§ 2. Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстротадвижения, так и егонаправ­лениев данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени tей соответствует радиус-векторr₀(рис. 3). В течение малого промежутка времениtточка пройдет путьsи получит элементарное (бесконечно малое) перемещениеr.

Вектором средней скорости<v> называется отношение приращенияrрадиу­са-вектора точки к промежутку времениt:

(2.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением r. При неог­раниченном уменьшенииtсредняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пре­деле совпадает с касательной, то вектор скорости vнаправлен по касательной к траек­тории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшенияtпутьsвсе больше будет приближаться к |r|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

(2.2)

При неравномерном движении —модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величинойv— средней скоро­стьюнеравномерного движения:

Из рис. 3 вытекает, что v> |v|, так какs> |r|, и только в случае прямолиней­ного движения

Если выражение ds = vdt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пре­делах отtдоt +t, то найдем длину пути, пройденного точкой за времяt:

(2.3)

В случае равномерного движениячисловое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁доt₂, дается интегралом

§ 3. Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение,т.е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точкиАв момент времениt.За времяtдвижущаяся точка перешла в положениеВи приобрела скорость, отличную отvкак по модулю, так и направлению и равнуюv₁=v+v. Перенесем векторv₁ в точкуАи найдемv (рис. 4).

Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале отtдоt+tназывается векторная величина, равная отношению изменения скоростиvк интервалу вре­мениt

Мгновенным ускорениема (ускорением) материальной точки в момент време­ниtбудет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение aесть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор vна две составляющие. Для этого из точкиА(рис. 4) по направлению скоростиvотложим вектор , по модулю равныйv₁. Очевидно, что вектор ,равный , определяет изменение скорости за времяtпо моду­лю: . Вторая же составляющаявектораvхарактеризует изменение ско­рости за времяtпо направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка Вдостаточно близка к точкеА,поэтомуsможно считать дугой окружности некоторого радиусаr, мало отличающейся от хордыАВ.Тогда из подобия треугольниковАОВиEAD следуетv_n/AB =v₁/r, но так какAB = vt,то

В пределе при получим .

Поскольку , уголEADстремится к нулю, а так как треугольникEADравнобед­ренный, то уголADEмеждуvиv_nстремится к прямому. Следовательно, привекторыv_nиvоказываются взаимно перпендикулярными.Taxкак вектор скорости направлен по касательной к траектории, то векторv_n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускоренияи направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют такжецентростремительным ускорением).

Полное ускорениетела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальнаясоставляющая ускорения характеризуетбыстроту изменения скорости по модулю(направлена по касательной к траектории), анормальнаясостав­ляющая ускорения —быстроту изменения скорости по направлению(направлена к цен­тру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движе­ние можно классифицировать следующим образом:

1) ,а_n = 0 —прямолинейное равномерное движение;

2) ,а_n = 0— прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скоростьv₁=v₀, то, обозначивt₂=t иv₂=v,получим , откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t,найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) ,а_n = 0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , а_n = const. Прискорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулыa_n=v²/rследует, что радиус кривизны должен быть посто­янным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) , —равномерное криволинейное движение;

6) , — криволинейное равнопеременное движение;

7) , — криволинейное движение с переменным ускорением.