§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов.Электростатические силы взаимо­действия консервативны (см. § 83); следовательно, система зарядов обладает потенци­альной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точеч­ных зарядовQ₁ и Q₂,находящихся на расстоянииrдруг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (см. (84.2) и (84.5)):

где ₁₂и₂₁ —соответственно потенциалы, создаваемые зарядомQ₂в точке нахожде­ния зарядаQ₁и зарядомQ₁в точке нахождения зарядаQ₂.Согласно (84.5),

поэтому W₁ = W₂ = Wи

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃, Q₄, ... ,можно убедиться в том, что в случаеnнеподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(95.1)

где _i —потенциал, создаваемый в той точке, где находится зарядQ_i,всеми зарядами, кромеi-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника.Пусть имеется уединенный провод­ник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равныQ, С, .Увеличим заряд этого проводника наdQ.Для этого необходимо перенести зарядdQиз бесконеч­ности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до ,необходимо совершить работу

(95.2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совер­шить, чтобы зарядить этот проводник:

(95.3)

Формулу (95.3) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Пола­гая потенциал проводника равным ,из (95.1) найдем

где - заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конден­сатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна

(95.4)

где Q —заряд конденсатора,С — его емкость,— разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (95.4), можно найти механическую(пондеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояниехмежду пластинами меняется, например, на величинуdx.Тогда действующая сила совершает работуdA=Fdxвследствие уменьшения потенциальной энергии системыFdx = — dW,откуда

(95.5)

Подставив в (95.4) выражение (94.3), получим

(95.6)

Производя дифференцирование при конкретном значении энергии (см. (95.5) и (95.6)), найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила Fявляется силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля.Преобразуем формулу (95.4), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовав­шись выражением для емкости плоского конденсатора (C=₀S/d) и разности потенци­алов между его обкладками (=Ed. Тогда

(95.7)

где V= Sd —объем конденсатора. Формула (95.7) показывает, что энергия конден­сатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, —на­пряженность Е.

Объемная плотностьэнергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(95.8)

Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика,для которого выполняется соотношение (88.2): Р =₀Е.

Формулы (95.4) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках иснапряженностью поля.Возникает, естественно, вопрос о локализа­ции электростатической энергии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на поставленные воп­росы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн,способныхпереносить энергию. Это убедительно подтверждает основ­ное положениетеории близкодействия о том, что энергия локализована в полеи чтоносителемэнергии являетсяполе.

Задачи

11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают­ся в керосин плотностью 0,8 г/см³. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектричес­кая проницаемость керосина=2. [1,6 г/см³]

11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверх­ностной плотностью  =1,5 нКл/см²расположена круглая пластинка. Плоскость пластин­ки составляет с линиями напряженности угол=45°. Определить поток вектора напря­женности через эту пластинку, если ее радиусr=10 см. [1,88 кВм]

11.3. Кольцо радиусом r=10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью=10 нКл/м. Определить напряженность поля на оси, проходящей через центр кольца в точкеА.удаленной на расстояниеа=20 см от центра кольца. [1 кВ/м]

11.4. Шар радиусом R=10 см заряжен равномерно с объемной плотностью =5 нКл/м³. Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянииr₁=2 см от центра шара; 2) на расстоянииr₂=12 см от центра шара. Построить зависимостьЕ(r). [1) 3,77 В/м; 2) 13,1 В/м]

11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с по­стоянной линейной плотностью = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, при­близившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстоянияr₁=2,5 см доr₂=1,5 см? [18 Мм/с]

11.6. Электростатическое поле создается сферой радиусом R=4 см, равномерно заряжен­ной с поверхностной плотностью =1 нКл/м². Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстоянияхr₁=6 см иr₂=10 см. [1,2 В]

11.7. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q=1 нКл с расстоянияr₁ =10 см доr₂ = 5 см в направле­нии, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]

11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином ( = 2). Расстояние между пластинамиd=8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,05 нКл/см²? [500 В]

11.9. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью  =10 нКл/м³по шару радиусомR =5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью=6. Определить напряженности электростатического поля на расстоя­нияхr₁ = 2 см иr₂ = 10 см от центра шара. [E₁=1,25 В/м;E₂=23,5 В/м]

11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (= 7). Рас­стояние между пластинамиd=5мм, разность потенциаловU=500 В. Определить энер­гию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадьS = 50 см². [6,64 мкДж]

11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С=10 пФ заряжен до разности потенциа­ловU=1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]

11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U=200 В. Площадь каждой пластиныS=100 см², расстояние между пластинамиd=1 мм, пространство между ними заполнено парафином (= 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу. [3,54 мН]