениемагнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом,

(121.5)

Проинтегрировав выражение (121.5), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном .перемещении контура в магнитном поле:

(121.6)

т. е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.Формула (121.6) остается справедливой для контура любой формы в про­извольном магнитном поле.

Задачи

14.1.Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с^–1от­носительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса. [251 нКл/кг]

14.2.По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоянный ток 3 А. Определить индукцию магнитного поля в Центре квадрата. [5,66 мкТл]

14.3.По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Опреде­лить магнитную индукциюВ в точке, удаленной наr₁=30 см от первого иr₂=40 см от второго проводника. [9,5 мкТл]

14.4.Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца. [10,7 мкТл]

14.5.Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, те­кущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянииR.Чтобы их раздвинуть до расстояния 3R,на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работаA=220 нДж. Определить силу тока в проводниках. [10 А]

14.6.Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона. [15,9 А/м]

14.7.Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Определить радиус этой окружности. [3,23 см]

14.8.Определить, при какой скорости лучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля сE=10 кВ/м иВ=0,2 Тл, не отклонятся. [50 км/с]

14.9.Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]

14.10.Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см³. [1,85 мкВ]

14.11.По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектораВ, магнитную индукциюВв точке, расположенной на расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл]

14.12.Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектораВ, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см. [0,24 мТл; 191 А/м]

14.13.Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без сер­дечника) Ф=5 мкВб. Длина соленоидаl=25 см. Определить магнитный моментp_mэтого соленоида. [1 Ам²]

14.14.Круглая рамка с током площадью 20 см²закреплена параллельно магнитному полю (В=0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мНм. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с^–1. Определить: 1) силу тока, текущего в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [1) 1,5 А; 2) 310^–6кгм²]