§ 32. Методы определения вязкости

1. Метод Стокса.* Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

* Дж. Стокс (1819—1903) — английский физик и математик.

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести Р=⁴/₃r³g ( —плотность шарика), сила АрхимедаР=⁴/₃r³'g (' —пло­тность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом:F=6rv,гдеr — радиус шарика,v — его скорость. При равномерном движении шарика

откуда

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости (газа).

2. Метод Пуазейля.*Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусомRи длинойl. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусомrи толщинойdr(рис. 54). Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,

где dS —боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

* Ж. Пуазейль (1799—1868) — французский физиолог и физик.

Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии Rот оси равна нулю, получаем

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис. 53).

За время tиз трубы вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость

§ 33. Движение тел в жидкостях и газах

Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим R), одна из которых (R_x) направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), — лобовое сопротивление,а вторая (R_y) перпен­дикулярна этому направлению — подъемная сила(рис. 55).

Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлением скорости, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкостиравномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если рассмотреть движение цилиндра в такой жидкости (рис. 56), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точкиА и В,так и относительно прямой, проходящей через точкиСиD,т. с. результирующая сила давления на поверхность цилиндра будет равна нулю.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличении скорости обтекания). Вследствие вязкости среды в области, прилегающей к поверх­ности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончающейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидкости (газа), направ­ленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, сле­дуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис. 57).

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления С_x, определя­емым экспериментально:

(33.1)

где  —плотность среды;v —скорость движения тела;S —наибольшее поперечное сечение тела.

Составляющую R_xможно значительно уменьшить, подобрав тело такой формы, которая не способствует образованию завихрения.

Подъемная сила может быть определена формулой, аналогичной (33.1):

где С_у —безразмерный коэффициент подъемной силы.

Для крыла самолета требуется большая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атаки(угол к потоку); см. рис. 55). Крыло тем лучше удовлетворяет этому условию, чем больше величинаК=С_у/С_xназываемая качеством крыла.Большие заслуги в конструировании требу­емого профиля крыла и изучении влияния геометрической формы тела на коэффициент подъемной силы принадлежат «отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921).

Задачи

6.1. Полый железный шар ( =7,87 г/см³) весит в воздухе 5 Н, а в воде (' = 1 г/см³) — 3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определить объем внутренней полости шара. [139 см³]

6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S = 1 м²и объемомV = 3 м³заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить времяt,необходимое для опусто­шения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадьюS₁=10 см².

6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой H= 5 м, имеет форму усеченного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сеченияd₁= 6 см, верхнего —d₂= 2 см. Вы­сота соплаh = 1 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле, определить: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разностьрдавления в нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды =1 г/см³. [1)d²/4 = 3,1 х10^-3 м³/с; 2) p = pgh + pgH(1– d/d=58,3 кПа]

6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхности которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии h₁= 64 см ниже уровня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и на расстоянииh₂ = 25 см от дна сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, определить, на каком расстоянии по горизонтали от сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]

6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность  =1,2 г/см³), падает с устано­вившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик (' = 2,7 г/см³) диаметром 1 мм. Определить динамическую вязкость глицерина. [1,6 Пас]

6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен на высоте h₁ =5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d =2 мм и длиной l =1 см. В сосудеподдерживается постоянныйуровень машинного масла (плотность  = 0,9 г/см³ и динамичес­кая вязкость =0,1 Пас) на высоте h₂ =80 см выше капилляра. Определить, на какомрасстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя масла, вытекающая из отверстия.

6.7. Определить наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий в воз­духе (=1,29 г/см³) стальной шарик (' = 9 г/см³) массойm = 20 г. КоэффициентС_хпринять равным 0,5. [94 см/с]